湖南省衡阳市第八中学教育集团2025-2026学年七年级下学期期末 数学试题（含解析）

这是一份湖南省衡阳市第八中学教育集团2025-2026学年七年级下学期期末 数学试题（含解析），文件包含新高考化学一轮复习考点精讲精练第36讲电解池及其应用金属的腐蚀与防护讲义原卷版docx、新高考化学一轮复习考点精讲精练第36讲电解池及其应用金属的腐蚀与防护讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数为无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0.010010001
2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（ ）
A. 6B. 3C. 2D. 11
4. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 绿色饮品B. 绿色食品
C. 有机食品D. 速冻食品
5. 用边长相等的两种正多边形进行密铺，其中一种是正八边形，则另一种正多边形可以是（ ）
A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形
6. 关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图，妈妈对淇淇说：“若是，你能说出比小多少度吗？”淇淇很快给出了结果，他的结果是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为40，则四边形的面积为（ ）
A. 20B. 18C. 17D. 15
10. 定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若是64的算术平方根，是的立方根，则代数式的值为______．
12. 若不等式组的解集为，那么的值等于_______.
13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
14. 如图，教室内的地面上有个倾斜的畚箕，手柄与箕面垂直，手柄与水平地面的夹角，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为______．
15. 如图，在中，，，，将三角形沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．则阴影部分的两个三角形周长之和为______．
16. 如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________．
三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19. 如图，，，．
（1）求的度数；
（2）若，，求的长．
20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，、也在格点上．
（1）计算：的面积为______．
（2）画出关于直线对称的；
（3）画出绕点按顺时针方向旋转后所得的；
21. 已知关于、的方程组．
（1）求方程组的解（用含的代数式表示）；
（2）若方程组的解满足条件，求的取值范围；
（3）若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值．
22. 为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
（1）求，的值；
（2）经预算，市治污公司准备购买污水处理设备的资金不超过100万元（每种型号至少购买1台），你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
23. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”．
（1）已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______；
（2）如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数；
（3）如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数；
（4）如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数．
24. 如图，直线，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点．
（1）如果，，求的度数；
（2）请猜想和之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值．
数学
总分120分）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数为无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0.010010001
答案：C
解析：
思路：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．根据无理数、有理数的定义即可判定选项．
解答过程：解：A、是有理数，故此选项不符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、0.010010001是有理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题主要考查了不等式的基本性质，
根据不等式的基本性质逐一分析选项．
解答过程：解：因为，
两边乘以负数时，不等号方向改变，得，
所以A不成立；
因为，
不等式两边加同一个数，不等号方向不变，得，
所以B成立；
因为，
两边除以正数时，不等号方向不变，得，
所以C不成立；
因为，
当和为负数时，例如，，此时但，不成立，
所以D不符合题意．
故选：B．
3. 若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（ ）
A. 6B. 3C. 2D. 11
答案：A
解析：
思路：本题考查三角形三边关系定理，记住三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
解答过程：解：设第三条边长为x，根据三角形三边关系得：
，
即，
结合各选项数值可知，第三边长可能是6，
故选：A．
4. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 绿色饮品B. 绿色食品
C. 有机食品D. 速冻食品
答案：D
解析：
思路：一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解答过程：解：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义可知，选项D的图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
5. 用边长相等的两种正多边形进行密铺，其中一种是正八边形，则另一种正多边形可以是（ ）
A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形
答案：B
解析：
解答过程：分析：正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，分别计算出正五边形，正六边形，正三角形，正四边形的每个内角的度数．利用“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角”作为相等关系列出多边形个数之间的数量关系，利用多边形的个数都是正整数可推断出能和正八边形一起密铺的多边形是正四边形．
