2025-2026学年山东省青岛市高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年山东省青岛市高一（下）期末数学试卷，文件包含北师大版小学数学四上第七单元数量关系第七单元知识梳理与易错精讲教师解析版docx、北师大版小学数学四上第七单元数量关系第七单元知识梳理与易错精讲学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共24页， 欢迎下载使用。
1.样本数据1，2，3，4，5的方差为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.在复平面内，复数1+2i,-3+4i对应的点分别是A，B，则向量对应的复数的虚部为（ ）
A. -2iB. -2C. 2iD. 2
3.向量，共线，则=（ ）
A. B. 13C. 1D. 2
4.在△ABC中，，最长边与最短边之比为，则最小角为（ ）
A. B. C. D.
5.棱台上下底面均为有一个内角为60°的菱形，且上下底面边长分别为2和3，该棱台的体积为，则棱台的高为（ ）
A. B. 2C. 1D.
6.已知α，β，γ为三个不同的平面，m,n为两条不同的直线，则（ ）
A. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB. 若α∥β，m⊥α，n⊂β，则m⊥n
C. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD. 若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ
7.从棱长为1的正方体上底面的4个顶点和下底面的4个顶点中分别取一个点，则这2个点之间的距离大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知A，B，C，D是同一个球面上四点，AD过球心，AB=AC=BC=BD=CD=2，则三棱锥A-BCD的体积是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若随机事件A，B满足：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则（ ）
A. A，B互斥B. A，B对立C. A，B相互独立D. AB为不可能事件
10.已知复数z=i（1-i）3，则（ ）
A.
B.
C. z对应复平面上的点在直线y=x上
D. 若|z1|=1，则|z1-z|最大值为
11.已知正三棱锥P-ABC的底面边长和高均为6，Q为三棱锥表面上的动点，则（ ）
A.
B. 三棱锥P-ABC的内切球半径为
C. 的取值范围为[-9，30]
D. 若Q∈平面ABC，则使直线PQ与AB所成角为60°的Q点有3个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2AD=2，E为CD的中点，则= .
13.斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，且A1A=A1B=A1C=，则二面角C-AA1-B的余弦值为 .
14.已知△ABC中，AB=1，，AD=BC，则AB边上的高的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某校从参加高三数学模拟考试成绩中随机抽取60个数据，将其适当分组后，画出如下频率分布直方图.
（1）请估计参加高三数学模拟考试成绩的80%分位数；
（2）用按比例分配的分层随机抽样的方法将成绩落在[110.130）内的数据中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个数据，求至少有1个数据落在[110，120）内的概率.
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,b=1，.
（1）求C；
（2）若，求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P-ABC中，AB=2，BC=2，AO=，D，E，O，F分别为BP，AP，BC，AC的中点.
（1）证明：EF∥平面AOD；
（2）若PB=PC=.
（i）证明：平面POF⊥平面PBC；
（ii）求PF与平面PBC所成角的最大值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，AB=AC=2，D为边BC边的中点，若在方向上的投影向量的模为.
（1）求∠BAC；
（2）若点G，P在△ABC所在平面内，，.
（i）证明：点G为△ABC的重心；
（ii）记a,b,c中的最小值为min{a,b,c}，求的取值范围.
19.(本小题17分)
盒中有2n+1（n∈N*）个标号为1，2，…，2n+1的小球，小球除标号外均相同，每次不放回的随机取一个球，在取球过程中的某一时刻，若取得奇数号球与偶数号球个数相等，则称为出现了一次“巧遇”.
（1）当n=2时，求取球两次就出现“巧遇”的概率；
（2）记A2i=“取出2i个球后，第一次出现‘巧遇’”i=1，2，3，…，n,B=“第一次取到的是奇数号球”.
（i）证明：；
（ii）求取球过程中至少一次出现“巧遇”的概率.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】134分

16.【答案】
或
17.【答案】证明：因为D，E，O，F分别为BP，AP，BC，AC的中点，
于是EF∥PC，OD∥PC，
所以EF∥OD，又EF⊄平面AOD，OD⊂平面AOD，
所以EF∥平面AOD
（i）证明：因为PB=PC，O是BC中点，所以PO⊥BC，
在△ABO中，AO2=6=BO2+AB2，
所以AB⊥BO，
因为O，F分别为BC，AC的中点，
所以OF∥AB，
所以OF⊥BC，
又PO∩OF=O，PO，OF⊂平面POF，
所以BC⊥平面POF，
又BC⊂平面PBC，
所以平面POF⊥平面PBC；（ii）30°
18.【答案】
（i）证明：因为，所以，
因为D为边BC边的中点，所以，即，
所以点G在中线AD上，同理：点G在其他中线上，
所以点G为△ABC的重心；（ii）
19.【答案】
（i）要证明，根据条件概率公式P（AB）=P（A）P（B|A），
可得P（A2iB）=P（A2i）P（B|A2i），．
因为P（A2i）＞0，
所以只需证明．
P（B|A2i）表示在取出2i个球后第一次出现“巧遇”的条件下，取出的是奇数号球的概率；表示在取出2i个球后第一次出现“巧遇”的条件下，取出的是偶数号球的概率．
在取出2i个球后第一次出现“巧遇”，说明在取这2i个球的过程中，奇数号球和偶数号球的个数相等．
那么在这2i个球中，奇数号球和偶数号球各有个．
此时剩下的球中，奇数号球和偶数号球的个数也相等，
所以下一次取球时，取到奇数号球和偶数号球的概率相等，即．
因此，得证．
（ⅱ）