2025~2026学年河北省唐山市第一中学高一下册6月学情调研数学试题【含答案】

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1. 设复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
3. 用斜二测画法画水平放置的 ，其直观图如图所示，其中，若原的周长为6，则（ ）
A. B. C. D.
4. 为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的A，B，C三所中学抽取80名学生进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有400，560，320名学生，则从学校中应抽取的人数为（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
5. 正六边形ABCDEF中，用和表示，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A. B. -C. 2D.
8. 在中，角的对边分别为．已知，且，点满足， 且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 人工智能的普及使学生学习方式发生了改变，数字素养水平较高的学生能高效检索、筛选和整合信息，利用在线课程、模拟实验等工具进行深度学习.为了解学生的数字素养水平，某市采用分层抽样从全市10所学校中随机抽取500名学生进行问卷调查，并根据问卷结果进行打分记作学生的数字素养得分，满分100分，分数集中在内，频率分布表如下：
下列对本次调查的说法中正确的是（ ）
A. 学生数字素养得分的众数约为75
B. 学生数字素养得分的中位数约为76.43
C. 学生数字素养得分的第75百分位数约为84.6
D. 学生数字素养得分的平均数约为76.4
10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 与垂直的单位向量的坐标为或
D. 若向量与非零向量共线，则
11. 如图，三棱锥平面，，为的中点，点为三棱锥外接球球心，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，二面角大小为
C. 当异面直线与所成角为时，
D. 当点到平面的距离为时，
三、填空题
12. 已知向量，的夹角为60°，，，则___________.
13. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．
14. 已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______．
四、解答题
15. 如图，在正方体中，．
（1）作出过与平行的平面，并证明；
（2）求直线和平面所成的角．
16. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求线段AD长的最大值．
17. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．
（1）证明：；
（2）若，，，求三棱柱的高．
18. 某研究所对两块试验田水稻的株高进行调研，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道第一块试验田抽取了水稻 株，其平均数和方差分别为（单位：）和，另一块试验田抽取了水稻株，其平均数和方差分别为（单位：）和，你能由这些数据计算出总样本的方差，并对这种水稻的方差作出估计吗？
19. 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至.
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上.
（i）证明：平面平面；
（ii）求球的半径；
（2）求二面角的余弦值的最小值.
数学
一、单选题
1. 设复数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用复数代数形式的乘除运算化简,即可求解．
解答过程：，
故选：B．
2. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
答案：A
解析：
思路：运用面面垂直判定定理可判断A，借助长方体举反例可判断BCD.
解答过程：对于A，若，，则，且，则.故A正确.
对于B,如图所示，，，，，此时，故B错误.

对于C, 如图所示，，， ，，此时异面，故C错误.

对于D, 如图所示，，，，，此时，故D错误.

