2024-2025学年山东省青岛市高一（下）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2024-2025学年山东省青岛市高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知z=2−1i，则z−的虚部为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.若数据x1，x2，…，xn的方差为1，则数据3x1−1，3x2−1，…，3xn−1的方差为( )
A. 1B. 3C. 8D. 9
3.已知向量a=(1,2)，b=(−2,t)，若a//b，则t=( )
A. −4B. 1C. 2D. 4
4.已知△ABC的面积为 3，BC=2AB，B=π3，则AC=( )
A. 6B. 3C. 2D. 1
5.所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫做“拟柱体”，两个平行平面之间的距离为ℎ.“拟柱体”Ω的统一体积公式为V=16ℎ(L+4M+N)(其中L，M，N分别为Ω的上底面面积、中截面(与上下底面平行且距离相等的截面)面积、下底面面积，如图.在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，AB//EF，EF=4，点E到底面ABCD的距离是2，则该多面体的体积为( )
A. 5B. 163C. 173D. 6
6.α，β为不同的平面，m，n为不同的直线，则下列判断正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m//n，n⊂α，则m//α
C. 若m⊥α，n⊥α，则m//nD. 若m⊥α，n⊥m，则n//α
7.在复平面内，复数1+2i， 2+ 3i， 3− 2i，a+i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4在同一个圆周上，则实数a=( )
A. −2B. −1C. −1或2D. −2或2
8.已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcsθ−ysinθ,xsinθ+ycsθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(2,1)，B(3,1+ 3)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转π3后得到点P的坐标为( )
A. (1,1+ 3)B. (1,2)C. (2,0)D. (4,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校举办了数学知识竞赛，已知该校有1000名学生，随机抽取100名学生的成绩，整理成如图所示的频率分布直方图，则( )
A. a=0.025
B. 估计该校学生成绩的众数为70
C. 估计该校学生成绩的中位数为68.3
D. 估计该校学生成绩的平均数在65到75之间
10.假设P(A)=0.2，P(B)=0.5，P(C)=0.8，则( )
A. A与C互为对立
B. 若P(A∪B)=0.6，则P(AB)=0.1
C. 若A⊆B，则P(AB)=0.5
D. 若A，B相互独立，则P(A−B)=0.4
11.已知正四棱台的上、下底面的边长之比为1：2，其内切球的半径为1，则该正四棱台( )
A. 上底面边长 2B. 下底面边长 2C. 高为2D. 体积为283
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据1，2，4，6，7，8，11，12的第25百分位数是______．
13.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)在[0,π2]上的最小值为______．
14.已知三棱锥P−ABC的体积为V，PA⊥平面ABC，PA=2，∠ACB=π3，若三棱锥P−ABC的外接球半径最大值为 5，则V的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某企业拟招聘部分技术人员，有200人参与竞聘，其中研究生50人，本科生150人，现采用分层抽样的方式，对他们的竞聘成绩(满分10分)进行调查，其中研究生竞聘成绩的抽样数据如下：7，7，8，9，9．
(1)请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差；
(2)若本科生竞聘成绩样本的平均数为6，方差为1，求整体样本数据的平均数ω和方差s2．
参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x−，s12；n，y−，s22.记总的样本平均数为ω−，样本方差为s2，则ω−=mx−+ny−m+n，s2=1m+n{m[s12+(x−−ω−)2]+n[s22+(y−−ω−)2]}．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点．
(1)证明：AE⊥平面PBC；
(2)求AC与平面PBC所成角的大小．
17.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，△ABC是等边三角形，点E，F分别是CD，AC的中点，AD=1，CD=2，∠ADC=120°．
(1)求AC；
(2)求sin∠CAD；
(3)求FE⋅FB．
18.(本小题17分)
如图，由三棱锥P−ABC顶点P出发的三条棱两两垂直.设PA=a，PB=b，PC=c．
(1)若a=b=c=2，求点P到平面ABC的距离；
(2)若△ABC的面积为8，二面角A−BC−P的大小为60°．
(ⅰ)求△PBC的面积；
(ⅱ)求三棱锥P−ABC体积的最大值．
19.(本小题17分)
