2025-2026学年山西部分学校联考高二下册7月期末自测数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年山西部分学校联考高二下册7月期末自测数学试卷（含解析），共46页。试卷主要包含了 已知集合，则， 复数的共轭复数， 已知，则， 已知一组样本数据如下， 已知点在圆上，点在圆上，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A. 2B. C. D.
3. 复数的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列与均为等差数列，且，则（ ）
A. 14B. 7C. 10D. 5
5. 已知直角三角形的两直角边的长分别为1和2，以斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 甲､乙等5人排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）
A. 120种B. 48种C. 24种D. 12种
7. 若函数，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知一组样本数据如下：，则该组数据的（ ）
A. 极差为10B. 平均数为6
C. 标准差为3D. 第80百分位数为7.5
10. 已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A. 两圆只有一个公共点B. 圆与轴相切
C. 的取值范围为D. 面积的最大值为5
11. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（ ）
A. C的离心率为
B. C的焦点到其渐近线的距离为1
C. 若，则的面积为2
D. 若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若抛物线的焦点在直线上，则__________．
13. 已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________．
14. 已知数列满足，数列满足，，记集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为_________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.
（1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望.
（2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．
（1）求的方程；
（2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；
（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，求的单调区间；
（3）若存在，使得，求证：.
数学
满分150分，考试时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由，得.
2. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A. 2B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据平面向量共线定理计算即可.
解答过程：由共线向量定理可知存在实数，使得，
即，又与是不共线向量，
所以解得.
故选：B．
3. 复数的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：依题意，，
所以.
4. 已知数列与均为等差数列，且，则（ ）
A. 14B. 7C. 10D. 5
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以，即，
又数列与均为等差数列，所以，解得.
故选：B.
5. 已知直角三角形的两直角边的长分别为1和2，以斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：确定沿斜边旋转一周，为同底的两个圆锥，再由圆锥的体积公式即可求解.
解答过程：如图，设直角三角形的两直角边，
沿斜边旋转一周，旋转形成的几何体如图所示，
因为，
所以，则圆面积，
.

6. 甲､乙等5人排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）
A. 120种B. 48种C. 24种D. 12种
答案：C
解析：
思路：将甲､乙捆绑在一起看作一个元素，根据排列组合知识计算即可.
解答过程：甲､乙相邻，将甲､乙捆绑在一起看作一个元素，共有种排法，
甲､乙相邻且在两端有种排法，
故甲､乙相邻且都不站在两端的排法有（种）.
7. 若函数，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：通过奇偶性和单调性去函数符号转化为一元二次不等式进行求解.
解答过程：由，解得，，
又在上均为减函数，
所以在定义域上是减函数，
又，所以是奇函数，
于是不等式可化为，
所以，解得.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
答案：A
解析：
解答过程：因
由，可得，
即，由题意可知，
两边同除以，得，
又因，则，
故.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知一组样本数据如下：，则该组数据的（ ）
A. 极差为10B. 平均数为6
C. 标准差为3D. 第80百分位数为7.5
答案：ABC
解析：
解答过程：极差为，故A正确；平均数为，故B正确；
标准差为，故C正确；
因为，所以第80百分位数为8，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A. 两圆只有一个公共点B. 圆与轴相切
C. 的取值范围为D. 面积的最大值为5
答案：BD
解析：
思路：由方程可知各圆圆心和半径，对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值．
解答过程：由题知圆的圆心，半径，
圆可化为16，故圆的圆心，半径，
则，所以两圆相交，故A错误；
因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确；
由圆的性质可得，且，
所以的取值范围为，故C错误；
由圆的性质可知点到直线的距离最大值为，
所以面积的最大值为，故D正确；
11. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（ ）
A. C的离心率为
B. C的焦点到其渐近线的距离为1
C. 若，则的面积为2
D. 若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则
答案：ABD
解析：
思路：根据方程和焦距可得.对于A：根据离心率的定义运算求解；对于B：根据点到直线的距离公式运算求解；对于C：根据双曲线的定义结合勾股定理可得，即可得面积；对于D：求点M的坐标，根据双曲线的定义结合图形性质分析求解.
