江西省赣州市南康区2025-2026学年八年级下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省赣州市南康区2025-2026学年八年级下学期期末考试 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，6，7
2. 下列运算中错误的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是正方形
6. 某外卖平台统计了甲、乙、丙三名骑手某天的配送数据，甲、乙、丙上午配送数据分别用表示，下午配送数据分别用表示，若定义一天的配送效率，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲的配送效率最大B. 丙的配送效率最大
C. 甲的配送效率最小D. 乙的配送效率最小
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________．
8. 相声是一门讲究说、学、逗、唱的民间表演艺术．某相声社招录学员，甲、乙二人各项测评成绩如表所示，说、学、逗、唱成绩按的比确定平均成绩，则优先录取_________．（填甲或乙）
9. 如图，某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成，图中图形的尖角∠ABC的度数为_______．
10. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________．
11. 如图，平行四边形的周长为10cm，和相交于点交于点，则的周长是_________．
12. 在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，，点P在边上运动，当线段的长为整数时，线段的长为_________．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. 计算∶
（1）（2）
14. 如图，在中，D是上一点，平分交于点E，平分交于点F，．求证：四边形是矩形．
15. 如图，在中，为边上的一点，，求面积．
16. 如图，在的正方形网格中，的顶点A，B在格点上，顶点C，D不在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中，过的中点作直线l，使l平分的面积；
（2）在图2中，作的中点P．
17. 如图，已知点，，直线l经过，两点．
（1）求直线l的解析式；
（2）点P在直线l上，若，求点P的坐标．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18. 某工厂研发了一款智能机器人，在常规负载下，它的最大垂直工作高度与底座支撑臂的展开长度成一次函数关系．经实验室测试，得到以下两组数据：当底座支撑臂展开长度为时，最大垂直工作高度为；当底座支撑臂展开长度为时，最大垂直工作高度为．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）工厂计划用这款机器人给仓库货架码货，货架最高层的高度为，为了安全，要求机器人的最大垂直工作高度至少要比货架高度高．已知这款机器人的支撑臂展开长度最大可达到，请通过计算判断这款机器人能否满足仓库的码货需求．
19. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
（1）表格中：_______，_______．
（2）在直角坐标系中画出该函数图象．
（3）观察图象：
①根据函数图象可得，该函数的最小值是_______；
②写出该图象的一条性质______________________；
③进一步探究函数图象发现：方程有_______个解．
20. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21. 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图．
（1）填空： ______， ______， ______；比较大小：n_______；
（2）计算运动员B的射击成绩平均数c；
（3）请你根据八轮射击成绩，从A、B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．
22. 【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当时：
∵，
∴．
∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
（1）____________，式子的最小值为____________；（用或填空）
（2）求分式的最小值；
（3）应用：小明同学要做一个面积为平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（）的竹条至少要多长？
六、（本大题共12分）
23. 在数学活动课上，同学们围绕“矩形的折叠”开展探究活动．
（1）如图1，把矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸展平．再一次对折，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到新折痕，同时得到线段，．图1中：的角有_______个．
（2）如图2，将矩形纸片沿对折，使点C落在点处，、相交于点E，此时有．
①补充下列证明过程：
证明：如图2，在矩形中，，
∴_________，
由折叠可知， _________，
∴_________，
∴．
②若，时，求的长．
（3）如图3，将矩形纸片沿对折，使点B落在上的点N处，得到四边形．
①求证：四边形是正方形．
②如图4，将正方形沿对折，使与重合，把纸展平，连接，再将四边形沿对折，使点B落在点F处，得到折痕，则_______．
数学
满分120分．
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，6，7
答案：B
解析：
思路：本题考查勾股数的判定，需依据勾股数的定义：若三个正整数a、b、c满足，则称这三个数为勾股数，通过计算各选项中两小边的平方和是否等于最大边的平方来判断即可．
解答过程：解：A、，，，不是勾股数，
B、，，，是勾股数，
C、，，，不是勾股数，
D、，，，不是勾股数，
故选B．
2. 下列运算中错误的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：试题分析：根据二次根式的运算法则分别判断即可：
A、和不是同类根式，不可合并，故此选项运算错误，符合题意；
B、，故此选项运算正确，不合题意；
C、，故此选项运算故此选项运算正确，不合题意；
D、，故此选项运算正确，不合题意．
故选A．
考点：二次根式的运算.
