2025-2026学年山西现代双语学校学校联考高二下册7月期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年山西现代双语学校学校联考高二下册7月期末考试数学试卷（含解析），共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，与之间的关系是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. 1C. D.
6. 不等式的解集是（ ）．
A. B. 或
C. 或D.
7. 有三个储水点，分别储存着、、水.小明每次使用一个容积为的水桶从这三个储水点取水并带回家倒入水缸中储存，且每次取水必须将水桶装满.若要将这水全部取完，小明前往这三个储水点的不同顺序的种数为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A. B.
C. 8D. 9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列叙述正确的是（ ）
A. 不等式的解集是
B. 函数与是同一函数
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若函数，则
10. 下列命题，其中正确的命题是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 函数的减区间是
C. 若，则为1
D. 已知在上是增函数，若，则
11. 已知函数的定义域为，且，，，则下列四个结论正确的是（ ）
A. 8是的周期B. 图象关于直线对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式的第3项为______．
13. 若，且，则的最小值为_________.
14. 已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 等比数列中，，且2，，成等差数列，
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和．
16. 某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：
用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：
（1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和；
（2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.
17. 在三棱锥中，和均为等边三角形，，点为线段的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值.
18. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）若有3个不同的零点．
（i）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差
19. 设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求的最小值；
（3）记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：．
数学
满分150分，答题时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，与之间的关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据集合描述法可知A中元素为3的整数倍，B中元素为6的整数倍，即可由子集概念求解.
解答过程：,
A是所有3的整数倍构成的集合，B是所有6的整数倍构成的集合
B中元素都属于集合A，
，
故选：C
方法提示：本题主要考查了集合的描述法，子集的概念，属于容易题.
2. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：利用不等式的性质和反例可知ABC错误；采用作差法或不等式性质可证得D正确.
解答过程：对于A，若，则，，即，A错误；
对于B，当，时，，此时无法得到，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，方法一：当时，，，D正确；
方法二：当时，；当时，；当时，；
综上所述：当时，，D正确.
故选：D.
3. 下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据函数奇偶性定义以及函数的单调性，判断四个选项即可·
解答过程：因为，所以幂函数在上是增函数，所以A错误；
令，则其定义域为，且，
所以函数是奇函数，所以B错误；
因为，所以函数在上单调递增，所以C错误；
函数的定义域为，
对，，所以函数是偶函数.
因为函数在上单调递增，且，
所以函数在上单调递减，所以D正确.
4. 观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据图象和相关系数的意义可得且，且，依次判断即可.
解答过程：①分析图1的相关系数观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内；
随着的增大，总体呈减小趋势，根据相关系数的定义，
两个变量呈负相关，故；
②分析图2的相关系数观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内；
随着的增大，总体呈增大趋势；
根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故；
此外，观察图2中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近，
说明图2的线性相关性更强，即
选项，已知且，且，故 成立；
选项，因为且，所以，故选项B错误；
选项，因为且，则，选项C错误；
选项，因为且，则，显然不可能大于1，故选项D错误.
5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. 1C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由是定义在上的奇函数，得，
故，当时，，
所以，
6. 不等式的解集是（ ）．
A. B. 或
C. 或D.
答案：B
解析：
思路：化简式子可得，然后直接计算.
解答过程：由题可知：或，
不等式的解集为或.
故选：B
7. 有三个储水点，分别储存着、、水.小明每次使用一个容积为的水桶从这三个储水点取水并带回家倒入水缸中储存，且每次取水必须将水桶装满.若要将这水全部取完，小明前往这三个储水点的不同顺序的种数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：将分别储存着、、水的三个储水点依次记为甲、乙、丙，问题相当于把个甲、个乙、个丙进行排序，结合组合计数原理以及分步乘法计数原理可求得结果.
解答过程：将分别储存着、、水的三个储水点依次记为甲、乙、丙，
因为，，，
问题相当于把个甲、个乙、个丙进行排序，排序的方法有种.
故选：D.
8. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A. B.
C. 8D. 9
答案：C
解析：
思路：利用给定不等式恒成立，求出的关系等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
解答过程：当时，不等式恒成立，
得当时，恒成立，且当时，恒成立，
即当时，恒成立，且当时，恒成立，
因此且，则，即，
于是，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8.
故选：C
方法提示：关键点点睛：按、分段讨论恒成立，求得是解决问题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列叙述正确的是（ ）
A. 不等式的解集是
B. 函数与是同一函数
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若函数，则
答案：CD
解析：
思路：解分式不等式判断A；根据同一函数对应法则、定义域相同判断B；由抽象函数定义域求法求函数定义域判断C；应用换元法求函数解析式，并注意定义域判断D.
解答过程：对于A：由，则，可得或，故命题错；
对于B：由的定义域为，而的定义域为，显然不是同一函数，错；
对于C：由的定义域为，则，即函数的定义域为，对；
对于D：设，则，
故且，所以，对.
故选：CD
10. 下列命题，其中正确的命题是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 函数的减区间是
C. 若，则为1
D. 已知在上是增函数，若，则
答案：ACD
解析：
思路：利用指数函数单调性即可对A判断；由函数的定义域为，可对B判断；运用指对数互化和换底公式，以及对数运算性质可对C判断；利用假设，再结合函数单调性得与题意矛盾，可证假设不成立，则可对D判断.
