2025~2026学年广东省广州市第六中学高二下册期末考试数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年广东省广州市第六中学高二下册期末考试数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知正实数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若为奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（ ）种
A. 12B. 18C. 36D. 72
6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率是（ ）
A. 0.925B. 0.4625C. 0.48D. 0.525
7. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足（为坐标原点），则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
8. 已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（ ）
A. 数列的通项公式为B. 数列是递增数列
C. 数列的前项和D. 若，则数列一定是等比数列
10. 已知一个盒中装有除颜色外完全相同的乒乓球4个，白色和黄色各2个.现随机抽取2个球，方式一是每次取一个，取完后放回再取下一个，记取到的白球个数为；方式二是每次取一个，取完后不放回，记取到的白球个数为，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（ ）
（注：若，则）
A. B. 在上是增函数
C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称
三、填空题（每题5分，共15分；第13题第1空2分，第2空3分）
12. 已知，则_________．
13. 为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射后14天的结果如表所示，由表中数据算得：__________________（精确到0.001），若基于的独立性检验，可以认为两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同.则根据所给参考数据，的最小值为__________________.
公式：.
参考数据：
14. 若不等式解集中有且仅有两个整数，则实数的取值范围是_____.
四、解答题（共5小题，77分）
15. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）若在区间上有三个零点，求的取值范围．
16. 在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且．
（1）若，求的大小；
（2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度.
17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求．
18. 假设变量与变量的对观测数据为（也称为样本点，），且已知两个变量满足一元线性回归模型.
（1）求参数的最小二乘估计；
（2）现随机抽取其中的6对观测数据如下：
①根据（1）中所得参数的估计，求关于的经验回归方程；
②对于①中所求的经验回归方程，若样本点的残差满足，则称该样本点为“大偏差”样本点.若样本点足够多，且所有样本点均可用所求经验回归方程拟合，以这6个样本点中“大偏差”样本点的频率近似估计概率，现从所有样本点里随机挑出10个，其中“大偏差”样本点有个，求最大时值.
19. 已知离心率且焦点在x轴上的序列椭圆：（），其中的一个焦点为．过上一点（）作的两条弦、，交于另两点，，且的内心在过且垂直于轴的直线上．
（1）求数列的通项公式；
（2）求直线的斜率；
（3）若O为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：．
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由集合，，可得，
又由集合，所以.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性.
解答过程：因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立，
当时，满足，但不成立，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
3. 已知正实数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：用“1”的代换和基本不等式判断即可．
解答过程：由a，b为正实数且.
根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确；
，当且仅当时等号成立，故B错误；
，当且仅当时等号成立，故C错误；
根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得，
当且仅当时等号成立，即，故D错误.
4. 若为奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由于为奇函数，故.
5. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（ ）种
A. 12B. 18C. 36D. 72
答案：C
解析：
思路：先将4个主题按2,1,1的结构分组，再将三组分配给3名游客，结合分步乘法计数原理计算即可.
解答过程：先将4个主题分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为；
再将分好的三组全排列，分配给3名不同的游客，排列方法数为；
根据分步乘法计数原理，总游览方式共有种.
6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率是（ ）
A. 0.925B. 0.4625C. 0.48D. 0.525
答案：D
解析：
思路：利用全概率公式展开即可求得结果.
解答过程：定义事件发送信号为0，发送信号为1，接收信号为0，接收信号为1
由题意可知：，
发送0时，接收0的概率为：，接收1的概率为：
发送1时，接收0的概率为：，接收1的概率为：
根据全概率公式可得：．
7. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足（为坐标原点），则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
答案：D
解析：
思路：不妨设点为第一象限内一点，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，然后利用抛物线的定义可求得.
解答过程：不妨设点为第一象限内一点，因为，所以直线的斜率为，
又抛物线的方程为，所以，所以直线的方程为，
联立，解得或（舍去），即点，
所以，.