3. 在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：依题意将直线沿y轴向下平移6个单位后，得到，令，即可求解．
解答过程：解：将直线沿y轴向下平移6个单位后，得到，
当时，，
∴该直线与x轴的交点坐标是，
故选：A．
方法提示：本题考查了一次函数的平移，求一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键．
4. 下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题主要考查多边形的内角和，外角和，三角形内角和，任意多边形的外角和都等于，所以当内角和等于外角和时，内角和等于，利用公式求出多边形内角和即可．
解答过程：解：A、三角形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意；
B、四边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意；
C、五边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意；
D、六边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意；
故选：B．
5. 已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是正方形
答案：B
解析：
思路：根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
解答过程：解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；
故选：B．
方法提示：本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
6. 某外卖平台统计了甲、乙、丙三名骑手某天的配送数据，甲、乙、丙上午配送数据分别用表示，下午配送数据分别用表示，若定义一天的配送效率，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲的配送效率最大B. 丙的配送效率最大
C. 甲的配送效率最小D. 乙的配送效率最小
答案：A
解析：
思路：连接，分别取的中点，设，则，则甲一天的配送效率为，同理可表示出乙的配送效率和丙的配送效率，连接，，然后问题可求解．
解答过程：解：如图，连接，分别取的中点．
设，则，
则甲一天的配送效率为，
同理可表示出乙的配送效率和丙的配送效率，连接，，
由解图可得的倾斜程度的倾斜程度的倾斜程度，
即甲一天的配送效率乙一天的配送效率丙一天的配送效率．
∴A选项的说法正确．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________．
答案：
解析：
思路：本题根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围．
解答过程：解：根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，可得
，
移项得 ，
系数化为，得 ．
8. 相声是一门讲究说、学、逗、唱的民间表演艺术．某相声社招录学员，甲、乙二人各项测评成绩如表所示，说、学、逗、唱成绩按的比确定平均成绩，则优先录取_________．（填甲或乙）
答案：乙
解析：
思路：根据给定的成绩权重，分别计算甲、乙两人的加权平均成绩，比较大小后，平均成绩更高者优先录取．
解答过程：解：甲的平均成绩为，
乙的平均成绩为，
，
乙的平均成绩更高，
优先录取乙．
9. 如图，某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成，图中图形的尖角∠ABC的度数为_______．
答案：18°
解析：
思路：先算出正五边形的每个内角的度数，让360减去3个内角的度数和的差除以2即可．
解答过程：∵正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，
∴∠ABC=（360°﹣3×108°）÷2=36°÷2=18°．
故答案为18°．
方法提示：本题考查平面镶嵌（密铺），关键是求出正五边形的每个内角的度数.
10. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________．
答案：
解析：
思路：先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解．
解答过程：解：将点代入中，得，解得，
∴，
由图象知，当时，直线在直线的上方，
∴关于x的不等式的解集为 ．
11. 如图，平行四边形的周长为10cm，和相交于点交于点，则的周长是_________．
答案：5cm
解析：
思路：利用平行四边形对角线互相平分得到，结合，得出是线段的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，得，再将周长转化为，结合平行四边形周长即可求解．
解答过程：解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，即．
又∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
根据垂直平分线性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等，
∴．
的周长，
将代入得：
周长，
平行四边形周长为10cm，
平行四边形周长，
，
即的周长为5cm．
12. 在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，，点P在边上运动，当线段的长为整数时，线段的长为_________．
答案：4或或
解析：
思路：先根据平行四边形的性质求出点的坐标，再设出点的坐标，利用两点间距离公式得到的表达式，根据为整数确定的所有可能取值，最后分别计算对应的长度即可．
