2025-2026学年山西省现代双语学校联考高二下册6月月考数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年山西省现代双语学校联考高二下册6月月考数学试卷（含解析），共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
3. 若函数是奇函数，则a 的值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
4. 已知，使a>b 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知f(x) 是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A. B. C. D. 12
6. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
7. 已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：
从该动物种群中任取1只，记事件A 表示此动物发病，事件B 表示此动物使用药物，定义A 的优势，在B 发生的条件下A 的优势，则（ ）
A. 可化简为，估计其值为B. 可化简为，估计其值为
C. 可化简为，估计其值为D. 可化简为，估计其值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 已知集合，且，则实数m 为或3
B. 当时，的最小值是
C. 不等式解集为或
D. 命题“”的否定是
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知事件A，B，若，且，，则
B. 随机变量X服从正态分布，，若，则
C. 已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为
D. 有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则
11. 已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（ ）
A. 点M在双曲线C上
B. 当P在圆T上时，的面积为8
C. 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3
D. 双曲线C上存在定点Q，使得直线PM 和PQ 的斜率之积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，的系数为_________．
13. 某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________.
14. 已知函数的值域为，则a 的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知椭圆的离心率为22，长轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l交C于两点，O 为坐标原点.若的面积为，求．
16. 设.
（1）若不等式对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）解关于x 的不等式.
17. 已知为等差数列，，记，Tn分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
18. 如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为12．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．
（1）求AI智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题，设X 表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求X 的分布列及期望、方差；
（3）公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由．
19. 已知函数.
（1）当时，求的图象在x=1 处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，求证： .
数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 试题个数：共19题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
解答过程：方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有−2 使不等式成立，所以．
故选：C．
2. 函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，
令t=，则y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；
x∈(4,+∞)时,t=为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，
故选D.
点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.
当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；
当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.
简称为“同增异减”.
3. 若函数是奇函数，则a 的值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
答案：D
解析：
思路：根据奇函数的定义，结合函数表达式建立方程求解a 的值.
解答过程：是奇函数，为偶函数，
为奇函数，
.
故选：D.
4. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项分析判断，即可求解.
解答过程：对于A，若，由不等式的性质，可得成立，即充分性成立；
反之：若，则成立，即必要性成立，
所以是的充要条件，所以A不符合题意；
对于B，若，当时，可得；当时，可得，即充分性不成立；
反之：若，当时，可得；当时，可得，即必要性不成立；
所以是的既不充分也不必要条件，所以B不符合题意；
对于C，例如：当时，满足，此时，所以C不符合题意；
对于D，若，则，所以，可得，所以充分性成立；
反之：若，当时，可得，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，所以D符合题意.
5. 已知f(x) 是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A. −12B. C. 14D. 12
答案：A
解析：
思路：根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.
解答过程：由题知对一切成立，
于是.
故选：A
6. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
答案：B
解析：
思路：利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
解答过程：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
7. 已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：构造函数，由题意可知函数在上单调递增，列不等式求解即可.
解答过程：因为对于任意的，且，都有成立，
不等式两边同时除以，
可得，移项有，
构造函数，
则，所以函数在上单调递增，
所以，解得，
所以实数a 的取值范围是.
故选：C.
8. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：
从该动物种群中任取1只，记事件A 表示此动物发病，事件B 表示此动物使用药物，定义A 的优势，在B 发生的条件下A 的优势，则（ ）
A. 可化简为，估计其值为B. 可化简为，估计其值为
C. 可化简为，估计其值为13D. 可化简为，估计其值为13
答案：A
解析：
思路：利用条件概率公式化简.@@@PG1hdGg+PG1zcGFjZSBsaW5lYnJlYWs9Im5ld2xpbmUiPjwvbXNwYWNlPjwvbWF0aD4=
解答过程：1.化简.
已知，
则，
由条件概率公式，
所以
，
2.根据列联表计算概率
由列联表可知，，
所以
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 已知集合，且，则实数m 为0 或
B. 当时，的最小值是
C. 不等式解集为或
D. 命题“”的否定是
答案：ACD
解析：
解答过程：对选项A：∵ ，∴ m=2 或 ，
解得 m=2 或 或 .
根据集合元素的互异性，
若 ，则 ，元素重复，舍去；
若 m=2 ，则 ，元素重复，舍去；
若 ，则 ，满足互异性，故 ，选项A错误.
对选项B：∵ ，∴ ，
则 ，
当且仅当 ，即 x=3 时等号成立，故 的最小值为，选项B正确.
对选项C：不等式 等价于 ，
解得 或 ，选项C中将 x=1 纳入解集，忽略分母不为0 的要求，错误.
对选项D：全称命题的否定为特称命题，仅否定结论，不改变量词的限定范围，
故命题“”的否定为“”，
选项D中错误修改了限定范围为 ，错误.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知事件A，B，若，且，，则
B. 随机变量X服从正态分布，，若，则
C. 已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为
D. 有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则
答案：ACD
解析：
解答过程：对于A，∵，∴，∴，
则，故A正确；
对于B，随机变量服从正态分布，，
若，则，根据正态分布对称性可知，故B错误；
对于C，当x=3 时，，由残差等于实际值减去预测值，
即样本点的残差为，C正确；
对于D，由题意知X服从超几何分布，总数，白球数，抽取数，
根据超几何分布期望公式计算可得，,选项D正确.