8. 已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
答案：C
解析：
思路：先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，再结合切线过点得到关于切点横坐标的表达式，最后通过求导研究该表达式的单调性，进而求出的最大值.
解答过程：设切点坐标为 ，
因为 ，所以，所以切点处的切线斜率 ，
由点斜式得切线方程为：
令，代入切线方程可得纵截距：
，
设函数 ，则，
令，由于恒成立，解得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
因此为的最大值点，
最大值为 ，即的最大值为.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（ ）
A. 数列的通项公式为B. 数列是递增数列
C. 数列的前项和D. 若，则数列一定是等比数列
答案：BD
解析：
思路：由条件求得等差数列公差，写出其通项公式，求和公式，结合等比数列定义逐项判断即可.
解答过程：设等差数列的公差为，因为，且，
所以，解得：，
则，显然数列是递增数列，故A错误，B正确；
因，故C错误；
令，，所以数列是公比为的等比数列，故D正确.
10. 已知一个盒中装有除颜色外完全相同的乒乓球4个，白色和黄色各2个.现随机抽取2个球，方式一是每次取一个，取完后放回再取下一个，记取到的白球个数为；方式二是每次取一个，取完后不放回，记取到的白球个数为，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：利用二项分布的定义判断A；求出概率判断B；求出期望和方差判断C，D即可.
解答过程：对于A，每次取到白球的概率为，则，A正确；
对于B，，，则，B错误；
对于C，的可能取值为，，
则，又，则，C正确；
对于D，，而，则，D正确.
11. 已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（ ）
（注：若，则）
A. B. 在上是增函数
C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称
答案：ACD
解析：
思路：对于A，利用正态分布的对称性，将区间概率转化为标准差范围内的已知数值，对于B，由正态分布曲线的性质即可判断，对于C，将替换为结合条件即可求解，对于D，由正态分布曲线的对称性结合条件即可求解．
解答过程：对于A，，所以A正确；
对于B，根据正态分布曲线的性质得，随着的增大减小，
在上是减函数，B错误；
对于C,，根据对称性，将替换为，
即，
图象关于直线对称，所以C正确；
对于D，，根据对称性得，
因此，即,
关于对称，D正确．
三、填空题（每题5分，共15分；第13题第1空2分，第2空3分）
12. 已知，则_________．
答案：63
解析：
思路：赋值法，令，.
解答过程：，
令，得，令，得，
所以63.
13. 为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射后14天的结果如表所示，由表中数据算得：__________________（精确到0.001），若基于的独立性检验，可以认为两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同.则根据所给参考数据，的最小值为__________________.
公式：.
参考数据：
答案： ①. 5.333 ②. 0.05
解析：
思路：根据给定的数表，求出的观测值，再与临界值表比对作答.
解答过程：.
因为，
若基于的独立性检验，可以认为两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同，
所以根据所给参考数据，的最小值为.
14. 若不等式解集中有且仅有两个整数，则实数的取值范围是_____.
答案：
解析：
思路：构造函数，，利用导数探讨函数的性质，当时确定不等式的整数解，当时，作出函数的图象，由条件建立不等式组求解.
解答过程：不等式，令函数，，
求导得，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
，函数的图象是过定点的直线，
当时，若，则，
而，此时仅有两个整数使得不等式成立；
当时，在同一坐标系内作出的图象，如图：
由，得2是不等式的一个整数解，
要使不等式解集中有且仅有两个整数，则或，
即或，解得，此时，
所以实数的取值范围是.
四、解答题（共5小题，77分）
15. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）若在区间上有三个零点，求的取值范围．
答案：（1）极大值为，极小值为；
（2）解析：
思路：（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，确定极值点后代入计算极值.
（2）计算区间端点函数值，结合函数单调性与极值，根据三次函数零点个数的判定条件列不等式组求解参数范围.
（1）函数的定义域为.
∵ ，
∴ .
令，解得或.
当时，，故，单调递增.
当时，，故，单调递减.
当时，，故，单调递增.
∴ 为的极大值点，极大值为.
