2025--2026学年广东广州市第八十六中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数点处的切线方程为，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 6
2. 在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（ ）
A. B. C. D.
3. 一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（ ）
A. 480种B. 1200种C. 2400种D. 5040种
4. 若，，则（ ）
A. B. 31C. D. 32
5. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
7. 某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ）
A. 360种B. 336种C. 216种D. 120种
8. 进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ）
A. 采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B. 采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为
C. 发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D. 当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若与互斥，则
B. 若与相互独立，则
C. 若，则事件与相互独立
D. 若，则
10. 已知某围棋比赛的个人冠军决赛将在甲、乙两人之间展开，且在每一局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，赛程将采用“三局两胜制”或“五局三胜制”．记“甲获得冠军”为事件A，“乙获得冠军”为事件B，随机变量X表示决出冠军需进行的比赛局数，则下列结论正确的为（ ）
A.
B. 若采用“五局三胜制”，则
C. 采用“五局三胜制”比采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利
D. 若采用“五局三胜制”，则
11. 已知函数，则（ ）
A. 曲线的图象与轴有交点
B. 当时，在处有极大值
C. 存在，使得是曲线的对称中心
D. 当时，若曲线与曲线在上有两个交点，则
三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______.
13. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有______不同的涂色方法.
14. 若实数、、、满足，则的最小值为__________
四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64.
（1）求二项展开式的中间项；
（2）求展开式中的常数项.
16. 设，，，两个函数的图象如图所示.
（1）判断，的图象与，之间的对应关系；
（2）根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明.
17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差；
（3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由，
18. 某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次．假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立．
（1）若，记每人血样化验的次数为X，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；
（2）若，设每人血样单独化验一次的费用为5元，k个人混合化验一次的费用为k＋4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用．
参考数据及公式：（）．
19. 已知函数，．
（1）若，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）若对任意，有恒成立，求整数的最小值．
数学
考试用时：120分钟卷面总分：150分本卷共5页
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数点处的切线方程为，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 6
答案：D
解析：
解答过程：由题意已知，可得.
2. 在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：分“取到1件次品”和“取到2件次品”两种情况，结合组合数与分类加法计数原理得解.
解答过程：“至少取到1件次品”分两种情况：
取的1件次品的方法数为：种；取到2件次品的方法数为：种，
由分类加法计数原理知，共有种不同的方法数，
又，，
故选：D
3. 一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（ ）
A. 480种B. 1200种C. 2400种D. 5040种
答案：C
解析：
思路：利用排列组合的知识结合分步计数原理的知识求解即可.
解答过程：先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序；
再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序.
根据分步乘法计数原理可知，共有2400种不同的演出顺序.
故选：C.
4. 若，，则（ ）
A. B. 31C. D. 32
答案：B
解析：
思路：利用赋值法求解即可.
解答过程：解：令，得 ，即 ，
令，得 ，
即 ，
所以 .
故选：B.
5. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用二项分布概率公式计算即得.
解答过程：由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以．
故选：C．
6. 已知函数，则的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可判断；
解答过程：解：因为定义域为，
所以，
所以当时，当或时，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
又，故符合条件的函数图象为A；
故选：A
7. 某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ）
A. 360种B. 336种C. 216种D. 120种
答案：B
解析：
思路：对山区的派发人数分类，若派到山区只有甲，剩下教师按人数分组以后计算种数，再减去乙丙教师安排到同一山区的种数，即可得山区只派甲的情况的种数，进而求出总的情况数量.
解答过程：若派到山区有人，则不同的派法有种；
若派到山区只有甲，先把其余人分为四组，每组人数分别为，再将四组教师分配到四个山区，不同派法有种，
其中乙和丙安排到同一山区的情况有种，所以派到山区只有甲的派法有种；
所以不同的派法共有种.
故选：
8. 进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ）
A. 采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B. 采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为
C. 发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D. 当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
答案：C
解析：
思路：利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式依次求出各项中对应事件的概率，即可得.
