辽宁沈阳市第一二0中学2025−2026学年高一下学期期末质量监测数学试题（含答案）

这是一份辽宁沈阳市第一二0中学2025−2026学年高一下学期期末质量监测数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于
A．B．
C．D．
2．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
3．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
4．为圆锥底面圆的直径，，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）
A．13B．11C．9D．7
二、多选题
9．下列叙述正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则与的夹角为钝角
C．若为非零向量，则与同向D．在等边三角形中，与的夹角为
10．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若，则一定为等腰三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，且有两解，则的取值范围是
D．若的平分线交AC于点，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则直线与直线的夹角为
B．三棱锥体积的最大值为
C．存在，使得平面
D．若，则三棱锥外接球的表面积为8π
三、填空题
12．已知是单位向量，，若，则的最大值是_____．
13．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________.
14．享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处（、、三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度为________．
四、解答题
15．已知复数，在复平面内对应的点分别为，．
（1）若，求；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
16．已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
17．已知，，函数．
（1）求函数的解析式和单调增区间；
（2）当时，求函数的最小值和最大值以及对应的值．
18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）已知二面角的平面角的余弦为，求与平面所成角的正弦值．
19．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中．
（1）若，求的值；
（2）当取最大值时，记，求M；
（3）在（2）的条件下设，若时，对于任意的均有恒成立，求t的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由复数的运算法则，化简复数，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，复数满足，即，
所以复数的共轭复数等于，故选A．
2．【答案】C
【详解】，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，
对于，若，，则由线面垂直的性质得，故A错误；
对于B，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若，，，则由线面平行的性质得，故C正确；
简单证明：如图，，过的一个平面与交于，则同理，，则，
，则，，，则，所以.

对于D，若，，，则与相交，故D错误．
故选C．
3．【答案】C
【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，
所以.
4．【答案】B
【详解】由题可知底面圆心为，是底面半径，因此，
圆锥的高底面，故是直角三角形，
由勾股定理得母线长，
.
5．【答案】C
【详解】因为，所以，又，
所以，所以.
故选C.
6．【答案】B
【详解】因为，
如图，取中点，又，所以，即，
结合平面向量数量积的几何意义，又，得到，
故选B.
7．【答案】D
【详解】
正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和；
，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得.
故选D
8．【答案】C
【详解】函数，，为的零点，为图象的对称轴，
，，且，，
相减可得，，即，即为奇数．
在单调，
①若在单调递增，
则，且，，
即①，且，②，
把①②可得：，，故有奇数的最大值为11．
当时，，，，．
此时在上不单调，不满足题意．
当时，，，，，
此时在上单调递减，不满足题意；
故此时无解．
②若在单调递减，
则，且，，
即③，且，④，
把③④可得：，，故有奇数的最大值为11．
当时，，，，．
此时在上不单调，不满足题意．
当时，由①在上单调递减，满足题意；
故的最大值为9．
故选C
9．【答案】ACD
【详解】对于A，由，得同向且模相等，
由，得同向且模相等，
所以同向且模相等，所以，故A正确；
对于B，若与的夹角为，则，故B错误；
对于C，表示与同向的单位向量，故C正确；
对于D，在等边三角形中，，
则与的夹角为，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】BCD
【详解】选项A，因为，即，所以有，
整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故B正确；
选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确；

选项D，的平分线交于点D，，由，
由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确.
11．【答案】ABC
【详解】对A，因为，所以
当时，分别为的中点，所以也是的中点.
过M作于Q，连接，则，所以.
因为，所以直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即.
又因为，所以，故A正确.
对B，过M作于Q，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，即三棱锥的高为，
又，
所以三棱锥体积，
当时，，故B正确.
对C，当时，是的中点，所以也是的中点.
因为是的中点，所以.
又平面，平面，所以平面，故C正确.
对D，当时，，故Q为的中点，
又N为的中点，所以，，
所以Q到A，B，M，N的距离都为1，
即三棱锥外接球的球心为Q，球半径为1，所以外接球表面积，故D错误.
12．【答案】/
【详解】由及，
将两边平方得，
则，，而，
所以，当且仅当向量与反向共线时取等号，
所以的最大值是.
13．【答案】
【详解】因t=2sin18°，则有
.
14．【答案】
【详解】在中，，，，所以，
在中，，，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
在中，，，
所以，故黄鹤楼的高度为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题可知：，，则，
所以．
（2）由题意可知：，
因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，
故实数m的取值范围为．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，，
所以，
所以，
所以，
所以，
即；
（2）因为，，，
所以，又，
所以，
所以，所以，
所以，，，
设与夹角为，
所以，
所以与夹角的余弦值为.
17．【答案】（1），单调增区间为．
（2）当时，取得最小值；当时，取得最大值．
【详解】（1）已知，
又，，
所以
由，，解得
故，单调增区间为．
（2）令，因为，
所以，，
在时取，即当时，
为最小值，对应当时，
18．【答案】（1）见详解；（2）.
【详解】（1）如图，连接，
因为，，，所以，
因为是的中点，所以，
因为平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由题易知，，，，
因为平面，平面，所以，
因为，所以是二面角的平面角，
因为二面角的平面角的余弦为，所以，
因为平面，所以，，解得，，
因为平面，所以是与平面所成角，
则，与平面所成角的正弦值为.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
所以，即，
在中由正弦定理得：，
则，
所以，即，由正弦定理得．
由及余弦定理得；
（2）由得A为锐角，则当最大时最小，
所以
当且仅当时，即时取最小值，此时，
故；
（3），则恒成立，
因为，所以，恒成立，
设，当时，是增函数，则，
又，设，则，解得，
所以，因为，所以.