为的极小值点，极小值为.
（2）计算在区间端点的函数值：
，
.
∵ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使在上有3个不同的零点，需满足：
解得，即的取值范围为.
方法提示：方法归纳：求解三次函数零点个数问题时，优先通过导数分析单调性、极值，结合区间端点函数值，利用数形结合思想列不等式组求解参数范围.
16. 在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且．
（1）若，求的大小；
（2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度.
答案：（1）；
（2）2
解析：
思路：（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解；
（2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可.
（1）因为，由正弦定理得.
因为的角平分线交于点，所以，
由，得，
则，
即，所以.
在中，由余弦定理得，
即；
（2）由，得，
得，
化简得，即，
所以，即，
当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值，
此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线.
即重合，故.
17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求．
答案：（1）证明：由，，，、平面
可得平面，又平面，故，
由平面平面ABCD，平面平面，且平面，
故平面；
（2）或
解析：
思路：（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解.
（1）略
（2）以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，
的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设，，
则，，，，
，，，
记平面的法向量为，，即，
令，则，，即可取，
设直线与平面所成角为，
则，
即，，
解得或（负值舍去），故或．
18. 假设变量与变量的对观测数据为（也称为样本点，），且已知两个变量满足一元线性回归模型.
（1）求参数的最小二乘估计；
（2）现随机抽取其中的6对观测数据如下：
①根据（1）中所得参数的估计，求关于的经验回归方程；
②对于①中所求的经验回归方程，若样本点的残差满足，则称该样本点为“大偏差”样本点.若样本点足够多，且所有样本点均可用所求经验回归方程拟合，以这6个样本点中“大偏差”样本点的频率近似估计概率，现从所有样本点里随机挑出10个，其中“大偏差”样本点有个，求最大时值.
答案：（1）
（2）①；②
解析：
思路：（1）将展开，结合二次函数最值计算即可求解；
（2）①将数据代入公式即可求解；②由数据确定单次抽到“大偏差”的概率为，再结合二项分布，计算概率，进而可求解.
（1）残差平方和
，
由二次函数性质可知，当且仅当时残差平方和最小，
故的最小二乘估计；
（2）①由观测数据求得，
则，
故所求经验回归方程为.
②计算样本点的残差的绝对值如下：
故“大偏差”样本点共有2个，频率为，
即单次抽到“大偏差”的概率，
因此，，
由，解得，
由，解得，
又因为，且，
所以当最大时，.
19. 已知离心率且焦点在x轴上的序列椭圆：（），其中的一个焦点为．过上一点（）作的两条弦、，交于另两点，，且的内心在过且垂直于轴的直线上．
（1）求数列的通项公式；
（2）求直线的斜率；
（3）若O为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：．
答案：（1）
（2） （3）由（2）知的方程为，此时，
，，
，
到直线的距离，
因为的面积，解得满足，
因为，所以，，
则，所以，
则．
解析：
思路：（1）由已知可得，进而可得，可求数列的通项公式；
（2）设的方程为．联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而可得，计算可求直线的斜率；
（3）求得，结合三角形的面积可得，可得 ，可证明结论.
（1）由，解得，
因为的一个焦点为，所以，解得，
所以．
（2）由（1）知,即．
因为的内心在过且垂直于轴的直线上，所以，
设,，的方程为，
将其代入整理得．
，即，
由韦达定理可得，，(*)
把代入，可得,由对称性，不妨取，
由得，
整理得，
即 ,
将(*)代入，整理得，
当时，过点，舍去，
所以，解得．
（3）略.电离辐射剂量
存活情况
合计
死亡
存活
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
合计
20
30
50
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
序号
1
2
3
4
5
6
0
1
1
3
3
4
5
电离辐射剂量
存活情况
合计
死亡
存活
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
合计
20
30
50
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
序号
1
2
3
4
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6
0
1
1
3
3
4
5
序号
1
2
3
4
5
6
0.5
1
2
0.5
1.5
0.5