安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高二下学期6月期中数学试题(含答案)

这是一份安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高二下学期6月期中数学试题(含答案)，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知复数，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章、第七章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．的展开式中的常数项为（ ）
A．14B．12C．7D．
3．下表为2019年~2024年第一季度中国GDP同比增速（单位：%）（同比增速为与上年同期对比的增速），
则同比增速中的6个数据的60%分位数为（ ）
A．4.64B．4.95C．5.3D．11.65
4．已知实数a，b满足，则下列数中不可能是的值的是（ ）
A．B．C．2D．3
5．已知随机变量，，则将m个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有（ ）
A．150B．200C．260D．300
6．已知椭圆的右焦点与双曲线的一个焦点的连线与的一-条渐近线平行，设C的离心率为e，则（ ）
A．B．
C．D．
7．两个排球队举行排球比赛，比赛结束后举办方为排球队员送上了甲、乙两个品牌的瓶装水，其中甲品牌的20瓶，乙品牌的12瓶，参与比赛的12名队员，每人随机取1瓶瓶装水，用X表示12名队员取到的甲品牌水的瓶数，则当最大时，（ ）
A．7B．8C．49D．64
8．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积，
其中，称该公式为海伦公式，该公式可推广到平面四边形：若四边形ABCD内接于圆E，且四边长分别为a，b，c，d，则四边形ABCD的面积，其中，若面积为的四边形ABCD内接于圆E，，，点C，D在x轴上方，且，，则圆E的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数，则（ ）
A．
B．
C．复数z在复平面内对应的点在直线上
D．若复数满足，则的最大值为
10．已知函数，则（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于直线对称
C．的最小值为
D．的图象可由函数的图象经过适当的平移得到
11．如图，在棱长为4的正方体中，，过，D，E的平面截正方体所得的截面为，则（ ）
A．的面积为
B．点B到平面a的距离为
C．在棱上存在一点P，使得平面
D．在棱上存在点Q，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，满足，，，则______．
13．在△ABC中，D是边BC上一点，且，，，，将△ABD沿AD折起，使点B到达点，且，若三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______．
14．已知函数满足对任意实数，，都有，是的零点，0不是的零点，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若f在上没有极值点，求a的取值范围．
16．（本小题满分15分）
已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，线段PF的中点为．
（1）求C的方程；
（2）若，O为原点，点M，N在C上，且直线OM，ON的斜率之积为2024，求证：直线MN过定点．
17．（本小题满分15分）
调研数据显示，有超过七成的消费者对新能源汽车较为看好，目前中国消费者对新能源汽车的系别选择以国产车为主．已知2024年第一季度，在某地上牌照的新能源汽车中，国产车占比70%，上牌照的国产新能源汽车中，甲品牌与乙品牌的占比分别为40%，20%．
（1）从该地上牌照的新能源汽车中，随机抽取2辆，求抽取的2辆车不全是甲品牌车的概率；
（2）已知该地上牌照的新能源车中，外国产新能源汽车中价位不超过30万元的占比为20%，在国产新能源汽车中，甲品牌、乙品牌与其他品牌车价位不超过30万元的占比分别为40%，30%，50%，从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆，若该车价位不超过30万元，求该车是甲品牌车的概率．
18．（本小题满分17分）
如图，在三棱锥P-ABC中，，，，D为BC的中点．
（1）求证：；
（2）在棱PA上是否存在点M（不含端点），使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段AM的长度；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分17分）
把正整数1，2，3，…，n按任意顺序排成一行，得到数列，称数列为1，2，3，…，n的生成数列．
（1）若是1，2，3，…，8的生成数列，记，数列所有项的和为S，求S所有可能取值的和；
（2）若是1，2，3，…，10的生成数列，记，若数列中的最小项为T．
①证明：；
②求T的最大值．
江淮名校2023-2024学年高二年级下学期阶段联考
数学试卷参考答案、提示及评分细则
1．C 因为，故A错误；因为，故B错误；因为，故D错误，
