2025~2026学年河北省唐山市第一中学高二下册6月月考数学试题【含答案】

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1. 集合，，（ ）
A. B. C. D.
2. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
3. 设，且，则（ ）
A. 0.3B. 0.35C. 0.4D. 0.45
4. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ）
A. B. 120C. D. 240
6. 某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（ ）
A. 60种B. 72种C. 96种D. 120种
7. 若，，，，则a，b，c，d中最小的是（ ）
A. aB. bC. cD. d
8. 已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若回归方程，则变量与负相关
B. 设，则“”是“”的充分不必要条件
C. 若，则
D. 以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则函数的最大值为
B. 已知，则的最小值为
C. 已知正数满足，则
D. 已知，则的最小值为
11. 某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（ ）
A. 答对道题的概率为
B. 至少答对道题的概率为
C. 答对题目个数的数学期望为
D. 随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为
三、填空题
12. 已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________．
13. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为X，则______．
14. 已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则______，______.
四、解答题
15. 已知命题：“，使得不等式成立”是真命题，设实数取值的集合为.
（1）求集合；
（2）设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
16. 某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关；
（2）为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求．
参考数据：．
附：．
17. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）当时，恒成立，求a的取值范围.
18. 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.
（1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
（2）求证：，均为等比数列并求它们的通项公式.
19. 函数.
（1）时，讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点、，曲线上两点、连线斜率记为，求证：.
（3）盒子中有编号为的个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取个小球，记抽取的个小球编号各不相同的概率为，求证：.
数学
一、单选题
1. 集合，，（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由，故
又，则.
2. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
答案：B
解析：
解答过程：由题意可得：，
因经验回归方程经过样本中心点,故4=0.7×10+a，解得，
所以经验回归方程为y=0.7x−3 ，
当时，y=0.7×20−3=11 ．
3. 设，且，则（ ）
A. 0.3B. 0.35C. 0.4D. 0.45
答案：A
解析：
解答过程：因为，
所以，
设，则，又，
所以，
因为，所以，
解得，所以.
4. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.
解答过程：由，使得为假命题，
则，都有为真命题，
当，则，满足，
当，则，满足，
综上，.
5. 已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ）
A. B. 120C. D. 240
答案：D
解析：
思路：根据各项系数和得，再写出的展开式通项，结合乘积形式写出展开式中含项的系数.
解答过程：由题意，时，所以二项式为，
其中的展开式通项为，，
所以，则，此时，
，则不是整数，故该项不存在，
综上，展开式中含项的系数为.
6. 某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（ ）
A. 60种B. 72种C. 96种D. 120种
答案：D
解析：
思路：先用插空法求出3个图形渲染任务互不相邻的排法总数，然后利用减法原理，从中排除2个逻辑推理任务相邻的情况，即可得答案。.
解答过程：第一步，先排列2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，共有种排法；
第二步，将3个不同的图形渲染任务插入到第一步中3个不同的任务产生的4个空隙中，
共有种排法；
第三步，排除2个不同的逻辑推理任务相邻的情况，
将2个逻辑推理任务捆绑视为一个元素，此元素与数据检索任务共2个元素先进行排列，产生3个空位，有种排法；
将3个不同的图形渲染任务插入这3个空位，有种排法；
捆绑的2个逻辑推理任务内部有种排法，故共有种排法。
所以满足条件的排法总数为.
7. 若，，，，则a，b，c，d中最小的是（ ）
A. aB. bC. cD. d
答案：B
解析：
思路：先将，，，变换为：，，，，得到，设，，结合导数和作差法得到，得到，最后设，，利用导数比较和，即可得到，，，中最小值.
解答过程：因为，，所以；
又，
所以，
设，，
则，当时，，
所以在上单调递增，则，即，
所以，即；则，
设，，
则，
令，，则，
当时，，所以在上单调递增，
因为，所以，
则时，，所以在上单调递减，
所以有，即，则，
综上：， ，即，，，中最小的是.
故选：B.
方法提示：关键点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对进行变形得到，利用作差法比较和，从而构造函数，；比较和时，观察代数式的形式，从而构造函数，，是解决本题的关键.
