2025~2026学年河北省唐山市唐山一中高一下册期末质量检测数学试题【含答案】

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. 2B. C. D.
4. 已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知满足不等式，则函数的最大值与最小值之和是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A. 在上单调递减
B. 图象的相邻两条对称轴间的距离为
C. 在上的值域为
D. 将的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为
11. 已知定义在上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 直线是函数的一条对称轴
D. 若在区间上有10个零点，则所有零点之和为20
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数则__________.
13. 函数的值域是__________.
14. 已知函数，若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________，__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合或.
（1）当时，求：
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
16. （1）求值：；
（2）已知，求的值．
17. 已知函数的部分图象如图所示，其中点.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的值.
18. 第25届冬季奥林匹克运动会，将于2026年2月6日至2月22日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐举行.某商店计划出售该运动会吉祥物.假设该吉祥物的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元，）满足分段函数：已知每个吉祥物的进货成本为30元，商店每日需支付场地租金等固定成本600元.设该商店销售这款吉祥物的日利润为（单位：元）.
（1）写出日利润（元）关于销售单价的函数解析式（利润销售收入-成本）；
（2）当销售单价为何值时，该商店的日利润最大？此时日利润是多少？
19. 若存在实数使得，则称函数为的“函数”.
（1）设函数，若偶函数为的“函数”，且满足，请求出此时的值；
（2）若为的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，
（i）求的解析式；
（ii）设函数.若，且不等式对任意恒成立，求实数的最小值.
数学
考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
思路：根据常用数集的概念进行判断即可.
解答过程：对于①，是有理数，但不是整数，故①错误；
对于②，是无理数，不是有理数，故②正确；
对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误；
对于④，是无理数，也是实数，故④正确；
故正确的个数为2.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：根据充分条件与必要条件的定义，分别验证充分性和必要性即可.
解答过程：当时，，故充分性成立；
而当时也满足，所以必要性不成立.
故选：A.
3. 若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. 2B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由角终边经过的点坐标即可求得，进而可求的值.
解答过程：因为角的终边经过点，
则，，
则
故选：D.
4. 已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解.
解答过程：由的图象可知，
由知，
所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上.
故选：C.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先使用正切的和差公式求出的值，再使用二倍角公式结合三角函数同角关系，齐次化，然后再上下同时除以将转化为，进而可根据的值求解.
解答过程：由，解得，
所以.
故选：C.
6. 已知满足不等式，则函数的最大值与最小值之和是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
思路：设，则等价于，然后化简函数，进而可求得最值.
解答过程：设，则等价于，
解得，而，
当时，有最小值-1，当时，有最大值3，
所以最大值与最小值之和为2.
故选：B.
7. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用辅助角公式化简函数，再求出的解析式，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，进而求出最小值.
解答过程：依题意，，将的图象向右平移个单位长度后
所得图象的函数解析式为，由函数的图象关于轴对称，
得，解得，而，
所以当时，取得最小值.
故选：A
8. 已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：将问题转化为，再利用基本不等式求最值.
解答过程：由题意可知，有解，即，
因为，所以，
那么
，
当且仅当，即时等号成立，
故，则的最小值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：AB
解析：
思路：根据给定条件，利用不等式的性质，结合指数函数性质逐项判断即得.
解答过程：由不等式的可加性，得，故A正确；
由不等式的可乘性，得，故B正确；
当时，，故C错误；
当时，函数在上单调递减，此时，故D错误.
故选：AB.
10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A. 在上单调递减
B. 图象的相邻两条对称轴间的距离为
C. 在上的值域为
D. 将的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为
答案：BCD
解析：
思路：根据的范围求出的范围，结合余弦函数的单调性即可判断选项A；根据三角函数的对称性与周期性可判断选项B；根据的范围求出的范围，结合余弦函数的单调性即可求得函数的值域，进而判断选项C；根据三角函数的图象变换结合三角函数的诱导公式即可判断选项D.
解答过程：对于A，当时，；由，得，此时单调递增，
由，得，此时单调递减，
所以函数在上先增后减，故A错误；
对于B，因为函数的周期为，其图象的相邻两条对称轴间的距离为，故B正确；
对于C，当时，，当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值1，故在上的值域为，故C正确；
对于D，将的图象向左平移个单位后所得图象的函数解析式为
，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知定义在上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 直线是函数的一条对称轴
D. 若在区间上有10个零点，则所有零点之和为20
答案：ACD
解析：
思路：对于A，由的图象关于直线对称即可得到是偶函数，令结合偶函数即可求的值，则有，得到的周期，则可求得的值；对于B，由题意得在上单调递增，且有，，进而可比较和的大小；对于C，由，结合偶函数，可得的对称点是，若要证明是函数的一条对称轴，结合奇偶性和对称性证明即可；对于D，设，则的零点就是与的图象的交点的横坐标，由奇偶性和周期性易得图象都关于对称，则有的零点也关于对称，进而可求零点之和.
