山西大同市第三中学校2025~2026学年高一下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份山西大同市第三中学校2025~2026学年高一下学期期末考试数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷客观题（共73分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】
2. 样本数据的中位数为（）
A. 5B. 6C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】结合中位数定义可得.
【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为.
3. 如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算求解.
【详解】由题意：.
故选：C
4. 已知向量满足，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由，得，
所以，即；
由，得，
所以，即.
两式相减，得，
所以.
5. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据给定的复数等式求解出复数，再利用复数模的计算公式计算的值即可.
【详解】由可知，且.
展开得，化简得.
则，
.
6. 三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解.
【详解】如图，连接，设，连接.
因为平面，平面平面，平面，所以.
在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即.
所以与相似，则，又在中，由可得.
所以，即.
7. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】使用余弦定理角化边求解.
【详解】由，得，
即，由余弦定理，，
因为，所以，
由，得，整理得，所以是等边三角形
8. 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积.
【详解】由题意，得棱台的上底面面积为，
下底面面积为，
所以该棱台的体积为.
二、多项选择题，本大题共3个小题，每个小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分
9. 2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则（）
A. 2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上
B. 近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大
C. 从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增
D. 从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据条形图，逐项判断即可.
【详解】对于A，根据条形图，2024年，我国数字阅读用户规模为6.7亿，网民规模为11.1亿，数字阅读用户规模约占网民规模的，故A正确；
对于B，近五年，我国数字阅读用户规模的增长量为亿，网民规模的增长量为亿，
数字阅读用户规模的增长量大于网民规模的增长量，故B正确；
对于C，根据条形图，可以看出，从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模在逐年递增，故C正确；
对于D，根据条形图，从2020年至2021年，我国网民规模的增长率为，
从2023年至2024年，我国网民规模的增长率为，增长率减小了，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据线面、面面位置关系的判定定理和性质逐一分析判断即可得解.
【详解】对于A，若，，，则平行或异面，A错误.
对于B，若，，，则，B正确.
对于C，若，，则，C正确.
对于D，若，，则或与相交，D错误.
故选：BC
11. 在正方体中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（）
A. 与共面B. 与夹角为
C. 平面D. 平面
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由异面直线的定义可得与是异面直线，即可判断；对于B，由是正三角形，，可得与夹角为，即可判断；对于C，由平面，可得，同理可得，则平面，即可判断；对于D，利用三角形中位线可得，则得平面，即可判断.
【详解】
对于A，因为，平面，平面，
所以平面，又，平面，
所以与异面，故A错误；
对于B，因为是正三角形，又，所以与夹角为，故B正确；
对于C，因为平面，平面，
所以，又，
，平面，
所以平面，又平面，
所以，同理可得，
又，平面，
所以平面，故C正确；
对于D，因为点分别是面和面的中心，
则点分别是的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12. 某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为______．
【答案】
【解析】
【详解】高三男生人数为：.
13. 总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下：65 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 15 52 39 52 40，则选出来的第6个个体的编号为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据随机数抽样规则可得结果.
【详解】生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的依次有06，35，02，35（重复），32，15，39，40.
所以选出来的第6个个体的编号为39.
14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解.
【详解】由球的体积公式，，解得，
设的外心为，连接，
由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上，
不妨设在线段上，连接，
设的边长为，由正弦定理可得，，
再设，由题知，，
解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图），
所以，
由三角形面积公式，.
第Ⅱ卷主观题（共77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程，演算步骤．
15. 已知向量，
（1）求；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长；
(2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
，
，因为，
所以，
即.
16. 2022年起，某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85：C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70：D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
（1）求图中a的值；
（2）求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数；
（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）
【答案】（1）
（2）众数75分；中位数分，平均数71分
（3）74分
【解析】
【分析】（1）由各组频率之和为1列方程求解即可；
（2）由频率分布直方图中众数、平均数和中位数的计算公式代入即可得出答案；
（3）已知等级达到B及以上所占排名等级占比为，即为频率分布直方图的中位数，求解即可.
【小问1详解】
由题意，解得；
【小问2详解】
抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为分；
由频率直方图可得前三组的频率和为，
前四组的频率和为，故中位数落在第四组，
设中位数为x，则，解得，
故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分，
抽取的这100名学生的原始成绩的平均数的估计值为：
分；
【小问3详解】
由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为，
由（2）可得，中位数，
故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上．
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．
（1）求的体积；
（2）求证：平面；
（3）求证：平面．
【答案】（1）2（2）证明见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用锥体体积求解即可；
（2）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直；
（3）利用线线平行证明线面平行即可.
【小问1详解】
因为在四棱锥中，平面，
由，，，，
所以．
【小问2详解】
证明：因为，，
所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面．
【小问3详解】
取的中点为，又为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，即，
又因为平面，平面，
所以平面．
18. 在△中，.
（1）求；
（2）若，且△的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.
【小问1详解】
解：因为，所以由正弦定理得.
因为、，所以，
所以，即，即，所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，，
因为，的面积为，
所以由，解得.
由余弦定理，所以.
19. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离．
【答案】（1）由题意证明如下：
如图，作出符合题意的图形，连接，
在中，，分别为，中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）距离为1.
【解析】
【分析】（1）通过证明，即可得出结论；
（2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离.
方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
法一：由题意及（1）得，
在直三棱柱中，，设，
四边形与四边形是矩形，
∴，，，
建立空间直角坐标系，如下图所示，
得到，，，，，
∴，面的一个法向量为，
∵直线与平面所成的角为，
设直线与平面所成的角为
∴
解得，∴，，，，，
∵面，∴由几何知识得，到面的距离为.
法二：由题意及（1）得，
在直三棱柱中，，，
四边形与四边形是矩形，
∴，，，
∵，平面，平面，平面，
∴平面，，
∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角，
直线与平面所成的角为，
在中，，分别为，中点，，
∴直线与平面所成的角为，即，
在Rt中，，，，
∴，
在Rt中，，，
为等腰直角三角形，过点作，
则点为中点，，，
由几何知识得，到面的距离即为.