解答过程：A：由，所以，故A正确；
B：函数的定义域为，解得，因此函数的单调递减区间为,故B错误；
C：若，则，，则，故C正确；
D：假设，则，则,由于在上是增函数，
则，，所以，这与矛盾，则假设不成立，所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，且，，，则下列四个结论正确的是（ ）
A. 8是的周期B. 图象关于直线对称
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：令，可得是偶函数，由，可得图象关于点对称，可判断B；进而可求得周期判断A；利用周期与对称性计算可判断CD.
解答过程：令，可得，
所以，所以是偶函数，
又因为，所以，所以，
又由，可得，
所以图象关于点对称，故B错误；
又由和偶函数性质，可得，
所以，所以，
即是函数的周期，故8也是的周期，故A正确；
则，故C正确；
又，，
则，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式的第3项为______．
答案：
解析：
思路：根据二项式展开式的通项公式求解即可.
解答过程：的展开式的第3项．
13. 若，且，则的最小值为_________.
答案：81
解析：
思路：利用基本不等式及对数的运算法则,最后借助对数函数的单调性即可求解.
解答过程：，，，
，
当且仅当即时等号成立，
又，，
，则的最小值为.
故答案为：.
14. 已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________.
答案： ①. ②.
解析：
思路：①因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，可设，根据为偶函数，为奇函数性质，列出方程并解出；再结合，解出;先化简的表达式，令，将原不等式转化为关于的不等式，
再进行变形，利用分离参数法，求出实数的取值范围
解答过程：①设二次函数，则
又为偶函数，所以，
因为是奇函数，所以，即
化简得，即，
又，所以，所以
又，所以，解得
所以，，
②令，，
则可化为： ， ，
两边除以得
令，则，设，
对称轴为，，故最大值为
若， 恒成立，则，故的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 等比数列中，，且2，，成等差数列，
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和．
答案：（1）；（2）
解析：
思路：
（1）设数列的公比为，由题意可得，且，即可得到关于q的二次方程，即可求出q的值，代入公式，即可求得的通项公式；
（2）根据题意，利用等差数列前n项和公式，即可求出，进而可求得的表达式，利用裂项相消求和法，即可求得.
解答过程：（1）设数列的公比为，
因为2，，成等差数列，
所以，即，
又，所以，
解得或（舍），
所以.
（2）因为，
所以，则，
所以
.
方法提示：本题考查等差中项、等差数列前n项和的应用，等比数列通项公式的求法，裂项相消法求和等知识，关键点在于仔细审题，根据题中条件及等差、等比数列的公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
16. 某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：
用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：
（1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和；
（2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.
答案：（1），
（2）.
解析：
思路：（1）记“低碳出行”为事件，根据二项分布的期望公式计算可得答案；
（2）根据全概率公式计算可得答案.
（1）记“低碳出行”为事件，估计.
则，，
；
（2）由（1）知，则有，
记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件，
由题意，，
所以.
17. 在三棱锥中，和均为等边三角形，，点为线段的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值.
答案：（1）连接、，如图所示：
因为和均为等边三角形，所以，
因为为的中点，所以，，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解析：
思路：（1）利用等腰三角形三线合一证出平面，再利用面面垂直的判定定理即可证出结论；
（2）取中点找出二面角，建立空间直角坐标系后借助异面直线的夹角公式即可求出二面角的余弦值.
（1）略
（2）取的中点，连接、，如图所示，
因为，为的中点，则，，
所以二面角的平面角为，设，
因为，、平面，所以平面，
以点为原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
由题意可得，
解得（舍去）或，故二面角的余弦值为.
18. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）若有3个不同的零点．
（i）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差
答案：（1）
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再利用直线点斜式方程即可求出答案；
（2）（ⅰ）在上单调递增，分为和两种情况结合导数与单调性的关系求出函数在上的单调性，根据题目条件列不等式即可求出答案；
（ⅱ）由题可知，，，代入可得，即，，设公差为，消元得到，列等式即可求出公差.
（1）解：当时，，
当时，，所以．
又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）解：（ⅰ）当时，由得单调递增，且．
当时，，
若，因为，所以，即在上单调递增，且，
从而在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意，
若，令，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又当时，当时，
所以要使有3个零点，则，即，解得．
所以实数的取值范围为
（ⅱ）由题可知，，，
所以，
则①，②．
设公差为，即，
由①可得，，由②可得，，
则，化简得，解得（负值舍去），
即公差．
19. 设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求的最小值；
（3）记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：．
答案：（1）

（2）9 （3）
如图，设与边切于点，
由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，
，即点与点重合，即与边切于点.
设与边切于点，则，
在中，.
设点，点，则，解得，
即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点，
其中，，
设点关于直线的对称点为点，所以.
因为点与点，点与点分别关于直线对称，
所以，且，
所以点均在上，且，
所以.
解析：
思路：（1）依题意列出关于的方程组，求解即得双曲线的标准方程；
（2）设直线的方程为与双曲线方程联立，推得，写出的表达式，利用的范围，即可求得的最小值；
（3）先证明与边的切点即为点，再证，由此推得点在直线上，再证，结合，且，可得点均在上，即得证.
（1）不妨设点在第一象限，点在第四象限，离心率① ，
在中，当时，，故，即② ，
又因③ ，联立① ②③，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
由，化简得，
设，则，解得，
则，
因，则，故，即.
故的最小值为9.
（3）略出行方式
地铁
公交车
出租车
自驾
骑行
步行
频数
54
27
38
42
18
21
出行方式
地铁
公交车
出租车
自驾
骑行
步行
频数
54
27
38
42
18
21