解答过程：对于A，因为的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，即是偶函数，，
，令，则，解得，
由于，所以，
则有，可得，进而，
所以函数是周期为4的周期函数，故，故A正确，
对于B，对任意，当时，都有，
移项得到，
所以当， ，即时，，
所以在上单调递增，
，
由于在上单调递增，所以，即，故B错误，
对于C，，所以，
所以的图象关于点对称，
所以，设，则，
因为是偶函数，所以，
那么，
所以直线是函数的一条对称轴，故C正确，
对于D，，即，
设，则有的零点就是与的图象的交点的横坐标，
易得的图象关于对称，
因为是周期为4的偶函数，所以有，
则的图象也关于直线对称，
由在区间上有10个零点，得与的图象的交点两两关于直线对称，
不妨设这10个交点的横坐标分别为，且，
则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数则__________.
答案：10
解析：
思路：根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可.
解答过程：由题知.
所以
故答案为：10.
13. 函数的值域是__________.
答案：
解析：
思路：令，结合一元二次函数求值域.
解答过程：由，
令，则，所以，
当时，有最大值，当时，有最小值，
故的值域为.
故答案为：
14. 已知函数，若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________，__________.
答案： ①. ； ②. 1.
解析：
思路：对于第一空，先在平面直角坐标系中画出函数的大致图象，再令，得，因此有，再分析在的不同范围内所对应的的解的个数，即可得解；
对于第二空，由图可得，再根据对数运算，将其转化为，即可得解.
解答过程：，
当时，在上为减函数，在上为增函数；
当时，在上为减函数，在上为增函数，
作出函数的图象如图所示：
设，当时，方程有3个解；当时，方程有4个解；
当时，方程有3个解；当时，方程有2个解；
当时，方程有1个解.
方程等价于，
要使关于的方程恰有6个不相等的实数根，
等价于方程有2个不同的根，
而当时，方程有2个解，
所以时，方程有4个解，所以，即得，
所以的取值范围是；
由图可知，，所以，
即，
得，即，即.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合或.
（1）当时，求：
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）应用交集定义计算求解；
（2）根据已知转化为，再分，两种情况列式计算求解参数.
（1）由题知或，
所以；
（2）由题知，
若对任意的恒成立，则，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上可知，即实数的取值范围是
16. （1）求值：；
（2）已知，求的值．
答案：（1）；（2）
解析：
思路：（1）根据指数幂、分数指数幂、对数运算性质及换底公式即可求解；
（2）先利用诱导公式进行化简，结合的范围确定与的符号，再利用与的关系进行计算即可
解答过程：（1）原式
.
（2），
因为，所以，又因为，故，
因此.
，
故.
17. 已知函数的部分图象如图所示，其中点.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由周期求，将点代入求，即可得解析式；
（2）由对称性得到结合诱导公式，二倍角公式求即可.
（1）因为在函数图象上且纵坐标互为相反数，
结合图象可知，
根据，解得.
将代入，
解得，因为，所以，
所以函数解析式为；
（2），即在上有两个不相等的实数根，
当时，，
设，
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，且，即
那么，
因为，所以，
所以，
所以.
18. 第25届冬季奥林匹克运动会，将于2026年2月6日至2月22日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐举行.某商店计划出售该运动会吉祥物.假设该吉祥物的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元，）满足分段函数：已知每个吉祥物的进货成本为30元，商店每日需支付场地租金等固定成本600元.设该商店销售这款吉祥物的日利润为（单位：元）.
（1）写出日利润（元）关于销售单价的函数解析式（利润销售收入-成本）；
（2）当销售单价为何值时，该商店的日利润最大？此时日利润是多少？
答案：（1）
（2）55元或80元，日利润是650元
解析：
思路：（1）根据已知分段函数结合利润销售收入-成本列式求解；
（2）应用二次函数值域及基本不等式计算求解最大值即可.
（1）当时，
当时，；
所以
（2）由（1）知，当时，.
当时，利润最大，此时利润是650元；
当时，
，
当且仅当，即时，利润最大，此时利润是650元.
所以当销售单价为55元或80元时，该商店的日利润最大，此时日利润是650元
19. 若存在实数使得，则称函数为的“函数”.
（1）设函数，若偶函数为的“函数”，且满足，请求出此时的值；
（2）若为的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，
（i）求的解析式；
（ii）设函数.若，且不等式对任意恒成立，求实数的最小值.
答案：（1）；
（2）（i）；（ii）.
解析：
思路：（1）根据函数的定义写出，再根据是偶函数列出方程，即可得解；
（2）（i）运用函数的定义，得到，再根据与的奇偶性列出方程，即可得解；
（ii）由题可得，再运用换元法令，将其转化为，结合二次函数的性质与的范围确定复合函数的单调性，将转化为，再进行参变分离得，运用换元法与基本不等式，即可得解.
（1）由题知，，
因为是偶函数，所以，
即，即，
又，可得，
因为对任意成立，所以，
又，解得；
（2）（i）因为为的“函数”，
所以①，所以，
因为为奇函数，为偶函数，所以，
所以②，
联立①②，解得；
（ii），
令，且在上单调递增，
又在上单调递增，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，
所以对任意恒成立，
那么对任意恒成立，
所以，
令，则，所以，
又，当且仅当时等号成立，
所以，则，所以的最小值为.