山西省部分普通高中2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

这是一份山西省部分普通高中2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题（含解析），共14页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用并集与补集的定义进行求解.
【详解】，
所以.
2. 在等差数列中，，，则的公差为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】由等差数列的性质，得，解得，
故的公差.
3. 经过抛物线与的两个交点的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】联立求出交点坐标，进而求出直线方程.
【详解】联立，得，即，解得或，
所以两抛物线的交点为，，
故过两个交点的直线方程为.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由，即，
则，解得或（舍去），
则.
5. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正态分布对称性得，再用条件概率公式计算得结果.
【详解】因为X服从均值为0的正态分布，所以其正态曲线关于直线对称，
由，得，
于是，且，
所以.
6. 设复数与在复平面内对应的点分别为，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据复数的乘方运算法则及复数的对应点的坐标列得关于的方程，求得的值，从而求得.
【详解】设，则.
所以，所以，
所以，
由②得，
所以或.
当时，由①得，即，
因为，所以该方程无实数解；
当时，，所以，
所以.
综上所述，.
7. 若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（ ）
A. 为偶函数B. 为偶函数
C. 为奇函数D. 为奇函数
【答案】D
【解析】
【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，
则，.
对于A：因为，
可知为奇函数，故A错误；
对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误；
对于C：因为，
可知为偶函数，故C错误；
对于D：因为，
可知为奇函数，故D正确.
8. 已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先设直线上点，由切线长公式写出以为圆心的圆半径平方；两圆有公共点等价于，化简发现恒成立，只需保证对任意成立，整理得到含根号的不等式，分与讨论，平方后转化为开口向上的二次函数在恒非负，由判别式求得，即最小值为．
【详解】设，记，
点P到圆O的切线长为，则，
圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于，
因为，
所以.
又，所以，所以恒成立，
由，得，整理得，
即①对任意实数成立，
当时，①式成立；
当时，①式两边平方，得，
即，也即②，
若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意；
若，取，此时，②式不成立，
综上所述，实数的最小值为．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即，
的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确.
10. 在某次实验中，某同学根据4个样本点，，，，利用最小二乘法得到关于的经验回归方程，设对应的回归直线为：.已知这4个样本点到的距离均不超过，记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.（注：由最小二乘法所得残差满足，），则（ ）
A. 样本点对应的残差为1B. 样本点到的距离为
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用残差的定义与性质列方程，再结合 点到直线的距离约束筛选参数，逐一验证选项即可.
【详解】选项A，由题意可知残差，四个样本点的残差依次为，，，，样本点对应的残差为，A错误；
选项B，点到的距离为，B正确；
选项C，因为，，所以，即，
且，即，
将代入，得，解得或，C错误；
选项D，点到直线的距离为，
由题意得，对于点，有，所以，故，故，C错误，D正确.
11. 设曲线：，过上横坐标为t的点作切线，切线与坐标轴分别交于点，，记，则（ ）
A. 的轨迹与x轴仅有一个交点B. 的轨迹与y轴仅有一个交点
C. 的轨迹在第二象限仅有一个最高点D. 的轨迹在第四象限仅有一个最低点
【答案】ABC
【解析】
【分析】先求切线方程与坐标轴的交点，利用中点关系得到的参数坐标，消参得到轨迹，再通过导数分析单调性与极值，判断轨迹与坐标轴的交点、象限内的最值情况.
【详解】由，得，
曲线在横坐标为t的点处的切线为，即，
令，得横坐标，即；令，得纵坐标，即，
由可知，是的中点，则；
设，则，消去得.
选项A，令，则，仅与轴交于，A正确；
选项B，令，则，仅与轴交于，B正确；
选项C，求导，则，为极大值点，此时，点在第二象限，即最高点，C正确；
选项D，，函数单调递减，第四象限无最低点，D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线的离心率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】先将方程化为标准形式，确定，求出离心率.
【详解】由，得，
所以双曲线的焦点在y轴上，且，，从而，，
所以双曲线的离心率为.
13. 端午节期间，某公司团建策划了“水上龙舟赛”“包粽子”“水上拔河”“挂艾草”四大活动，甲、乙、丙3名员工每人从中至少选择一个活动，且每个活动都恰有1人选择，则不同的选择方式共有____种（用数字作答）.
【答案】36
【解析】
【分析】先把4项活动按2,1,1分组，再将三组全排列分配给3人，分步相乘得到结果.
【详解】先将4个活动分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为，
再将分好的三组全排列，分配给3名不同的员工，排列方法数为，
根据分步乘法计数原理，不同的选择方式共有6×6=36种.
14. 已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用建立首项关系，再由时，推出公比，结合数列各项为正整数的整除性约束，得，，最终求得．
【详解】因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数，
由等差数列的通项公式可得，所以
当时，，则，
因为等比数列的各项均为正整数，所以，
若，则，不成立，
故，且，
当时，，
整理得，即，
由等比数列的定义可得，
则，
因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项，
若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数，
所以，则，
所以，，则．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱柱中，平面，，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
又，，平面，得平面.
