2025--2026学年广东广州市第六中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

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一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 可表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是函数的导函数，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
3. 一盒中装有5张，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张．设第1次抽出的有奖的事件为A，第2次抽出的有奖的事件为B，则
A. B. C. D.
4. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
5. 2026年4月12日，广州市第六中学举办了“科技赋能·创享未来”科技节，本次科技节亮点纷呈，趣味满满.为保证活动顺利进行，学校安排了4名高二志愿者分别到体育馆二楼、三航馆、阶梯报告厅3个场馆为参观的同学们提供指引，要求每名志愿者只能选择一个场馆，每个场馆至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 24种B. 36种C. 64种D. 72种
6. 某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则实数（ ）
A. 1B. C. 2D.
8. 已知函数恰有一个极值点为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A. 没有空盒子的方法共有24种
B. 可以有空盒子的方法共有128种
C. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
D. 可以有空盒子且1号球和2号球不放在一个盒子里的方法共有96种
10. 定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A. ，
B. 的值是19
C. 函数有三个零点
D. 过只可以作两条直线与图象相切
11. 已知，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 设随机变量X的分布列为（，4，7），则______．
13. 已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______．
14. 用四种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有______种．
三、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知分别为三个内角的对边，满足
（1）求;
（2）若的周长为，面积为 求.
16. 已知是椭圆C：的左焦点，椭圆C过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若倾斜角为且过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，其中A在x轴上方，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N，P两点，记，的面积分别为，，求的值．
17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使．
（1）求证：平面平面；
（2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知数列的首项为1，设，.
（1）若为常数列，求的值；
（2）若为公比为2的等比数列，求的解析式；
（3）数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由.
19. 设的定义域为，．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ），，．
数学
本试卷共2页，19道题，满分150分.考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 可表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：应用排列数公式即可求解.
解答过程：．
2. 已知是函数的导函数，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
答案：B
解析：
思路：先对函数求导再赋值可得，进而可得函数值.
解答过程：由，得，
∴，得，
∴，则.
故选：B．
3. 一盒中装有5张，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张．设第1次抽出的有奖的事件为A，第2次抽出的有奖的事件为B，则
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由题意，第1次抽出的有奖，剩下4张，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
解答过程：由题意，第1次抽出的有奖，剩下4张，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
方法提示：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
4. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：D
解析：
思路：求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合垂直关系列式求解.
解答过程：函数，求导得，则，
由函数的图象在点处的切线与直线垂直，得，
即，所以.
5. 2026年4月12日，广州市第六中学举办了“科技赋能·创享未来”科技节，本次科技节亮点纷呈，趣味满满.为保证活动顺利进行，学校安排了4名高二志愿者分别到体育馆二楼、三航馆、阶梯报告厅3个场馆为参观的同学们提供指引，要求每名志愿者只能选择一个场馆，每个场馆至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 24种B. 36种C. 64种D. 72种
答案：B
解析：
思路：利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式求解.
解答过程：将4名志愿者分成3组有种分法，再将每种分法的3组分配到3个场馆有种方法，
所以不同的分配方案有种.
6. 某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据条件概率的计算公式计算即可.
解答过程：设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件，
则，
故选：C.
7. 已知，则实数（ ）
A. 1B. C. 2D.
答案：A
解析：
思路：根据给定条件，利用等式左右两边的系数相等列式得解.
解答过程：显然展开式中没有项，而展开式中含的项为，
因此，解得，经验证符合题意，所以.
8. 已知函数恰有一个极值点为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：
根据题意可知，有且只有一个解，因为是它的唯一解，所以方程在上无解，利用导数判断函数在上的单调性，即可求出．
解答过程：由题意知函数的定义域为，
因为恰有一个极值点为，所以有且只有一个解，即是它的唯一解，也就是说另一个方程无解.令，则，所以函数在上单增，从而，所以，当时，无解，恰有一个极值点，所以实数的取值范围是．
故选：C．
方法提示：本题主要考查极值点的存在条件应用，以及利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于中档题．
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A. 没有空盒子的方法共有24种
B. 可以有空盒子的方法共有128种
C. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
D. 可以有空盒子且1号球和2号球不放在一个盒子里的方法共有96种
答案：AC
解析：
思路：利用全排列列式计算判断A；利用分步乘法计数原理计算判断B；利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理计算判断C；利用排除法列式计算判断D.
解答过程：对于A，没有空盒子的方法共有种，A正确；
对于B，可以有空盒子的方法共有种，B错误；
对于C，没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子有种，C正确；
对于D，可以有空盒子且1号球和2号球放在一个盒子的方法有种，
因此可以有空盒子且1号球和2号球不放在一个盒子里的方法有种，D错误.