解答过程：由双曲线的方程可知，且焦点在x轴上，
因为，即，则，
可得点，，渐近线为，即.
对于选项A：双曲线C的离心率为，故A正确；
对于选项B：双曲线C的焦点到其渐近线的距离，故B正确；
对于选项C：因为，
若，则，可得，
即，可得，
所以的面积为，故C错误；
对于选项D：可知渐近线，直线，
联立方程，解得，即，
因为，即，
则，
当且仅当点Q 在线段上时，等号成立，
所以，故D正确；
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若抛物线的焦点在直线上，则__________．
答案：2
解析：
解答过程：由题知，抛物线的焦点为，代入得，解得．
13. 已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________．
答案：
解析：
解答过程：由图知函数的单调递减区间为和，单调递增区间为，
所以时，；时，；
由，得或，
所以．
14. 已知数列满足，数列满足，，记集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为_________.
答案：
解析：
思路：根据递推关系数列是首项为，公比为的等比数列，可求出，根据等差数列的通项公式可得,结合集合的定义即可求解.
解答过程：由，得，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以.
因为数列满足，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.
因为集合中有3个元素，且，
所以当时，；当时，，
即，且，
所以满足条件时.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
答案：（1）
（2）解析：
（1）由及正弦定理可得，
所以，
又，所以，所以，
又，所以.
（2）由余弦定理，有，即，
又，联立解得，或（舍去），
所以.
16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1）证明：取的中点为，连接.
因为分别是的中点，所以.
在正方体中，，又为的中点，
所以，四边形是平行四边形，.
又平面平面，所以平面．
（2）解析：
思路：（1）取棱的中点，使目标直线与平面 内的一条直线平行，从而由线面平行的判定定理直接得证；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得直线 的方向向量和平面 的法向量；利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，通过向量数量积公式计算即得结果．
（1）略．
（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为分别为的中点，
所以
所以，
设是平面的法向量，则，即，
令，则，所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.
（1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望.
（2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
答案：（1）分布列见解析，
（2），
解析：
思路：（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种的概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可；
（2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可.
（1）对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为，
由题意可知，的可能取值有，且，
则，，
，，
则的分布列如下：
则数学期望为；
（2）由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为，
由，得，
因为为正整数，所以，
则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为.
18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．
（1）求的方程；
（2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；
（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．
答案：（1）
（2） （3）或
解析：
思路：（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程；
（2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程；
（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可.
（1）设的半焦距为，
由题意可知：，且，即，
因为，即，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设，由题意可知，
则，
因为，则，可得，
又因为在椭圆上，即，
可得，化简得，
所以点的轨迹方程为．
（3）由题意可知过点的直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交，

设直线的方程为，，
联立方程，消去x得，
则，
因为与椭圆的另一交点为，可知关于原点对称，即为中点，
则，即，
可得，
化简得，整理可得，
因为，则，解得，
所以直线的方程为，即或．
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，求的单调区间；
（3）若存在，使得，求证：.
答案：（1）；
（2）单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）证明见解析.
解析：
思路：（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数，利用导数求出单调区间.
（3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式.
（1）函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）依题意，的定义域为，求导得，
令函数，求导得，
函数，即在上单调递增，而，则当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）函数，求导得，
则函数在上单调递减，又，则当时，；当时，，
由，得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，则，
若存在，使得，则，
当时，，满足；
当时，，此时或，
当时，，不等式显然成立；
当时，要证，即证明，而，在上单调递增，
因此要证明，即证明，又，即证明.
令函数，
求导得，令，
求导得，
函数在上单调递减，，即，函数在上单调递增，
因此，即在区间上恒成立，则，
由，得，
由函数在上单调递增，得，即，
所以.