解答过程：A：由题意，发送0时，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为，
所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，错；
B：发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为，
采用三次传输方案，发送数码0，译码为0的情况有、、、，
对应概率依次为、、、，故所求概率为，错；
C：由B分析，三重传输时，发送数码0，译码为0的概率为，
单次传输时，发送数码0，译码为0的概率为，
所以，
又，则，即三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率，对；
D：单次传输时，发送0，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为，
三重传输时，发送0，收到0的概率为，发送1，收到1的概率为，
所以时，译码正确的概率与传输数码内容无关，结合C分析，显然或1时，译码正确的概率才与传输方案无关，错.
故选：C
二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若与互斥，则
B. 若与相互独立，则
C. 若，则事件与相互独立
D. 若，则
答案：ABC
解析：
思路：利用互斥事件的概率公式可判断A选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B选项；利用独立事件的概念可判断C选项；由交事件的定义可判断D选项.
解答过程：对于A选项，若与互斥，则，A对；
对于B选项，若与相互独立，则，
所以，，B对；
对于C选项，若，且，
所以，事件与相互独立，C对；
对于D选项，若，则，所以，，D错.
故选：ABC.
10. 已知某围棋比赛的个人冠军决赛将在甲、乙两人之间展开，且在每一局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，赛程将采用“三局两胜制”或“五局三胜制”．记“甲获得冠军”为事件A，“乙获得冠军”为事件B，随机变量X表示决出冠军需进行的比赛局数，则下列结论正确的为（ ）
A.
B. 若采用“五局三胜制”，则
C. 采用“五局三胜制”比采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利
D. 若采用“五局三胜制”，则
答案：AD
解析：
思路：分析可得表示决出冠军需进行2局比赛，计算即可判断A的正误；分析、、的意义，即可判断B的正误；分别计算采用“五局三胜制”和采用“三局两胜制”时的，即可判断C的正误；分别求得，即可判断D的正误，即可得答案.
解答过程：对于A：表示决出冠军需进行2局比赛，即甲连赢2局或乙连赢2局，
则，故A正确；
对于B：若采用“五局三胜制”，则表示甲赢得冠军，此时可进行3或4或5场比赛，
表示乙赢得冠军，此时可进行3或4或5场比赛，
表示比赛3局决出冠军，表示比赛4局决出冠军，表示比赛5局决出冠军，
所以，故B错误；
对于C：采用“五局三胜制”则，
若采用“三局两胜制”则，
所以采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利，故C错误；
对于D：若采用“五局三胜制” 则，
所以，故D正确.
故选：AD
11. 已知函数，则（ ）
A. 曲线的图象与轴有交点
B. 当时，在处有极大值
C. 存在，使得是曲线的对称中心
D. 当时，若曲线与曲线在上有两个交点，则
答案：ABD
解析：
思路：利用函数零点的定义可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；由，得，设，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可判断D选项.
解答过程：对于选项A，因为，所以曲线的图象与轴有交点，A正确；
对于选项B，当时，，，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以在处有极大值，B正确；
对于选项C，若是曲线的对称中心，则，
等式两边求导得，即，
所以函数的图象关于直线对称，即，可得，
此时，
因为
，
所以，此时函数的图象关于点对称，不合乎题意，所以C错误；
对于选项D，当时，，
由，得，
设，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
所以当时，取得最小值，即，且，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图像有两个不同的交点，
此时曲线与曲线在上有两个交点，D正确．
故选：ABD.
三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______.
答案：0.8##
解析：
解答过程：由可得，因，
由正态曲线对称性，得，
则.
13. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有______不同的涂色方法.
答案：
解析：
思路：根据题意，分类讨论，若、同色．若、不同色，由分类加法原理，计算可得答案.
解答过程：图中区域分别为，，，，，则分类讨论，
若、同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有种，最后涂、，
共有种不同方法．
若、不同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有，
最后涂、只有种方法，所以若、不同色时共有种不同方法，
综上，所有的涂法共有种.
