2025~2026学年广东省广州市第六中学高二下册校本课程期末考核数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年广东省广州市第六中学高二下册校本课程期末考核数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则的元素个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知中，“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设随机变量X服从正态分布，Y服从，若，则实数m的值为（ ）
A. 3B. 2C. D.
5. 双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设A，B，C为同一单位圆上的三个动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 空间内三点A、B、C满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，则取点的方案数为（ ）
A. 12B. 9C. 8D. 6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在正四面体中，下列各角大于的有（ ）
A. 棱与棱的所成角B. 棱与棱的所成角
C. 棱与平面的所成角D. 平面与平面的所成角
10. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 设角，满足，则下列情况可能发生的有（ ）
A. 在第一象限，在第一象限B. 在第一象限，在第二象限
C. 在第二象限，在第一象限D. 在第二象限，在第二象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. （i为虚数单位）的展开式中，实系数之和为________．
13. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________．
14. 从1，2，3，…，n这n个数中随机抽一个数记为X，再从1，2，…，X中随机抽一个数记为Y，则______．
四、解答题：本题共1小题，共17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知曲线和圆（，）相交于A，B两个不同点，记直线AB的斜率为k．
（1）当时，证明：；
（2）当时，证明：.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则的元素个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：C
解析：
解答过程：,
又集合，所以，共4个元素.
2. 复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：设，代入题干所给的等式求解，根据模长公式计算模长，代入即可求解．
解答过程：设，则，则，
则，解得；
故，；
故．
3. 已知中，“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：C
解析：
思路：由三角形大边对大角可知，由在上的单调性可得，由此可确定结果.
解答过程：由正弦定理以及三角形大边对大角可得：
，
又，在上单调递减，
，即，
“”是“”成立的充分必要条件.
故选：C.
4. 设随机变量X服从正态分布，Y服从，若，则实数m的值为（ ）
A. 3B. 2C. D.
答案：B
解析：
思路：将随机变量X与Y所服从的正态分布转化为标准正态分布，利用标准正态分布的概率值相等判断m的取值．
解答过程：设，则随机变量服从标准正态分布，
由正态分布可知，，其中为标准正态分布的分布函数且；
故，；
因为，则；
因为是单调递增函数，故，解得．
5. 双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：若双曲线和的焦点在同一坐标轴上，则离心率相等，不合题意，
不妨设双曲线，，，，，，
则对于，其半焦距为，实半轴为，则；
对于，其半焦距为，实半轴为，则，
所以，又，所以，所以，所以.
6. 设A，B，C为同一单位圆上的三个动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：建立平面直角坐标系，设出，，，得到，结合，即可求得其最小值.
解答过程：不妨以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，，则，
因
，
故当时，取得最小值为，
由于，故当时，取得最小值为，
此时，符合题意，故的最小值为.
7. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
思路：根据题意，利用指数幂的运算法则，以及，化简得到，取，分类讨论，取绝对值号，即可求解的值.
解答过程：由函数的定义域，可得其定义域关于原点对称，
又由，
因为函数是奇函数，可得，即，
即恒成立，即恒成立，
因为存在正实数使得函数定义在上的奇函数，可取，
当时，可得，
所以，所以；
当时，可得，
所以，所以，
综上可得，实数的值为.
8. 空间内三点A、B、C满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，则取点的方案数为（ ）
A. 12B. 9C. 8D. 6
答案：B
解析：
思路：根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解.
解答过程：空间中三个点，满足，显然点不能同为正四棱锥底面顶点，
① 当为正四棱锥的侧面时，如图1，
此时分别为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的，
不妨以为例，此时符合要求的另两个点在直线同侧，有两种情况，
考虑到三边的轮换对称性，共有6种方案；

② 当为正四棱锥的对角面时，如图2，
此时分别为底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的，
不妨以为例，此时符合要求的另两个点关于直线对称，只有一种情况，
考虑到三边的轮换对称性，共有3种方案.
由分类加法计数原理，可知取点的方案数为9.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在正四面体中，下列各角大于的有（ ）
A. 棱与棱的所成角B. 棱与棱的所成角
C. 棱与平面的所成角D. 平面与平面的所成角
答案：BD
解析：
思路：由正四面体的性质直接将线线角，线面角及面面角找出来，借助余弦定理求所成角的余弦值，与比较可以得出正确答案.