解答过程：解：四边形是平行四边形
∴，
已知，，，可得
平行于轴，点在上
设，其中
由两点间距离公式得：
当时，取得最小值；
当时，取得最大值
的长为整数
或或
当时：
，解得
当时：
，
整理得，解得（舍去）
当时：
，
整理得，
解得（舍去）
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. 计算∶
（1）（2）
答案：（1）
（2）解析：
（1）解：原式；
（2）解：原式．
14. 如图，在中，D是上一点，平分交于点E，平分交于点F，．求证：四边形是矩形．
答案：证明：∵平分，
∴，即，
∵，
∴四边形是矩形
解析：
思路：根据三线合一得出，然后根据矩形的判定定理进行证明．
解答过程：证明：略．
15. 如图，在中，为边上的一点，，求面积．
答案：84
解析：
思路：本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形面积公式，先根据勾股定理的逆定理证明，再在中，用勾股定理求得，利用线段和差求出，最后用三角形面积公式即可．
解答过程：解：，，
，
，
，
，
，
面积：．
16. 如图，在的正方形网格中，的顶点A，B在格点上，顶点C，D不在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中，过的中点作直线l，使l平分的面积；
（2）在图2中，作的中点P．
答案：（1） （2）
解析：
思路：（1）借助线段为的矩形对角线可得出中点，连接可得对角线的交点，过平行四边形的对角线交点的直线，将平行四边形的面积平分；
（2）借助（1）找出线段的中点，利用三角形的中线交于一点可得线段的中点．
（1）解：说明：借助线段为的矩形对角线可得出中点，连接可得对角线的交点，过平行四边形的对角线交点的直线，将平行四边形的面积平分；
（2）解：说明：借助（1）找出线段的中点，利用三角形的中线交于一点可得线段的中点．
17. 如图，已知点，，直线l经过，两点．
（1）求直线l的解析式；
（2）点P在直线l上，若，求点P的坐标．
答案：（1）；
（2）点P的坐标为或
解析：
思路：（1）设直线l的解析式为，将点，代入解析式进行求解即可；
（2）先根据已知可得，再根据求出P点的纵坐标，进而即可求解．
（1）解：设直线l的解析式为，
将点，代入解析式，
得，
解得，
∴直线l的解析式为；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴
解得，
若，即
解得；
若，即
解得，
∴点P的坐标为或．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18. 某工厂研发了一款智能机器人，在常规负载下，它的最大垂直工作高度与底座支撑臂的展开长度成一次函数关系．经实验室测试，得到以下两组数据：当底座支撑臂展开长度为时，最大垂直工作高度为；当底座支撑臂展开长度为时，最大垂直工作高度为．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）工厂计划用这款机器人给仓库货架码货，货架最高层的高度为，为了安全，要求机器人的最大垂直工作高度至少要比货架高度高．已知这款机器人的支撑臂展开长度最大可达到，请通过计算判断这款机器人能否满足仓库的码货需求．
答案：（1）
（2）这款机器人能满足仓库的码货需求．
解析：
思路：（1）已知与为一次函数关系，先设一次函数的一般形式，再代入已知的两组对应值列方程组，求解得到系数后即可得到函数表达式；
（2）先计算出货要求的最低工作高度，再将支撑臂最大展开长度代入函数，求出机器人可达到的最大高度，比较两个高度即可得出结论．
（1）解：设与之间的函数表达式为根据题意，将和代入，得
解得，
∴与之间的函数表达式为；
（2）解：根据题意，码货要求机器人的最小垂直工作高度为，
将代入函数表达式，得，
∵，
∴这款机器人能满足仓库码货需求．
19. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
（1）表格中：_______，_______．
（2）在直角坐标系中画出该函数图象．
（3）观察图象：
①根据函数图象可得，该函数的最小值是_______；
②写出该图象的一条性质______________________；
③进一步探究函数图象发现：方程有_______个解．
答案：（1）3，1；
（2） （3）①；②当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小（答案不唯一）；③2
解析：
思路：（1）将和代入求解即可；
（2）根据表格运用描点法画出函数图象即可；
（3）观察函数图像即可得解．
（1）解：将代入函数得，，
将代入函数得，；
（2）略
（3）解：①由函数图象可得最小值是；
②由图像可得，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
③由图象可得，当时，函数图像与x轴有两个交点，
∴方程有个解．
20. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
答案：（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
（2）12
解析：
思路：（1） 利用平行线的内错角性质和角平分线定义，证，再结合得，从而证平行四边形，再由邻边相等证菱形．
（2）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，在中用勾股定理求，利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到 ，问题可解．
（1）略
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，，，
，
在中，是斜边上中线，
．