在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“⊗”传输，每个符号(⊙或⊗)的传输可能出错，传输结果相互独立.系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p，错误接收的概率为1−p；当发送“⊗”时，正确接收的概率为q，错误接收的概率为1−q.模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r，r=max{1−p,1−q}.假设p，q，r∈(0,1)，已知字母A的密码为“⊙⊗”，字母G的密码为“⊗⊗⊙”．
(1)若p=0.6，q=0.8.求字母A正确接收的概率；
(2)若p+q=1，在字母G接收的3个符号中，记B=“收到⊙的个数为1”，C=“收到⊙的个数为2”，试比较P(B)和P(C)的大小．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：z=2−1i=2+i，
由共轭复数的定义可知，z−=2−i，其虚部为−1．
故选：A．
由复数除法、共轭复数以及虚部的概念即可求解．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为数据x1，x2，…，xn的方差是1，
所以数据3x1−1，3x2−1，…，3xn−1的方差为32=9．
故选：D．
根据公式D(aX+b)=a2D(X)计算即可．
本题考离散型随机变量的方差与标准差，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．
直接利用向量共线的坐标运算列式求解．
【解答】
解：∵a=(1,2)，b=(−2,t)，且a//b，
∴1×t−2×(−2)=0，即t=−4．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】解：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由题意△ABC的面积S=12acsinB= 34ac= 3，
可得ac=4，
又BC=2AB，
所以a=2c，结合上式得：a=2 2,c= 2，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB=10−8×12=6，
解得b=AC= 6．
故选：A．
由余弦定理和三角形面积公式即可求得结果．
本题考查了余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意可知，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，
AB//EF，EF=4，点E到底面ABCD的距离是2，
则ℎ=2，L=0，N=2×2=4，
分别取BF，CF，DE，AE的中点G，H，K，J，顺次连接，得到截面GHKJ为中截面，且为长方形，
边长为GJ=KH=4+22=3，KJ=HG=1，
所以M=3×1=3，
所以V=16ℎ(L+4M+N)=16×2×(0+4×3+4)=163．
故选：B．
根据题意，得到ℎ=2，L=0，N=2×2=4及中截面面积M，代入公式求解即可．
本题考查了组合体的体积，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：若m//α，n//α，则m与n可能相交、异面或平行，所以A选项错误；
若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，所以B选项错误；
若m⊥α，n⊥α，则m//n，所以C选项正确；
若m⊥α，n⊥m，则n//α或n⊂α，所以D选项错误．
故选：C．
根据直线与平面、直线与直线的位置关系，结合线面垂直的性质定理逐一进行判断．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：在复平面内，复数1+2i， 2+ 3i， 3− 2i，a+i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4在同一个圆周上，
可得OZ1=(1,2),OZ2=( 2, 3),OZ3=( 3,− 2),OZ4=(a,1)，
则|OZ1|= 12+22= 5，同理可得|OZ2|= 5,|OZ3|= 5，
因为复数1+2i， 2+ 3i， 3− 2i，a+i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4在同一个圆周上，
所以这些点都在以原点为圆心、半径为 5的圆上，
所以a2+1=5，解得a=±2．
故选：D．
由题意得点Z1，Z2，Z3，Z4在以原点为圆心、半径为 5的圆上，进一步列方程即可求解．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为点A(2,1)，B(3,1+ 3)，
所以AB=(1, 3)，
因为B绕点A沿顺时针方向旋转π3即B绕点A沿逆时针方向旋转5π3，
根据题干定义AP=(xcsθ−ysinθ,xsinθ+ycsθ)=(cs5π3− 3sin5π3,sin5π3+ 3cs5π3)=(2,0)，
所以P的坐标为(2,0)+(2,1)=(4,1)．
故选：D．
根据题干中的定义即可求得结果．
本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，(0.005+a+0.045+0.020+0.005)×10=1，解得a=0.025，故A正确；
对于B，由表可得估计该市普法知识竞赛成绩的众数为65+752=70分，故B正确；
对于C，由表可得小于65分的人数频率(0.005+0.025)×10=0.30.5，
故竞赛成绩中位数在65到75，中位数为m，
则0.3+m−6575−65×0.45=0.5，解得m≈69.41，故C错误；
对于D，x−=(0.005×50+0.025×60+0.045×70+0.02×80+0.005×90)×10=69.51，故D正确．
故选：ABD．
根据矩形的面积和为1列式可判断A，再根据直方图中众数、中位数与平均数的求法判断BCD．
本题考查由频率分布直方图求参数、平均数、中位数、众数，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：P(A)=0.2，P(B)=0.5，P(C)=0.8，
对于A，若A是C的子事件，
则有可能满足P(A)=0.2