因为，所以，故C正确．故选C．
2．A 的展开式中的通项，
令，得，所以的展开式中的常数项为．故选A．
3．C 将6个数据从小到大排列为，9，4，5，4，6，5，3，6，3，18，7，
又．故这组数据的60%分位数为第4个数，为5．3．故选C．
4．B 因为．所以，，．
当时，，，
当时，．
故的取值范围为，只有不在此范围内．故选B．
5．A 由，得，即，
故分配方案共有种．故选A．
6．B 设，则，C的右焦点为，的上焦点为，
直线的斜率为，因为直线与的一条渐近线平行，
所以，即，即，
所以，整理得，解得，
因为，所以，因为，所以．故选B．
7．D 由题意得，
，
，所以时，
当时，所以时，最大，．故选D．
8．D 由题意得，设，则，
则四边形ABCD的面积，所以．
在△ABD中，由余弦定理得，
在△BCD中，，
又四边形ABCD内接于圆E．所以，
所以，解得，
又，所以，所以圆E是正三角形BAD的外接圆，
其半径，又，，
故等边△ABD的外接圆的圆心为，故所求圆的方程为．故选D．
9．BC 因为，所以，故A错误；
，故B正确；
复数z在复平面内对应的点为，，故C正确；
，故D错误．故选BC．
10．ACD 因为，故A正确；
因为，，，，
的图象不关于直线对称，故B错误；
，所以的最小值为，故C正确；
，将的图象向左平移个单位长度可得到的图象，故D正确，故选ACD．
11．ABC 由题意知点E在棱上，且，在棱上取点F，
使得，易证，
故平面截正方体所得的截面为四边形，
易得四边形为平行四边形，且，，，
所以，
所以，
所以四边形的面积，故A正确；
连接BF，BD，三棱锥的体积，
由上面知，设点B到平面的距离为h，
由，得，故B正确；
延长DE交的延长线于点G，易求，在上取点P，使得，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，故C正确；
假设存在点Q，使得平面，因为平面，
所以平面平面，又平面平面，
平面平面，易得平面，
又平面，故，与矛盾，
所以在上不存在点Q，使得平面．故D错误．故选ABC．
12．1 两边平方得，所以．
13． 将三棱锥补成一个直三棱柱，
则该棱柱上、下底面的外接圆圆心连线的中点是球心O，
在中，由，，，
所以，又，
所以，所以外接圆的半径，
又，所以球O的半径，
所以球O的表面积．
14．50 由题意得，，
在中，
令，得，令，得，
令，得，令，，
得，，
且，，，
所以．
15．解：（1）当时，，其定义域为，
，
由，得．由，得，
所以在上单调递增,在上单调递减．
（2）因为, ,
当时，，
若在上没有极值点，则在上单调，
即在上恒成立，或在上恒成立．
若在上恒成立，则，解得，
若在恒成立，则，解得．
综上所述，a的取值范围为．
16．（1）解：由题意得，设，
因为线段PF的中点为，
所以，，所以，，
代入C的方程得，
解得，或，
所以C的方程为，或．
（2）证明：因为，所以C的方程为，
设，，直线MN的方程为，
与联立，得，
则，，
因为直线OM，ON的斜率之积为2024，
所以，
所以．
直线MN的方程为，故直线MN过定点．
17．解：（1）从该地上牌照的新能源汽车中，随机抽取1辆，
该车是甲品牌车的概率为，
所以随机抽取2辆，抽取的两辆车不全是甲品牌车的概率为．
（2）从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆，记该车是国外、甲、乙、其他品牌分别为事件，，，，价位不超过30万元为事件B，
则，，，，
，，，，
所以
，
又，
所以．
所以从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆，若该车价位不超过30万元，该车是甲品牌车的概率为．
18．（1）证明：因为，，
所以，所以，
所以，所以AB⊥BC．
又，，所以△PBC为等边三角形，
所以，又，所以，所以AB⊥PB．
又PB，平面PBC，且，
所以AB⊥平面PBC，
因为平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC，
因为，D为BC的中点，所以PD⊥BC，
因为平面PBC，平面平面，
所以PD⊥平面ABC，又平面ABC，所以，
（2）解：由（1）得，PD⊥平面ABC，，
以D为原点，直线DB为y轴，直线DP为z轴，以过D与AB平行的直线为x
轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设，
所以．
设平面MBC的一个法向量，则，即，
令，解得，，故，
显然平面ABC的一个法向量，
显然二面角M-BC-A为锐二面角，设为，
所以，
解得或（舍），
所以存在M，使之满足条件，此时．
9．（1）解：因为是1．2，3，…，8的生成数列，且，
所以的所有项的和为，
，，
所以S所有可能的取值为57，58，59，…，69，故其和为．
（2）①证明：假设，
因为，
所以，
所以，
又，所以，
同理由．
所以，
所以，
又，所以，，与已知矛盾，
所以假设不成立，故．
②解：由①，
假设，
由，
得，
所以，
又，
所以，，
同理可得，，
记的各项依次为1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，
则的各项依次为17，18，19，17，18，20，17，18，满足题意，
所以T的最大值为17．
年份
2019
2020
2021
2022
2023
2024
同比增速
6.3
18.7
4.6
4.5
5.3