10. 定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A. ，
B. 的值是19
C. 函数有三个零点
D. 过只可以作两条直线与图象相切
答案：ABD
解析：
思路：由题意求一次导数，再求二次导数，得到方程组，解出可得A正确；利用对称性得到，再仿写求和即可得到B正确；求导后分析极大值和极小值，再由结合单调性可得C错误；设出切点，由导数的意义和点斜式得到切线方程，再代入切点，解出方程即可得到D正确；
解答过程：对于A，因为，
所以，
所以，
由题意可得，即，
解得，故A正确；
对于B，因为的对称中心为，
所以，
设，
仿写得到，
两式相加得到，
所以，故B正确；
对于C，由A可得，
所以，
令，解得或2，
所以，当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
所以在取得极大值，在处取得极小值，
又，，
且，
所以有一个零点，故C错误；
对于D，设切点为，
则切线方程为，
又切线过点，
所以，
化简可得，即，
解得或，
即满足题意的切点只有两个，所以满足题意的切线只有2条，故D正确；
故选：ABD.
方法提示：关键点点睛：本题A选项关键在于对于函数新定义的理解后得到方程组解得；本题D选项关键在于设出切点，利用导数的意义得到切线方程，再解出方程的根，其中分解因式较为关键.
11. 已知，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：利用赋值法计算判断AB；求导并赋值计算判断C；求出并利用组合数公式对裂项，进而求和判断D.
解答过程：对于B，，B正确；
对于A，，A错误；
对于C，求导得，
因此，C正确；
对于D，依题意，，
又
，
因此
，D正确.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 设随机变量X的分布列为（，4，7），则______．
答案：4
解析：
解答过程：依题意，.
13. 已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______．
答案：
解析：
思路：根据给定条件，构造函数，再利用导数确定单调性并求解不等式.
解答过程：由题意得，令函数，而，
求导得，
则函数在上单调递增，，
不等式，因此，
所以x的范围为.
14. 用四种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有______种．
答案：264
解析：
思路：根据给定条件，按用4色、3色分类，再利用排列计数问题及分步乘法计数原理列式求解.
解答过程：用4种颜色涂，涂点有种方法，从中选一点涂第四种颜色有种方法，
涂余下两点有3种方法，不同涂色方法有种；
用3种颜色涂，涂点有种方法，再涂点有2种方法，不同涂色方法有种，
所以所求涂色方法种数为.
三、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知分别为三个内角的对边，满足
（1）求;
（2）若的周长为，面积为 求.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案；
（2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值
（1）由正弦定理得，
其中，
故，
因为，所以，故，
即，所以，
因为，所以，
故，解得；
（2）因为的周长为，面积为
所以，即
由余弦定理得，即
结合方程化简得，解得
16. 已知是椭圆C：的左焦点，椭圆C过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若倾斜角为且过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，其中A在x轴上方，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N，P两点，记，的面积分别为，，求的值．
答案：（1）；
（2）12.
解析：
思路：（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解.
（2）求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点的坐标，进而求出线段中垂线方程，并求出点，再利用直角三角形边角关系及三角形面积公式列式求解.
（1）依题意，，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）依题意，直线的方程为，设，
由消去并整理得，则，点，
线段中垂线方程为，令，得，
而，，
所以.
17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使．
（1）求证：平面平面；
（2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直；
（2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值；
（1）在梯形中，，故，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，．易知．
因为是的中点，点是的中点，所以，．
，．
设平面的法向量为，则得
取，则，得平面的一个法向量为
设直线与平面所成角为，
则．
18. 已知数列的首项为1，设，.
（1）若为常数列，求的值；
（2）若为公比为2的等比数列，求的解析式；
（3）数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由.
答案：（1）15；（2）；（3）能，.
解析：
思路：(1)根据为常数列，代入可求得的表达式；
(2)根据等比数列和用赋值法解决二项式展开式的相关问题求解；
(3)先假设存在等差数列，再推出是否有恒成立的结论存在，从而得结论.
解答过程：(1)因为为常数列，所以.
，
所以.
(2)因为为公比为2的等比数列，.
所以，
所以，
故.
(3)假设存在等差数列，使得对一切都成立，
设公差为，则
相加得
所以.
所以恒成立，
即恒成立，所以
故能为等差数列，使得对一切都成立，
它的通项公式为.
19. 设的定义域为，．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ），，．
答案：（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
解析：
思路：（1）求出函数的导数，按和分类确定函数的单调性，进而求出最小值.
（2）（ⅰ）求出函数的导数并确定单调性，再求出最小值即可得证；（ⅱ）由（ⅰ）的结论赋值，再利用放缩法及裂项相消法推理得证.
（1）当时，，求导得，
当时，则，函数在上单调递增，
当时，令，求导得，函数在上单调递增，
由，得，使得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，
则在内恒成立，函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以函数的最小值为.
（2）（ⅰ）当时，，，令，
求导得，函数在上单调递增，则，
即在内恒成立，因此在上单调递增，，
所以.
（ⅱ）由（ⅰ）得，当时，，当且仅当时取等号，
即，令，则，
当时，，
于是，，，，
则，
所以.