2025-2026学年山东省青岛市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省青岛市高一（下）期末数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.样本数据1，2，3，4，5的方差为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.在复平面内，复数1+2i，−3+4i对应的点分别是A，B，则向量BA对应的复数的虚部为( )
A. −2iB. −2C. 2iD. 2
3.向量a=(2,3)，b=(x,−3)共线，则|b|=( )
A. 13B. 13C. 1D. 2
4.在△ABC中，B=π3，最长边与最短边之比为( 3+1)：2，则最小角为( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
5.棱台上下底面均为有一个内角为60°的菱形，且上下底面边长分别为2和3，该棱台的体积为192，则棱台的高为( )
A. 2 3B. 2C. 1D. 3
6.已知α，β，γ为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则( )
A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
B. 若α//β，m⊥α，n⊂β，则m⊥n
C. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D. 若α⊥β，α⊥γ，则β//γ
7.从棱长为1的正方体上底面的4个顶点和下底面的4个顶点中分别取一个点，则这2个点之间的距离大于 2的概率为( )
A. 34B. 23C. 13D. 14
8.已知A，B，C，D是同一个球面上四点，AD过球心，AB=AC=BC=BD=CD=2，则三棱锥A−BCD的体积是( )
A. 2 23B. 24C. 25D. 26
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机事件A，B满足：P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，则( )
A. A，B互斥B. A，B对立C. A，B相互独立D. AB为不可能事件
10.已知复数z=i(1−i)3，则( )
A. z⋅z−=8
B. zz−=−i
C. z对应复平面上的点在直线y=x上
D. 若|z1|=1，则|z1−z|最大值为2 2+1
11.已知正三棱锥P−ABC的底面边长和高均为6，Q为三棱锥表面上的动点，则( )
A. PA=4 3
B. 三棱锥P−ABC的内切球半径为 13−12
C. QA⋅QB的取值范围为[−9,30]
D. 若Q∈平面ABC，则使直线PQ与AB所成角为60°的Q点有3个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2AD=2，E为CD的中点，则AE⋅BD= ．
13.斜三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，且A1A=A1B=A1C= 3，则二面角C−AA1−B的余弦值为 ．
14.已知△ABC中，AB=1，BC=3BD，AD=BC，则AB边上的高的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某校从参加高三数学模拟考试成绩中随机抽取60个数据，将其适当分组后，画出如下频率分布直方图．
(1)请估计参加高三数学模拟考试成绩的80%分位数；
(2)用按比例分配的分层随机抽样的方法将成绩落在[110.130)内的数据中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个数据，求至少有1个数据落在[110,120)内的概率．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=1， 3csA+B2=csinB．
(1)求C；
(2)若a+b= 3c，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB=2，BC=2 2，AO= 6，D，E，O，F分别为BP，AP，BC，AC的中点．
(1)证明：EF/​/平面AOD；
(2)若PB=PC= 6．
(i)证明：平面POF⊥平面PBC；
(ii)求PF与平面PBC所成角的最大值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，AB=AC=2，D为边BC边的中点，若AD在AB方向上的投影向量的模为 32|AD|．
(1)求∠BAC；
(2)若点G，P在△ABC所在平面内，GA+GB+GC=0，|PG|=2．
(i)证明：点G为△ABC的重心；
(ii)记a，b，c中的最小值为min{a,b,c}，求min{PA⋅PB,PB⋅PC,PC⋅PA}的取值范围．
19.(本小题17分)
盒中有2n+1(n∈N∗)个标号为1，2，…，2n+1的小球，小球除标号外均相同，每次不放回的随机取一个球，在取球过程中的某一时刻，若取得奇数号球与偶数号球个数相等，则称为出现了一次“巧遇”．
(1)当n=2时，求取球两次就出现“巧遇”的概率；
(2)记A2i=“取出2i个球后，第一次出现‘巧遇’”i=1，2，3，…，n，B=“第一次取到的是奇数号球”．
(i)证明：P(A2iB)=P(A2iB−)；
(ii)求取球过程中至少一次出现“巧遇”的概率．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】−32
13.【答案】14
14.【答案】98
15.【答案】134分
35
16.【答案】π3
32或 38
17.【答案】证明：因为D，E，O，F分别为BP，AP，BC，AC的中点，
于是EF/​/PC，OD//PC，
所以EF/​/OD，又EF⊄平面AOD，OD⊂平面AOD，
所以EF/​/平面AOD
(i)证明：因为PB=PC，O是BC中点，所以PO⊥BC，
在△ABO中，AO2=6=BO2+AB2，
所以AB⊥BO，
因为O，F分别为BC，AC的中点，
所以OF/​/AB，
所以OF⊥BC，
又PO∩OF=O，PO，OF⊂平面POF，
所以BC⊥平面POF，
又BC⊂平面PBC，
所以平面POF⊥平面PBC；(ii)30°
18.【答案】∠BAC=π3
(i)证明：因为GA+GB+GC=0，所以GB+GC=−GA=AG，
因为D为边BC边的中点，所以GB+GC=2GD，即AG=2GD，
所以点G在中线AD上，同理：点G在其他中线上，
所以点G为△ABC的重心；(ii)[10−4 33,10−2 33]
19.【答案】35
(i)要证明P(A2iB)=P(A2iB−)，根据条件概率公式P(AB)=P(A)P(B|A)，
可得P(A2iB)=P(A2i)P(B|A2i)，P(A2iB−)=P(A2i)P(B−|A2i)．
因为P(A2i)>0，
所以只需证明P(B|A2i)=P(B−|A2i)．
P(B|A2i)表示在取出2i个球后第一次出现“巧遇”的条件下，取出的是奇数号球的概率；P(B−|A2i)表示在取出2i个球后第一次出现“巧遇”的条件下，取出的是偶数号球的概率．
在取出2i个球后第一次出现“巧遇”，说明在取这2i个球的过程中，奇数号球和偶数号球的个数相等．
那么在这2i个球中，奇数号球和偶数号球各有个．
此时剩下的球中，奇数号球和偶数号球的个数也相等，
所以下一次取球时，取到奇数号球和偶数号球的概率相等，即P(B|A2i)=P(B−|A2i)．
因此，P(A2iB)=P(A2iB−)得证．
(ⅱ)2n2n+1