详解：正八边形的每个内角为180°−360°÷8=135°，
A. 正三角形的每个内角60°，得135m+60n=360°，n=6−94m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B. 正四边形的每个内角是90°，得90°+2×135°=360°，所以能铺满；
C. 正五边形每个内角是180°−360°÷5=108°，得108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
D. 正六边形的每个内角是120度，得135m+120n=360°，n=3−98m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满．
故选：B．
点睛：本题考查了平面密铺的知识，关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
6. 关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：D
解析：
思路：本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次方程的能力及二元一次方程的解的概念．由题意联立，求出的值并代入即可得出的值．
解答过程：解：二元一次方程组的解满足，
联立，解得，
把代入，可得，
解得．
故选：D．
7. 粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键．
设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，然后根据“粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽”列方程即可．
解答过程：解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，
根据题意得．
故选：B．
8. 一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图，妈妈对淇淇说：“若是，你能说出比小多少度吗？”淇淇很快给出了结果，他的结果是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由三角形外角的定义及性质可得，从而可得，再结合，计算即可得出结果．
解答过程：解：如图：
，
由三角形外角的定义及性质可得：，
∴，
∵，
∴．
9. 如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为40，则四边形的面积为（ ）
A. 20B. 18C. 17D. 15
答案：D
解析：
思路：本题考查了根据三角形中线求面积，解题关键是熟练掌握和运用利用三角形的中线求面积的方法．
根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解．
解答过程：解：∵点D为的中点，的面积为40，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵点F为的中点，
∴，，
∴四边形的面积为，
故选：D．
10. 定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查的是根据不等式组的整数解的含义求解字母的取值范围，根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得．
解答过程：解：∵，
对于：
∵，
∴， 即，
对于：
∵，
∴， 即，
∴不等式组解为
要求恰有三个整数解，即
∴需，
∴．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若是64的算术平方根，是的立方根，则代数式的值为______．
答案：
解析：
思路：根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，再代入代数式计算即可得到结果．
解答过程：是的算术平方根，
，
是的立方根，
，
将代入得：
．
12. 若不等式组的解集为，那么的值等于_______.
答案：-2
解析：
思路：先把a、b当作已知条件表示出x的取值范围，再与已知不等式组的解集为-1＜x＜1相比较，求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
解答过程：解：，由①得，x＜，由②得，x＞3+2b，
∵不等式组的解集为-1＜x＜1，
∴=1，3+2b=-1，解得a=1，b=-2，
∴=1×（-2）=-2．
故答案为-2．
方法提示：本题考查的是解一元一次不等式组，先把a、b当作已知条件表示出x的取值范围是解答此题的关键．
13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
答案：8
解析：
思路：根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
解答过程：解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
方法提示：本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
14. 如图，教室内的地面上有个倾斜的畚箕，手柄与箕面垂直，手柄与水平地面的夹角，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为______．
答案：##度
解析：
思路：根据直角三角形两锐角互余、旋转的性质和平角定义得出的度数．
解答过程：解：∵手柄与箕面垂直，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：箕面绕点旋转的度数为．
15. 如图，在中，，，，将三角形沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．则阴影部分的两个三角形周长之和为______．
答案：12
解析：
思路：根据平移的性质得到，再根据三角形周长公式计算得到答案．
解答过程：解：由平移的性质可知：，
则阴影部分的两个三角形周长之和为：
．
16. 如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________．
答案：
解析：
思路：如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解．
解答过程：解：如图：连接，
∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，
∴，，
∴，
∴，
当时，的值最小，此时的长度最小，
当时，，
∴，解得：，
∴，
即线段长度的最小值是．
三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
答案：
解析：
解答过程：解：，
，
，
，
．
18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
答案：
解析：
思路：先分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到原不等式组的解集，最后在数轴上表示该解集，注意处画空心圈、1处画实心点．
解答过程：解：①合并同类项并移项得，
解得，
②去分母得，
合并同类项并移项得，
解得，
原不等式组的解集为，在数轴上表示略．
19. 如图，，，．
（1）求的度数；
（2）若，，求的长．
答案：（1）
（2）6
解析：
思路：（1）首先由全等三角形的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解；
