河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下期03月测试（二）数学试题含答案

这是一份河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下期03月测试（二）数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积 x (单位: dm2 ) 与水生植物的株数 y (单位: 株)之间的相关关系，收集了 4 组数据，如表格所示，得到 y 与 x 的线性回归方程 y=1.2x−2 ,则 m=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 命题“ ∀x∈[2,+∞),x2≥4 ”的否定为( )
A. ∃x∉[2,+∞),x20 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过点 F2 的直线 l 与 C 在第一、四象限的交点分别为 A,B ,与 y 轴交点为 D,AF2=DF2=63F1F2 ,则双曲线的离心率为( )
A. 52 B. 62 C. 5 D. 6
5. 已知随机变量 X∼Nμ,σ2 ,且 Y∼B3,p,PX≥32=12 ,且 2EX=D2Y ,则 p= ( )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
6. 若平面向量 a,b,c 两两夹角相等,且 a=1,b=2,c=3 ,则 a+b+c= ( )
A. 3 B. 36 C. 3 或 6 D. 3 或 36
7. 已知 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和,若 S3=10,S6=40 ,则 S9 ( )
A. 60 B. 50 C. 90 D. 70
8. 已知函数 fx=xex,gx=ex1+lnx ,若 fx1=gx2=m,m>0 ,则 lnmx1x2 的最大值为 ( )
A. 1e2 B. 1 C. 2 D. e2
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 函数 fx=Acsωx+φA>0,ω>0,φ136×56n−2.
1. C
由题意可得 x=143+4+6+7=5,y=142+2.5+4.5+m=9+m4 , 所以样本中心点为 5,9+m4 ,又 y 与 x 的线性回归方程 y=1.2x−2 , 所以 9+m4=1.2×5−2 ,解得 m=7 .
2. D
易知命题“ ∀x∈[2,+∞),x2≥4 ”的否定为 ∃x∈[2,+∞),x21 ,所以 e=62 .
5. D
正态分布关于均值 μ 对称,又 PX≥μ=12 ,
可得 μ=32 ,所以 EX=μ=32 ,又 Y∼B3,p ,
所以 D2Y=4DY=4×3p1−p=12p1−p ,
由此可得 2×32=12p1−p ,解得 p=12 .
6. C
因为平面向量 a,b,c 两两夹角相等,所以夹角有两种情况,
即 a,b,c 两两夹角为 0∘ 或 120∘ ,
当夹角为 0∘ 时, a+b+c=a+b+c=1+2+3=6 ;
当夹角为 120∘ 时, a⋅b=−1,b⋅c=−3,c⋅a=−32 ,
则 a+b+c=a+b+c2=a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c
=12+22+32+2×−1+2×−32+2×−3=3 ;
综上所述: a+b+c=6 或 a+b+c=3 .
7. C
S3,S6−S3,S9−S6 成等差数列,
又 S3=10,S6=40 ,
所以 S9−S6=50 ,所以 S9=90 ,
故选: C
8. B
由题意可得 fx1=x1ex1=m ,则 lnm=lnx1+x1 ,
由 gx2=ex21+lnx2=m ,则 lnm=1+lnx2+ln1+lnx2 ,
令 1+lnx2=t ,则 lnm=t+lnt ,
令 ℎx=x+lnx ,可知函数 ℎx 在 0,+∞ 上单调递增,
所以当 lnm=lnx1+x1=t+lnt 有唯一解,即 t=x1 ,即 1+lnx2=x1 ,可得 x2=ex1−1 ,
所以 lnmx1x2=x1+lnx1x1ex1−1 ,
令 u=x1ex1u>0 ,则 lnu=x1+lnx1 ,所以 x1+lnx1x1ex1−1=lnuue=elnuu ,
令 pu=elnuuu>0 ,则 p′u=e1−lnuu2 ,
令 p′u=0 ,即 1−lnu=0 ,解得 u=e ,
当 0e 时, p′u0 ,所以 ω=2πT=2,
则 fx=2cs2x+φ ,由 fπ3=2csφ+2π3=−2 ,得 φ+2π3=π+2kπ,k∈Z ,
解得 φ=π3+2kπ,k∈Z ,又 −π20 ，即 a>2x−xlnx ，
令 gx=2x−xlnx,x∈0,+∞ ,则 g′x=1−lnx ,
当 x∈0,e 时, g′x>0,gx 单调递增; 当 x∈e,+∞ 时, g′xe .
18. (1) an=2n−1,n∈N∗
(2) Tn=n2+n4n+2
(1)数列 an 为等差数列,设首项为 a1 ,公差为 d,a2n=2an+1 对 n∈N∗ 恒成立, 必有 a2=2a1+1 ,
所以 a2=2a1+1S4=4S2⇒a1+d=2a1+14a1+6d=42a1+d ,解得 a1=1d=2 ,
所以 an=1+2n−1=2n−1 ,
即数列 an 的通项公式为 an=2n−1,n∈N∗ .
(2) bn=an+1an+1−14anan+1=4n242n−12n+1=144n2−1+14n2−1
=141+12n−12n+1=14+1812n−1−12n+1,n∈N∗
Tn=b1+b2+b3+⋯+bn=n4+181−12n+1=n2+n4n+2.
19. (1)由题意:摸到黄球的概率为 12 摸到黑球的概率为 13 摸到红球的概率为 16 设摸球 3 次恰好通关为事件 A ,则 PA=12×13×16=136
(2)设 ξi 表示甲从第 i 关过关所需的摸球次数 ξi∈N∗
则 Pξ1=k=12k−112=12k ,所以 Eξ1=limn→+∞k=1nk12k=2
Pξ2=k=23k−113=1223k ,所以 Eξ2=12limn→+∞k=1nk23k=3
Pξ3=k=56k−116=1556k ,所以 Eξ3=15limn→+∞k=1nk56k=6
由 EX+Y=EX+EY ,
得 Eξ=Eξ1+ξ2+ξ3=Eξ1+Eξ2+Eξ3=2+3+6=11
(3)设甲摸球 n 次通关成功的概率为 Pn ，摸球 n 次停在第 3 关的概率为 Qn ，摸球 n 次停在第 2 关的概率为 Rn ,
则 Pn=16Qn−1n≥4Qn=56Qn−1+13Rn−1n≥4Rn=23Rn−1+12nn≥4
由 Rn=23Rn−1+12nn≥4 ,
可得 Rn+312n=23Rn−1+312n−1
又因为 R3=123+122×23+12×232=3772
所以 R3+323=89
所以 Rn+32n=8923n−3=323n
所以 Rn=323n−12n
所以 Qn=56Qn−1+23n−1−12n−1
所以 6Pn+1=5Pn+23n−1−12n−1
所以 Pn+1=56Pn+1623n−1−12n−1,P4=118,P3=136 所以 n=3 时成立,
所以 Pn+1=56Pn+1623n−1−12n−1
又当 n≥3 时， 23n−1−12n−1>0
所以 Pn+1>56Pn>562Pn−1>⋯>56n−2P3=136×56n−2x
3
4
6
7
y
2
2.5
4.5
m