解答过程：选项A，正四面体，所以为正三角形，所以棱与棱的所成角为，，选项A错误；
选项B，作棱中点E，连接，，因为为正三角形，所以，
同理，，平面，，
所以平面，平面，所以，
所以棱与棱的所成角为，选项B正确；
选项C，由正四面体性质可知棱与平面的所成角与棱与平面的所成的角一样，且D在平面的投影在上，
所以棱与平面的所成角为，
设正四面体边长为，所以，
，
所以，选项C错误；
选项D，因为，，所以平面与平面的所成的角为，
，
所以，选项D正确.
10. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：AC
解析：
思路：首先判断等比数列公比为负，再根据题意，结合的正负分类讨论求解，得到的两个可能取值.
解答过程：若公比，则，与矛盾，故，
①当时，根据题意，有，，
两式相加得，即；
两式相减得，即；
解得，，故C正确；
②当时，根据题意，有，，
两式相加得，即；
两式相减得，即；
解得，，故A正确.
11. 设角，满足，则下列情况可能发生的有（ ）
A. 在第一象限，在第一象限B. 在第一象限，在第二象限
C. 在第二象限，在第一象限D. 在第二象限，在第二象限
答案：BCD
解析：
思路：令，，借助两角和的正切公式化简可得，则有，假设、都在第一象限，可得、，则不成立，即可得A错误；举出符合要求的例子可得B、C、D.
解答过程：，
令，，即有；
对A：若、都在第一象限，则、，
由可得，
若或，则，不符，
则且，此时，则，亦不符，
故、的正切值不能同为正，故A错误；
对B、C、D：若在第二象限，则，取，
则有，即，解得或；
即存在、，使得在第一象限，在第二象限，
同理，存在、，使得在第二象限，在第一象限，
同理，存在、，使得在第二象限，在第二象限，
故B、C、D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. （i为虚数单位）的展开式中，实系数之和为________．
答案：
解析：
思路：用赋值法计算展开式系数和的实部，即可得到实系数之和.
解答过程：令，得展开式所有项系数和为，
计算得，故，其对应实部为，即实系数之和为.
13. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________．
答案：或
解析：
思路：假设经过适当排序后变成等差数列，依次讨论是等比中项的情况，结合公差即可求解.
解答过程：由于经过适当排序后可成等差数列，不妨设这三个数为，其中公差，
这三个数经过适当排序后也可成等比数列，则有：
①当是等比中项时，则有，解得，这与矛盾，所以不是等比中项；
②当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得，
此时，这三个数分别为，由于这三个数是互不相同的实数，所以，
而这三个数要构成等比数列，只有两种排序方式，即或，
因此公比或；
③当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得，
此时，这三个数分别为，情况与②相同；
综上所述，该等比数列的公比为或.
14. 从1，2，3，…，n这n个数中随机抽一个数记为X，再从1，2，…，X中随机抽一个数记为Y，则______．
答案：
解析：
思路：依题意，根据全概率公式求出，，再由期望公式计算可得.
解答过程：依题意，
由全概率公式可知，
，
，
，
，
所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共1小题，共17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知曲线和圆（，）相交于A，B两个不同点，记直线AB的斜率为k．
（1）当时，证明：；
（2）当时，证明：.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）转化题设为有两个不同的根，设函数，，利用导数分析其单调性，进而求证即可；
（2）设点，，，，由题意得，进而结合垂径定理、
对数均值不等式可得，，进而结合均值不等式求证即可.
（1）当时，由题意得方程有两个不同的根，
设函数，，
则，
易知在时单调递增，
且时，，时，，
由零点存在定理知，存在，使得，
当时，，当时，，
所以函数在递减，在递增，
又因为时，，时，，
所以有两个不同零点等价于，
即，解得，
所以.
（2）设点，，两点地位等价，不妨设，则，
由题意得，由垂径定理可得，
又因为，所以两式作差得，
由对数均值不等式可得：
，
由均值不等式可得
，
则，即，所以，得证．