11. 已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（ ）
A. 点M在双曲线C上
B. 当P在圆T上时，的面积为8
C. 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3
D. 双曲线C上存在定点Q，使得直线PM 和PQ 的斜率之积为定值
答案：ABD
解析：
思路：根据题意，求出双曲线方程，将点M代入方程验证A选项；联立求出P 点的横坐标值，根据三角形面积公式求解验证B选项；求出双曲线渐近线，利用点到直线距离验证C选项；利用点差法验证D选项.
解答过程：由题知双曲线的焦点在轴，
故，焦点坐标为，
因为圆过焦点，代入得，即，解得，
因此双曲线C 的方程为：.
对于A：点代入双曲线方程得左边右边，
因此M 在双曲线C 上，故A正确；
对于B：联立，消去得，故P 横坐标可以为 ，
中，，高为，
面积 ，故B正确.
对于C：双曲线渐近线为，
设，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为，
因为P 在双曲线上，故满足，即，
点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下，
为，故C错误；
对于D：设是位于双曲线上，关于原点对称，且异于P 的两个点，
则，
又①，②，由①②得到，
得到，所以，
综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称，
且异于P 的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值，
故当点Q 坐标为时，
直线PM 和PQ 的斜率之积为定值，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，的系数为_________．
答案：
解析：
思路：由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.
解答过程：展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
13. 某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________.
答案：28
解析：
解答过程：若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口.
①两个路口为人分配，共有种安排方案.
②两个路口为人分配，共有种安排方案，此时共有种安排方案.
同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有种安排方案.
所以共有种不同的安排方案.
14. 已知函数的值域为，则a 的取值范围是______.
答案：
解析：
思路：先求得时的值域为，结合函数值域为的条件，将问题转化为时的值域需包含. 对对应的函数求导，根据导数与单调性的关系对a 的取值分类讨论，结合值域包含关系列不等式求解，最终取并集得到a 的取值范围.
解答过程：当时，函数在上单调递增，函数值集合为，
由函数f(x) 的值域为，得函数在上的值域包含，
当时，函数，求导得，而，
当时，，函数f(x) 在上单调递增，函数值集合为，
而恒成立，则；
当时，由，得；由，得，
函数f(x) 在上单调递增，在上单调递减，，
函数值集合为，于是，解得，则，
所以a的取值范围是.
方法提示：方法点睛：处理分段函数值域为的问题时，先求解单调性明确的分段对应的值域，将问题转化为另一分段的值域需覆盖剩余区间，再结合导数分析函数单调性与最值，分类讨论求解参数范围，最终汇总各分类的结果得到答案.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知椭圆的离心率为22，长轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l交C于两点，O 为坐标原点.若的面积为，求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；
（2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数t 表示面积后可求t 的值，从而可求弦长.
（1）因为长轴长为4，故，而离心率为22，故，
故，故椭圆方程为：.
（2）由题设直线AB 的斜率不为0，故设直线，，
由可得，
故即，
且，
故，
解得，
故.
16. 设.
（1）若不等式对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）解关于x 的不等式.
答案：（1）
（2）答案见解析
解析：
思路：（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求；
（2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求.
（1）不等式对于一切实数x 恒成立等价于对于一切实数x 恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，，解得；
综上，实数a 的取值范围为.
（2）不等式等价于，即，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为.
综上可得：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为.
17. 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
答案：（1）；
（2）证明：方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
解析：
思路：（1）设等差数列的公差为d ，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
（1）设等差数列的公差为d ，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）略
18. 如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为12．已知输入的问题表达不清晰的概率为15．每次回答是否被采纳相互独立．
（1）求AI智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题，设X 表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求X 的分布列及期望、方差；
（3）公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由．
答案：（1）45
（2），
（3）该系统会得到推广，理由见解析
解析：
思路：（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解；
（2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差；
（3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论.
（1）设事件A 表示回答被采纳，事件B 表示问题表达清晰，
则，
则；
（2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立，
因此随机变量X 服从二项分布，
则，
，
，
，
X 的分布列为：
，；
（3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分，
则，
满足推广条件，因此该系统会得到推广.
19. 已知函数.
（1）当时，求的图象在x=1 处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，求证： .
答案：（1）
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）求出切点坐标和切线的斜率，从而求出切线的方程.
（2）通过，，这三类进行分类讨论.
（3）第三问，通过隐零点的设而不求，整理代入，从而证明.
（1）当时， ，所以，，
所以 ，
所以的图象在x=1 处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，即，，所以在上单调递增；
若，即，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，要证 ，即证.
令，则，易得在上单调递增，
又 ，，
所以，使得，故，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以 ，所以 .发病
未发病
合计
使用药物
10
40
50
未使用药物
30
20
50
合计
40
60
100
发病
未发病
合计
使用药物
10
40
50
未使用药物
30
20
50
合计
40
60
100
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P