（2）首先求出，然后由全等三角形的性质得到，然后求解即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，、也在格点上．
（1）计算：的面积为______．
（2）画出关于直线对称的；
（3）画出绕点按顺时针方向旋转后所得的；
答案：（1）
（2）解：如图所示，即为所求，
（3）解：如图所示，即为所求，
解析：
思路：（1）在的矩形网格中，借助网格求出的面积；
（2）画出点、、关于的对称点、、，连接点、、，得到即为所求；
（3）画出点、绕点顺时针旋转的对应点、，连接点、、，得到即为所求．
（1）解：；
（2）略
（3）略
21. 已知关于、的方程组．
（1）求方程组的解（用含的代数式表示）；
（2）若方程组的解满足条件，求的取值范围；
（3）若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）运用加减消元法解答即可；
（2）根据不等式的性质解不等式即可；
（3）先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系列式即可求得a的值；
（1）解：
得：，解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴该方程组的解为；
（2）解：∵，
∴，化简为：，
解得：，
解得：，
解得：；
（3）解：∵x、y是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，
若腰长为x，底边长为y，则，解得：，
∴，
此时三角形三边长为2，2，5，不能组成三角形，舍去；
若腰长为y，底边长为x，则，解得：，
∴，
此时三角形三边长为1，4，4，能组成三角形；
∴；
22. 为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
（1）求，的值；
（2）经预算，市治污公司准备购买污水处理设备的资金不超过100万元（每种型号至少购买1台），你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
答案：（1）

（2）共有三种购买方案：①A型设备1台，B型设备9台；②A型设备2台，B型设备8台；③A型设备3台，B型设备7台
（3）最省钱的购买方案为购买A型设备2台，B型设备8台
解析：
思路：（1）购买A型设备的单价是a万元，购买B型的设备的单价是b万元，根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型号设备少3万元，可列方程组求解．
（2）设购买A型设备x台，则B型设备为台，根据购买污水处理设备的资金不超过100万元，进而得出不等式．
（3）利用每月要求处理污水量不低于1880吨，可列不等式求解．
（1）解：根据题意得：
，
解得：；
（2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台，根据题意得，
，
∴，
∵每种型号至少购买1台，
∴，
∵x取正整数，
∴，2，3
∴，8，7
∴有三种购买方案：
①A型设备1台，B型设备9台；
②A型设备2台，B型设备8台；
③A型设备3台，B型设备7台；
（3）解：由题意：，
∴，
又∵，
∴x为2，3．
当时，购买资金为（万元），
当时，购买资金为（万元），
∴为了节约资金，应选购A型设备2台，B型设备8台．
23. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”．
（1）已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______；
（2）如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数；
（3）如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数；
（4）如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数．
答案：（1）
（2）的度数为或
（3）的度数为或
（4）解析：
思路：（1）根据题意构造二元一次方程组求解；
（2）首先表示出，，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别表示出，然后利用三角形内角和定理列方程求解；
（3）首先根据三角形内角和定理和折叠的性质得到，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别联立方程组求解即可；
（4）设与交于点F，由折叠得，然后利用三角形外角的性质得到，然后结合“黄金角”的定义求解．
（1）解：∵和互为“黄金角”，且，若和互余，
∴，
解得；
（2）解：∵在中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∵与互为“黄金角”，
∴当时， ，
∵，
∴，
∴；
当时， ，
∵，
∴，
∴；
综上所述， 的度数为或；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
由折叠得， ，，
∴，
∴，
∵和互为“黄金角”，
∴当时， 联立得， ，
解得；
当时， 联立得， ，
解得；
综上所述， 的度数为或；
（4）解：如图，设与交于点F，
由折叠得， ，
∴，
∴
∴，
∵和互为“黄金角”，
∴， ，
∴．
24. 如图，直线，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点．
（1）如果，，求的度数；
（2）请猜想和之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值．
答案：（1）
（2）解：猜想：，理由如下，
过点作，如图所示，
∵，
∴，
∵和的角平分线交于点，
∴，，
设，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）的值为6或15或24或27或30．
解析：
思路：（1）过点作直线根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，进而根据，即可求解；
（2）猜想：，过点作，设，，进而分别表示出，即可求解；
（3）根据垂直的定义，，得出，根据，得出，由（2）可得，则，进而分5种情况讨论，分别画出图形，即可求解．
（1）解：如图所示，过点作直线，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）略
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
由（2）可得，
∴，
∴；
∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，
∴；
①当时，如图所示，
∴，
∴，
解得：；
②如图所示，当时，延长交于点，
∵
，
，
∵，
∴，
∴，
解得：；
③如图所示，当在上，则，
∴，
解得：，
此时，
∴，
而，
∴，
∴，
④当时，
∴，
∴，
解得：；
⑤当时，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，的值为6或15或24或27或30．
方法提示：本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，角平分线的定义，旋转的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键．A型
B型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月）
220
180
A型
B型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月）
220
180