沈阳市第一二0中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测数学试卷(含答案)

这是一份沈阳市第一二0中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．求值：( )
A.B.C.D.1010
2．等差数列和的前n项和分别记为与,若,则( )
A.B.C.D.2
3．已知函数的图象如图所示,是函数的导函数,则下列数值排序正确的是( )
A.B.
C.D.
4．已知数列是等比数列，，，令，则( )
A.B.C.D.
5．设等差数列的前n项和为,,,,则正整数( )
A.3B.4C.5D.6
6．已知数列满足，，令.若数列是公比为2的等比数列，则( )
A.B.C.D.
7．已知是公比不为1的等比数列的前n项和,则“,,成等差数列”是“存在不相等的正整数m,n,使得,,成等差数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知数列满足,,且（,）,设（表示不超过实数x的最大整数）,又,则的最小值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．过点且与曲线相切的直线的方程为( )
A.B.C.D.
10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是( )
A.B.
C.，D.
11．对于无穷数列,定义：,称数列是的“倒差数列”,下列叙述正确的有( )
A.若数列单调递增,则数列单调递增
B.若数列是常数列,,则数列是周期数列
C.若,则数列没有最小值
D.若,则数列有最大值
三、填空题
12．已知,则__________.
13．已知,记,…,,…,则__________.
14．数列满足，前16项和为540，则__________.
四、解答题
15．已知函数,.
（1）分别求出和的导数;
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行,求t的值.
16．已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
17．牧草再生力强,一年可收割多次,富含各种微量元素和维生素,因此成为饲养家畜的首选-某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量,决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理,以后每年投入金额比上一年减少,本年度牧草销售收入估计为30万元,由于养护管理更加精细,预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加.
（1）设n年内总投入金额为万元,牧草销售总收入为万元,求,的表达式;
（2）至少经过几年,牧草销售总收入才能超过总投入？（,）
18．过点作曲线，，)，的切线，切点为，设在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，设在x轴上的投影是点，，依此下去，得到一系列点，，，，，设点的横坐标是．
（1）求，并求数列的通项公式；
（2）求证：．
19．已知数列的前n项和为,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足,求数列的通项公式;
（3）在（2）的条件下,设,问：是否存在实数,使得数列是单调递增数列？若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明你的理由.
参考答案
1．答案：B
解析：原式
2．答案：D
解析：因为,所以 .
故选：D.
3．答案：A
解析：由函数的图像可知:当时,单调递增,
,,,
而,分别代表在,处的切线的斜率, 可以看成割线的斜率,
由图可知.
即.
故选：A.
4．答案：C
解析：设的公比为q，.由题意可知当时，，即数列是以为首项，为公比的等比数列.
由，得，，，.
，故选C.
5．答案：C
解析：
6．答案：B
解析：，数列是公比为2的等比数列，则，
即，
.
故选：B.
7．答案：A
解析：
8．答案：C
解析：
9．答案：BC
解析：
10．答案：BCD
解析：根据题意，，，，，…，
则有，，，…，，，
当时，
，
也满足，所以.
，A选项错误；
，B选项正确；
，，C选项正确；
，D选项正确.
故选：BCD
11．答案：BD
解析：
12．答案：1024
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：7
解析：当n为偶数时，，所以.
因为前16项和为540，所以.
当为奇数时，，所以，，…，，将以上各式相加，得，
所以.
所以
，解得.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由导数公式得,
由复合函数求导法则得;
（2）由可得曲线在点处的切线的斜率,
从而切线方程为,即.
由,可得曲线在处的切线斜率为,
由题意可得,从而,
此时切点坐标为,曲线在处的切线方程为,
即,故符合题意.
16．答案：（1），，
（2），
解析：（1）由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为d，，
则由题意有，，解得，，
所以和的通项公式分别为，，.
（2）设数列的前n项和为，由（1）可得，，
所以，，
两式相减得，
所以数列的前n项和为，.
17．答案：（1）
（2）至少经过3年,牧草总收入超过追加总投入
解析：（1）由题知,每年的追加投入是以40为首项,为公比的等比数列,
所以,;
同理,每年牧草收入是以30为首项,为公比的等比数列,
所以,;
（2）设至少经过n年,牧草总收入超过追加总投入,即,
即,
令,,则上式化为,即,
解得,即,所以,,
即,所以,
所以,至少经过3年,牧草总收入超过追加总投入.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1），若切点是，则切线方程为．
当时，切线过点，即，得．
当时，切线过点，即，得．
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
（2）
．
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）.
由,得.
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,.
（2）由,得.当时,,得.
所以.
（3）假设数列是单调递增数列,则对恒成立.
①当时,由,得;
②当时,.
若,,则恒成立,
而单调递增,当时取最小值,得;
若,,则恒成立,
而单调递减,当时取最大值,得.
综上所述,存在实数,且的取值范围是.