8. 已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：设，利用导数分析函数的单调性、最值及零点（记为)，由关于x的不等式恒成立，函数的零点恰好是的零点，结合韦达定理对化简，可得，构造函数，利用导数分析单调性，求得其最大值即可.
解答过程：设，则.
令，得.
因为是增函数，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以的最小值为.
因为，，且当时，，
所以有两个不同的零点，记为.
又关于x的不等式恒成立，所以恰为函数的零点.
即.
所以.
令，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以在处取得极大值，即最大值，最大值为.
即的最大值为
二、多选题
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若回归方程，则变量与负相关
B. 设，则“”是“”的充分不必要条件
C. 若，则
D. 以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则
答案：ACD
解析：
思路：根据线性回归方程的性质可判断A；根据一元二次不等式及绝对值不等式求出解集，结合充分条件、必要条件的概念即可判断B；采用作差法即可判断C；由非线性回归方程与线性回归方程的转化关系求解即可得，的值，即可判断D.
解答过程：对于A，回归方程为，因为，所以变量与负相关，故A正确；
对于B，不等式的解集，由，得，其解集，
则集合是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，，
因为，所以，，所以，即，故C正确；
对于D，依题意，，
又，所以且，即，所以，故D正确．
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则函数的最大值为
B. 已知，则的最小值为
C. 已知正数满足，则
D. 已知，则的最小值为
答案：BC
解析：
思路：对于A，利用基本不等式直接进行求解；对于B，分离常数后直接利用基本不等式计算求解即可；对于C，将分母转化已知条件，代换即可；对于D，构造再利用基本不等式即可求解.
解答过程：对于A，因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以则函数的最小值为，故A错误；
对于B，因为，则，
可得
，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值为，故B正确；
对于C，设，，
因为，则，，
要证，即证，
因为，
即，所以，故C正确；
对于D，由得：，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为，故D错误.
故选：BC.
11. 某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（ ）
A. 答对道题的概率为
B. 至少答对道题的概率为
C. 答对题目个数的数学期望为
D. 随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为
答案：ABD
解析：
思路：对A根据相互独立事件的概率计算可得；对B分有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道，再根据相互独立事件的概率计算可得；对C直接根据期望的性质计算可得；对D根据贝叶斯公式计算可得.
解答过程：对于A，答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题全部答对，
由相互独立事件的概率公式得，A正确.
对于B，至少答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道，
答对道的概率：由A选项可知为；
答对道分两种情况： ① 道有思路的全对、道无思路的错：；
​ ② 道有思路的对、道有思路的错、道无思路的对：，
因此总概率：，​ 故B正确.
对于C，设答对总题数为，则（​分别为两道有思路题答对的题数，​为无思路题答对的题数），
由期望的性质得 ，
因为， 故C错误.
对于D，设“题目做对”，“题目完全掌握”，“题目有思路”，“题目无思路”，
则，，，
根据贝叶斯公式 ，
​ 故D正确.
三、填空题
12. 已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________．
答案：1
解析：
思路：根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解．
解答过程：由，则，
所以曲线在点处的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为．
设直线与曲线相切的切点为，且，
则，解得．
13. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为X，则______．
答案：
解析：
思路：设质点向右移动的次数为随机变量，则服从二项分布，建立最终位置与的线性关系，利用方差的性质求解.
解答过程：设质点在次移动中向右移动的次数为，由题意可知，每次移动向右的概率为，且各次移动相互独立，
所以服从二项分布，即，则.
因为质点向右移动次，则向左移动次，
所以移动次后质点对应的数，
由方差的性质得.
14. 已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则______，______.
答案： ①. ②.
解析：
思路：令，作出图形，每个元素可在、、中任何一个，共有中，除去为空集、为空集以及、同时为空集的情形，即可得出的表达式，即可得解.
解答过程：令，如图，全集被划分成、、三个部分，
中的任意一个元素只能在集合、、之一中，有种方法，
则这个元素在集合、、中，每个元素均有种选择，故共有种选择方法，
其中为空集的种数为，为空集的种数为，、均为空集的种数为种，
则、均为非空子集的种数为，
因当且仅当时，与为同一组“互斥子集”，
而，满足的与不是同一组“互斥子集”，
于是得集合的所有“互斥子集”的组数为，
其中.