故
14. 若实数、、、满足，则的最小值为__________
答案：
解析：
思路：由题意可得的几何意义为曲线上的点与（不含点）上的点的距离的平方，借助导数的几何意义结合点到直线距离公式计算可得曲线上的点到（不含点）上的点的距离的最小值，即可得的最小值.
解答过程：由，则，，，则，
则点在上，点在（不含点）上，
则的几何意义为：
曲线上的点与（不含点）上的点的距离的平方，
令，则，令，则，又，
点到（不含点）上的点的距离的最小值为，
由点到点的距离为，
故点到上的点的距离可取最小值，
则的最小值为.
四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64.
（1）求二项展开式的中间项；
（2）求展开式中的常数项.
答案：（1）
（2）24
解析：
思路：（1）根据二项展开式中各项的二项式系数求出n的值，再结合展开式的通项，即可求得答案；
（2）求出展开式中的常数项以及项，即可求得答案.
（1）由的二项展开式中各项的二项式系数和为64，
得，
的通项为，
二项展开式的中间项为第4项，即；
（2）结合（1）可得的常数项为，
展开式中的项为，
展开式中的常数项为.
16. 设，，，两个函数的图象如图所示.
（1）判断，的图象与，之间的对应关系；
（2）根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明.
答案：（1）答案见解析；
（2），证明见解析.
解析：
思路：（1）分别求出函数，的导函数，利用导函数的符号及大小分别判断函数增长的快慢来判断图象.
（2）结合图象及（1）的结论，写出不等式并利用导数证明即得.
（1）函数，，求导得，，
当时，；当时，；
当时，，函数，在上都是增函数，
在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；
在区间上，的图象比的图象要“平缓”，
所以函数，的图象依次是图中的，.
（2）由（1）及图象知，，
设，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以.
17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差；
（3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由，
答案：（1）
（2），，
（3）会得到推广，因为.
解析：
思路：（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解；
（2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差；
（3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论.
（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰，
则，
则.
（2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立，
因此随机变量服从二项分布，
则，
，
，
，
，
，，
的分布列为：
（3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分，
则，满足推广条件，因此该系统会得到推广.
18. 某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次．假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立．
（1）若，记每人血样化验的次数为X，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；
（2）若，设每人血样单独化验一次的费用为5元，k个人混合化验一次的费用为k＋4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用．
参考数据及公式：（）．
答案：（1），506；
（2）10，7200（元）.
解析：
思路：（1）利用离散型随机变量及其期望公式结合对勾函数的单调性计算最值即可；
（2）利用离散型随机变量及其期望公式结合基本不等式计算最值即可；
（1）每人血样化验的次数为X，
若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则，
所以，
则
.
令，即，
易得在上单调递减，在上单调递增，
因为，且，，
所以当时，取得最小值，为0.1265.
即按16人一组，每人血样化验次数的数学期望最小，
此时化验总次数为.
（2）设每组k人，每组化验总费用为Y元，
若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则，
且，
所以，
则每人血样化验的费用为
，
当且仅当，即时取等号，
即10个人一组，每人血样化验费用的数学期望最小，
此时化验总费用为（元）．
方法提示：思路点睛：结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式及离散型随机变量的期望公式计算，再根据已知公式化简结合对勾函数的单调性可处理第一问，同样的方式可计算，再利用基本不等式可求最值处理第二问.
19. 已知函数，．
（1）若，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）若对任意，有恒成立，求整数的最小值．
答案：（1）
（2）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）1
解析：
思路：（1）对原函数进行求导，代入求解即可.
（2）求出函数的导数，并讨论和两种情况讨论函数的单调性.
（3）首先将不等式变形，参变分离为在上恒成立，转化为求函数的最值问题，求解即可.
（1）已知，则.
因为，则，解得，
（2）由（1）知， .
当时，在上恒成立，此时在上单调递增；
当时，令，即，解得或（舍去）.
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则.
设，，则在上单调递减，
因为，，
所以，使得，即，则.
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以.
故整数的最小值为1.
0
1
2
3
0
1
2
3