故选：A．
3. 用斜二测画法画水平放置的 ，其直观图如图所示，其中，若原的周长为6，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，求得，进而得到的长，得到答案.
解答过程：如图所示，根据斜二测画法的规则，得到直观图画出原图，
因为，可得，所以，即，
则，所以.
故选：C.
4. 为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的A，B，C三所中学抽取80名学生进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有400，560，320名学生，则从学校中应抽取的人数为（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
答案：B
解析：
思路：根据分层抽样原理求出从学校抽取的人数作答.
解答过程：依题意，从三所中学抽取名学生，应从学校抽取的人数为.
故选：B
5. 正六边形ABCDEF中，用和表示，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据正六边形的性质，结合向量的线性运算，即可求解.
解答过程：设边长为2，如图，设交于点，有，，
则
，
故选：B
6. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据几何体结构特征补形为长方体得外接球球心在中点处，求出即可得球的半径，进而由球的体积公式即可得解.
解答过程：根据几何体结构特征，将几何体补形为长方体，
显然四棱锥的外接球即为长方体的外接球，
所以外接球球心在中点处，
又，故外接球半径，
所以.
故选：D.
7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A. B. -C. 2D.
答案：A
解析：
思路：
如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角 为异面直线与所成角．
解答过程：解：如图所示，
分别取，，，的中点，，，，则，，，
或其补角为异面直线与所成角．
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A．
方法提示：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
8. 在中，角的对边分别为．已知，且，点满足， 且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由已知结合余弦定理可求出，然后结合重心的性质及向量数量积的性质可求出，然后根据三角形的面积公式可求得结果
解答过程：因为，
所以，得，
因为，所以，
因为，
所以，
所以，
所以，所以，
所以
因为，
，
化简得，解得或（舍去），
所以
,
设边的中点为，则，
因为，所以，即为的中点，
所以，
故选：A
二、多选题
9. 人工智能的普及使学生学习方式发生了改变，数字素养水平较高的学生能高效检索、筛选和整合信息，利用在线课程、模拟实验等工具进行深度学习.为了解学生的数字素养水平，某市采用分层抽样从全市10所学校中随机抽取500名学生进行问卷调查，并根据问卷结果进行打分记作学生的数字素养得分，满分100分，分数集中在内，频率分布表如下：
下列对本次调查的说法中正确的是（ ）
A. 学生数字素养得分的众数约为75
B. 学生数字素养得分的中位数约为76.43
C. 学生数字素养得分的第75百分位数约为84.6
D. 学生数字素养得分的平均数约为76.4
答案：ABD
解析：
思路：根据众数，中位数，百分位数，平均数的定义，结合频率分布表计算即可.
解答过程：对于A，学生数字素养得分的众数约为，故A正确；
对于B，因为，
所以中位数在区间内，设为，
则，解得，
所以学生数字素养得分的中位数约为，故B正确；
对于C，因为，
所以第75百分位数在区间内，设为，
则，解得，
所以学生数字素养得分的第75百分位数约为，故C错误；
对于D，学生数字素养得分的平均数约为
，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 与垂直的单位向量的坐标为或
D. 若向量与非零向量共线，则
答案：ACD
解析：
思路：利用向量夹角公式判断A选项；利用公式判断B选项；设与垂直的单位向量的坐标为，建立方程组求解即可判断C选项；设，利用平面向量基本定理中的唯一性可得判断D选项.
解答过程：由题意得，，故A正确；
在方向上的投影向量为，
故B错误；
设与垂直的单位向量的坐标为，则，解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C正确；
若向量与非零向量共线，设，
因为不共线，所以，解得，此时，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，三棱锥平面，，为的中点，点为三棱锥外接球球心，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，二面角大小为
C. 当异面直线与所成角为时，
D. 当点到平面的距离为时，
答案：ACD
解析：
思路：对于A，通过计算即可证，对于B，根据题意可得，就是二面角的平面角，计算即可得到二面角，对于C，设，作出异面直线夹角，再利用余弦定理结合条件列方程可得；对于D，根据锥体外接球球心的作法，可作球心，且即可判断.
解答过程：
对于A，连接，平面，平面，
，即，
又，所以，
则，为的中点，所以，故A正确；
对于B，设中点为，连接，
平面，平面，
，又，，，
又为中点，所以，
又，所以，，
平面平面，就是二面角的平面角，
，即二面角的为，故B错误；
对于C，设中点为，连接，，
设时，，
中，，，
，
，
解得，即，故C正确；
对于D，设的外心为，过作平面的垂线，球心在垂线上，
又平面，所以，
又，所以在的垂直平分线上，则，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
12. 已知向量，的夹角为60°，，，则___________.
答案：4
解析：
思路：转化，结合题干条件即得解
解答过程：∵向量，的夹角为60°，，，
∴，
则.
故答案为：4
方法提示：本题考查了向量的模长和向量数量积的关系，考查了学生转化划归，数学运算，概念理解的能力，属于基础题
13. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．
答案：
解析：
思路：
由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积.
解答过程：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，
如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为，
则圆台的高，
据此可得圆台的体积：.
故答案为：.
方法提示：关键点点睛：本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积.
14. 已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______．
答案：
解析：
思路：根据圆锥的表面积公式得到母线，根据圆锥截面的性质、圆的截面性质及相互之间关系求解即可.
解答过程：设圆锥的母线长为，则，解得.
则圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形.
沿圆锥内三个球的球心的截面如图，则为边长为的等边三角形，
根据圆锥的性质易知截面圆的圆心为的外心，所以.
沿，所在轴截面如图，易知，所以.
所以，解得.
四、解答题
15. 如图，在正方体中，．
（1）作出过与平行的平面，并证明；
（2）求直线和平面所成的角．
答案：（1）作法：连接，如图所示：
则平面即为过与平行的平面.
证明：在正方体中，由且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面即为过与平行的平面.
（2）解析：
思路：（1）先根据题意作出平面，然后利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）先找出线面角，然后根据定义说明线面角，最后在直角三角形中结合已知条件求解即可.
（1）略
（2）设与交于点，连接，如图所示：