故答案为：；.
四、解答题
15. 已知命题：“，使得不等式成立”是真命题，设实数取值的集合为.
（1）求集合；
（2）设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）将命题为真命题转化成一元二次不等式在区间上恒成立问题，即可求得实数取值范围得集合；（2）由题可知，是的子集，根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围.
（1）令，
因为函数在时取最小值，
所以“，使得不等式成立”是真命题，
需满足，解得，
即；
（2）因为不等式的解集为，
且“”是“”的充分条件，则是的子集；
①当，即时，解集，
所以,解得
综合得；
②当，即时，不满足题设条件；
③当，即时，解集，
所以,解得
综合可得，
综上所述，实数的取值范围是.
16. 某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关；
（2）为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求．
参考数据：．
附：．
答案：（1）数学成绩与单日运动时间有关；
（2）解析：
思路：（1）先计算，再与临界值比较判断求解；
（2）先计算样本中心点，再应用公式计算，最后代入样本中心点计算.
（1）零假设：数学成绩与单日运动时间无关，
，
零假设不成立，故可认为根据小概率值的独立性检验，数学成绩与单日运动时间有关．
（2），
，
于是，
于是．
17. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）当时，恒成立，求a的取值范围.
答案：（1）
（2）答案见解析. （3）
解析：
思路：（1）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；
（2）由题意得，讨论根据判定其单调区间；
（3）法一：由题意得，讨论根据单调性判定是否成立即可得出答案；法二：原命题等价于在上恒成立，用参变分离法求出函数最值.
（1）当时，
，
， ，
所以切线方程为：；
（2）由题，可得
由于，的解为，
①当，即时，，则在上单调递增；
②当，即时，
在区间上，，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为；
③当，即时，
在区间上，，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为；
（3）解法一：
①当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立
②当时，，
所以在上单调递增，所以成立.
③当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
解法二：
当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.
即在上恒成立.
当时，，所以.
当时， ，所以恒成立.
设，则
因为，所以，所以在区间上单调递增.
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.
方法提示：方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
18. 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.
（1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
（2）求证：，均为等比数列并求它们的通项公式.
答案：（1）0.5;
（2）由题意，，
当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况：
上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为；
上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为，
所以，则，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
满足上式也满足题意，则.
老鼠第分钟在0号房间包含3种情况：
上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为；
上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为；
上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为.
所以，
整理可得，
因为，所以，
即，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，满足上式也满足题意，则，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为.
解析：
思路：（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解；
（2）根据给定条件，求出、的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.
（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，
设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间，
则
设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则，
所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5.
（2）略
19. 函数.
（1）时，讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点、，曲线上两点、连线斜率记为，求证：.
（3）盒子中有编号为的个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取个小球，记抽取的个小球编号各不相同的概率为，求证：.
答案：（1）增区间为、，减区间为
（2）证明见解析 （3）证明见解析
解析：
思路：（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间；
（2）借助斜率公式表示出后化简，可转化为证明，借助换元法令，构造函数，结合（1）问中所的即可得解；
（3）借助概率公式可得，借助放缩法可得，结合（2）中所得可得，即可得证.
（1）当时，，该函数的定义域为，
，
由可得；由可得或，
所以，函数的增区间为、，减区间为.
（2）因为定义域为，，
对于方程，，
因为函数有两个极值点、，则方程在上有两个不等的实根，
所以，，解得,
则
，
所以要证，即证，即证，
也即证（*）成立．
设，函数，则，
所以，函数在上单增，且，
所以时，，所以（*）成立，原不等式得证.
（3）由题可得，
因为，，…，，
所以，
又由（2）知，，
取，有，
即，即，
所以．
方法提示：关键点点睛：最后一问关键点在于得出后，借助（2）问中所得，取，代入可得，即可得解.x
7
9
11
13
y
2
3
5
6
数学成绩
单日运动时间
不低于90分
低于90分
不小于30分钟
30
10
小于30分钟
10
30
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
x
7
9
11
13
y
2
3
5
6
数学成绩
单日运动时间
不低于90分
低于90分
不小于30分钟
30
10
小于30分钟
10
30
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828