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直性质得到，进而证得.
（2）建系求的法向量后算正弦值.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
以为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，可得，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则有即
取，则，
记直线与平面所成的角为，
故.
16. 在中，，，．
（1）求；
（2）求的外接圆的半径与的面积．
【答案】（1）
（2）半径，2
【解析】
【详解】解：（1）由余弦定理，得，
即，整理可得，解得．
（2）由，得．
由正弦定理，得的外接圆的半径，
的面积．
17. 在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对，其中状态指示值.工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信号对中x的值总和为140，y的值总和为150，设该样本中信号对（1，1）出现的频数为，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值.
（1）直接补全下列列联表（用m表示）：
单位：个
（2）若按样本频率得到的x与y相互独立，即.
（i）求m的值，并计算单次输出时满足的概率p；
（ii）现该系统继续独立输出4个信号对，记满足的信号对个数为X，求X的分布列与数学期望.
附：，其中.
【答案】（1）
（2）（i），（ii）X的分布列为
.
【解析】
【分析】（1）利用数值总和建立方程组，求出各行各行、各列合计频数，再用表示四类信号频数完成填写；
（2）（i）卡方值为0等价于变量独立，满足求出，统计总频数，除以样本总数得对应概率；
（ii）单次试验独立且成功概率恒定，判定服从二项分布，即，套用二项分布公式写分布列、用求期望.
【小问1详解】
设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为，
依题意可得解得
设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为，
依题意可得解得
由信号对（1，1）的频数为，可得当时，与的频数分别为与，当时，与的频数分别为与.
故补全的列联表如下：
单位：个
【小问2详解】
（i）由，得，
解得.
由上述结果可知信号对（2，2）出现的频数为30-10=20，故样本中满足的总频数为30+20=50，将此样本频率视为概率即可得到单次输出时满足的概率.
（ⅱ）由题干可知每次输出信号对相互独立，且每次满足的概率均为，由此判断随机变量X服从二项分布，即.
随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，
，，，
，.
则X的分布列为
因为，所以.
18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：，且点到C的上顶点以及右顶点的距离分别为和1.
（1）求的标准方程.
（2）过点T的直线与交于A，B两点，设M为线段的中点.
（i）证明：点M在曲线上；
（ii）若的面积为，求的方程.
【答案】（1）
（2）（i）证明：当直线不垂直于轴时，设其方程为.
代入，得，整理得.
设交点A，B的横坐标分别为，，则，
所以中点M的横坐标为.
因为点M在直线上，所以中点M的纵坐标为.
于是，
即点在曲线上.
当直线垂直于轴时，直线的方程为，
易得线段的中点也满足.
综上，点M在曲线上.
（ii）或.
【解析】
【分析】（1）利用椭圆顶点坐标与两点间的距离公式，直接求出的值，写出标准方程；
（2）（i）分直线斜率存在与不存在两种情况，联立直线与椭圆方程，用韦达定理求中点坐标，代入曲线方程验证即可；
（ii）排除直线垂直于轴的情况，利用中点纵坐标表示三角形面积，列方程求出斜率，进而得到直线方程.
【小问1详解】
椭圆：的上顶点为，右顶点为.
由点到上顶点的距离为，得，所以，又，所以.
由点到右顶点的距离为1，得，即或，又，所以.
因此椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
（i）略
（ii）若直线垂直于轴，则，点M，T重合，不合题意.
故由（2）（i），得，而，，
所以的面积为.
由题意，得，所以，即.
令，则，且，整理得，即，所以，
故或.
因此直线的方程为或，即或.

19. 已知定义在上的函数的零点为，且，，.
（1）试猜想数列的通项公式，并加以验证；
（2）求数列的最小值与数列的最小值；
（3）证明：是递增数列
【答案】（1）由，，，得，，，
猜想数列的通项公式为，
因为，所以猜想成立.
（2）数列的最小值为，的最小值为.
（3）证明：，
于是，
设，，
.
下面证明.
注意到，
显然，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
故，
于是，则，在上单调递增，
于是是递增数列.
【解析】
【分析】（1）代入前三项归纳通项，再将通项回代零点函数验证等式成立；
（2）构造连续函数，对比整数点得最小值；计算相邻项比值，比较前两项大小确定的最小值；
（3）求导化简，转化为单变量函数，导数恒正证函数单增，推导出对应数列为递增数列.
【小问1详解】
略.
【小问2详解】
设，故，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
而，
注意到，
结合函数的单调性，可知.
故数列的最小值为.
易知当时，，
而，，
又，，
故数列的最小值为.
【小问3详解】
略.
合计
合计
100
合计
60
40
合计
50
50
100
0
1
2
3
4
合计
60
40
合计
50
50
100
0
1
2
3
4