陕西省榆林中学2025−2026学年第二学期高一年级期末测试数学试题（含答案）

这是一份陕西省榆林中学2025−2026学年第二学期高一年级期末测试数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数为纯虚数，则复数为（ ）
A．B．C．D．
2．学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（ ）
A．小明只有一场比赛获奖B．小明两场比赛均获奖
C．小明至多一场比赛获奖D．小明两场比赛均未获奖
3．已知且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
5．如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
6．乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（ ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：）
A．B．C．D．
7．在中，角的对边分别是，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定的
8．如图，点P为矩形所在平面外一点，平面，Q为的中点，，，，则点P到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．若复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为2B．的模为
C．的共轭复数为D．在复平面内对应的点位于第三象限
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则
C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则
D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则
11．如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与平行
B．
C．直线、、中，任意两条都是异面直线
D．过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为
三、填空题
12．已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，则______．
13．已知是相互独立事件，且，，则______．
14．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______．
四、解答题
15．古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频数分布表．
（1）求频数分布表中a和b的值，并求样本成绩的中位数和平均数；
（2）已知落在的分数的平均值为56，方差是7；落在的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
16．在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的.
(Ⅰ）求乙答对这道题的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
17．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，E、F分别是AC、PB的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若，求二面角的大小．
18．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，且的面积等于，求的周长．
19．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．

（1）求证：；
（2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【详解】为纯虚数,则且，得，所以.
2．【答案】D
【详解】小明仅参加了两场比赛，情况如下：
①两次都获奖；②只有一次获奖；③两次均未获奖，
所以与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的事件是“小明两场比赛均未获奖”.
3．【答案】A
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选A.
4．【答案】B
【详解】对于A选项：若，，则与可能平行、相交或异面．像墙角三条线，所以不能得出平行，A错．
对于B选项：，则内有直线与平行，又，所以，在内，能推出，B对．
对于C选项：且时，与位置不确定，可在内等，不能得出，C错．
对于D选项：，交线为，，则可以在内，可以与平行，或与相交但不垂直，位置不定，D错．
故选B．
5．【答案】B
【详解】因为是的中点，所以，
因为是的靠近的三等分点，所以，
所以．
6．【答案】B
【详解】如图，盘子侧面等腰梯形的高为，底面面积为，
侧面六个等腰梯形的面积之和为，
所以每个盘子需要刷涂料的面积，
所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料.
故选:B.
7．【答案】C
【详解】因为，由正弦定理得，所以
因为，所以.
所以为的最大角.
由余弦定理可得，
所以是钝角，则是钝角三角形．
8．【答案】B
【详解】因为平面，平面，
所以，
四边形为矩形，故两两垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

因为，，，Q为的中点，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令得，，故，
故点P到平面的距离为.
故选B
9．【答案】ABC
【详解】由题意有，所以虚部为，故A正确；
，故B正确；
复数的共轭复数为，故C正确；
复数在复平面内对应的点为位于第一象限，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】AC
【详解】对于A，由，得，所以，所以，故A正确；
对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误．
故选AC．
11．【答案】BCD
【详解】由题意还图可得
对于A，由，则，故A错误；
对于B，由，则，故B正确；
对于C，由，，则两两异面，故C正确；
对于D，取的中点为，连接，如下图：
由分别为的中点，则，
所以四边形为菱形，即共面，故菱形为所求截面，
易知，，则面积为，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】根据正弦定理可知，，
所以，解得.
13．【答案】0.426
【详解】因为是相互独立事件，所以，
所以．
14．【答案】/
【详解】在中，，则，，
由正弦定理得外接圆半径，设球半径为，
于是，解得，所以球的表面积是.
15．【答案】（1），，，
（2）两组市民成绩的总平均数是，总方差是
【详解】（1）解：（1）由，解得，则，
由，所以，
由成绩在的频率为，所以中位数为，
平均数为．
（2）解：由表可知，分数在的市民人数为10人，成绩在的市民人数为20人，
故，
则，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
16．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】分析：（Ⅰ）设乙答对这道题的概率为，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率；
（Ⅱ）设丙答对这道题的概率，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案.
详解：解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件,
设乙答对这道题的概率，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件.
由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得
解得，
所以，乙对这道题的概率为
(Ⅱ）设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件,丙答对这道题的概率.
由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得,
解得
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
所以，所求事件概率为
点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率关系，解题时要认真审题，注意相互独立事件和对立事件的辨析.
17．【答案】（1）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点，
AI又F是PB的中点，∴．
又∵平面，平面PCD，∴平面．
（2）证明：∵是正方形，∴，
∵平面，平面，∴，
又，PA，平面，∴平面．
又平面，故平面平面．
（3）
【详解】（1）略；
（2）略；
（3）因为底面，平面，所以，
又∵，，平面，
所以平面，平面,故,
∴二面角的平面角为，
∵，∴，故．
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，即，，
因为，所以，得，即.
（2）因为，所以，所以
由余弦定理得，，
因为，，所以，所以的周长为.
19．【答案】（1）见详解
（2）存在，
【详解】（1）取中点，连接，如图，

又为的中点，
，由，则，
又为等腰直角三角形，，，
，又，平面，
平面，又平面，
（2）平面平面，平面平面，，平面，
平面，平面，故，
故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，
，
则，，，
若存在使得平面平面，且，，
则，解得，，
则，，
设为平面的一个法向量，则，
令，即，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，
，可得．
存在使得平面平面，此时
样本分数段
频数
5
10
20
a
25
10
频率
0.05
0.1
0.2
b
0.25
0.1