五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21. 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图．
（1）填空： ______， ______， ______；比较大小：n_______；
（2）计算运动员B的射击成绩平均数c；
（3）请你根据八轮射击成绩，从A、B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．
答案：（1）方法一：；9；9；；方法二：7；9；9；
（2）9 （3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下：
因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．（答案不唯一）
解析：
思路：（1）根据中位数，众数，方差，四分位数的求法进行解答即可；
（2）根据平均数计算公式进行计算即可；
（3）根据求出的平均数、中位数、方差等方面进行判断即可．
（1）解：将A选手的8次成绩从小到大进行排序：6，7，8，9，9，9，10，10，
方法一：前四个数为6，7，8，9，这四个数的中位数为：，
因此；
方法二：∵，且第2个数为7，
因此；
排在第4的是9，第5的是9，因此中位数；
9出现次数最多，因此众数为；
B选手的8次成绩为：10，8，8，9，10，9，8，10，
因此平均数，
方差：，
∵，
∴；
（2）解：根据解析（2）可得：；
（3）略
22. 【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当时：
∵，
∴．
∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
（1）____________，式子的最小值为____________；（用或填空）
（2）求分式的最小值；
（3）应用：小明同学要做一个面积为平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（）的竹条至少要多长？
答案：（1），
（2） （3）厘米
解析：
思路：（）根据阅读材料解答即可求解；
（）把分式转化为，根据阅读材料解答即可求解；
（）根据四边形的面积可得 ，再根据阅读材料解答即可求解．
（1）解：由题意得，，，
∴式子的最小值为，
故答案为：，；
（2）解：，
∴分式的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
答：用来做对角线的竹条至少要厘米长．
六、（本大题共12分）
23. 在数学活动课上，同学们围绕“矩形的折叠”开展探究活动．
（1）如图1，把矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸展平．再一次对折，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到新折痕，同时得到线段，．图1中：的角有_______个．
（2）如图2，将矩形纸片沿对折，使点C落在点处，、相交于点E，此时有．
①补充下列证明过程：
证明：如图2，在矩形中，，
∴_________，
由折叠可知， _________，
∴_________，
∴．
②若，时，求的长．
（3）如图3，将矩形纸片沿对折，使点B落在上的点N处，得到四边形．
①求证：四边形是正方形．
②如图4，将正方形沿对折，使与重合，把纸展平，连接，再将四边形沿对折，使点B落在点F处，得到折痕，则_______．
答案：（1）4 （2）①，，；②的长为
（3）①证明：∵四边形是矩形，
∴．
根据折叠的性质，得，．
∴．
∴四边形为矩形．
又∵，
∴四边形为正方形．
②
解析：
思路：（1）连接，证明为等边三角形，得出，由此计算即可得出结果；
（2）①由矩形的性质和折叠的性质得出，从而即可得证；②设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果；
（3）①根据折叠的性质并结合正方形的判定定理证明即可；②设，由折叠的性质可得，求出，由题意可得，， ，求出，连接，设，则，由勾股定理求出，即可得出结果．
（1）解：如图，连接，
由折叠的性质可得垂直平分，，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴图1中的角有，，，，共个；
（2）解：①证明：如图2，在矩形中，，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴．
②∵四边形为矩形，
∴，
由①可得，
设，则，
由勾股定理可得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：①略；
②∵四边形为正方形，
∴，，
设，
∵将正方形沿对折，使与重合，
∴，
∴，
∵将四边形沿对折，使点B落在的点F处，得到折痕，
∴，， ，
∴，
如图，连接，
设，则，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
说
学
逗
唱
甲
80
85
90
95
乙
90
80
95
85
x
…
0
1
2
3
4
5
6
7
…
y
…
7
5
m
n
1
3
5
7
…
选手
最小值、四分位数和最大值
平均数
众数
方差
最小值
最大值
A
6
a
b
9.5
10
8.5
d
1.75
B
8
8
9
10
10
c
8和10
n
说
学
逗
唱
甲
80
85
90
95
乙
90
80
95
85
x
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选手
最小值、四分位数和最大值
平均数
众数
方差
最小值
最大值
A
6
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b
9.5
10
8.5
d
1.75
B
8
8
9
10
10
c
8和10
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