在正方体中，因为平面，平面，
所以，在正方形中，由，且，
所以平面，即平面，平面，
所以为斜线在平面内的射影，
所以为直线和平面所成的角，
又，则，，
在直角三角形中，，
又，所以，即直线和平面所成的角为.
16. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求线段AD长的最大值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）通过正弦定理和余弦定理化简后即可解得.
（2）将用三角形三边转换后化简求出的表达式，利用不等式求出最大值即可.
（1）由正弦定理得，即，
．
（2）由，得，
，即，
两边同时平方得
，
．
令，则，
令，则，
在锐角中，
，
，，
当且仅当，即时取等号，
，
线段长的最大值为．
17. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．
（1）证明：；
（2）若，，，求三棱柱的高．
答案：（1）证明见解析；（2）三棱柱的高为.
解析：
思路：（1）连接，则为与的交点，证明平面，可得；
（2）作，垂足为，连接，作，垂足为，证明为等边三角形，求出到平面的距离，即可求三棱柱的高．
解答过程：（1）证明：连接，则为与的交点，
侧面为菱形，
，
平面，平面，
，
，平面，
平面，
平面，
；
（2）解：作，垂足为，连接，作，垂足为，
，，，平面，
平面，平面，
，
，，平面，
平面，
，
为等边三角形，
，，
，，
由，可得，，
为的中点，
到平面的距离为，
三棱柱的高．
18. 某研究所对两块试验田水稻的株高进行调研，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道第一块试验田抽取了水稻 株，其平均数和方差分别为（单位：）和，另一块试验田抽取了水稻株，其平均数和方差分别为（单位：）和，你能由这些数据计算出总样本的方差，并对这种水稻的方差作出估计吗？
答案：估计这种水稻的总体方差为．
解析：
思路：计算出总体的平均数为，然后代入总体的方差公式可得结果.
解答过程：把第一块试验田样本记为、、、、，其平均数为，方差为，
把第二块试验田样本记为、、、、，其平均数为，方差为，
把总样本数据的平均数记为，方差为．
根据方差的定义，总样本方差为
．
由，可得．
同理可得．
因此，
．①
由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为．
把已知两块试验田样本平均数和方差的取值代入①，可得
所以总样本的方差为，并据此估计这种水稻的总体方差为．
19. 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至.
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上.
（i）证明：平面平面；
（ii）求球的半径；
（2）求二面角的余弦值的最小值.
答案：（1）（i）证明：在中，由，得，
所以，
且，即，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（ii）.
（2）.
解析：
思路：（1）（i）通过证明平面，证得平面平面；
（ii）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，由此求得球的半径；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得其最小值.
（1）（i）略.
（ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，设球心，半径，
则，
所以，
解得，所以球O的半径为；
（2）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，
因平面,则平面.
则由（1），
设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内，
则，
所以，
设平面一个法向量为，则，
即，取，
则得；
平面的一个法向量为，则，
即，取，则得，
所以，
令，则由得，则，
于是
，
当且仅当即时等号成立，
所以二面角的余弦值的最小值为.
分组
频率
0.05
0.18
0.42
0.28
0.07
分组
频率
0.05
0.18
0.42
0.28
0.07