第39讲 数列求和 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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考法1：应用等差或等比数列求和公式 PAGEREF _Tc234332882 \h 1
考法2：结合二项式展开式求和 PAGEREF _Tc234332883 \h 1
考法3：结合极限或不等式放缩求和 PAGEREF _Tc234332884 \h 1
考法4：提取公共项或构造新数列求和 PAGEREF _Tc234332885 \h 1
考点二：分组求和法 PAGEREF _Tc234332886 \h 2
考法5：等差与等比数列混合分组求和 PAGEREF _Tc234332887 \h 2
考法6：奇偶项或分段数列分组求和 PAGEREF _Tc234332888 \h 2
考法7：插入项构成新数列分组求和 PAGEREF _Tc234332889 \h 3
考点三：并项求和法 PAGEREF _Tc234332890 \h 3
考法8：应用奇偶项或正负相间数列并项求和 PAGEREF _Tc234332891 \h 3
考法9：应用三角函数型变号数列并项求和 PAGEREF _Tc234332892 \h 3
考点四：倒序相加法 PAGEREF _Tc234332893 \h 3
考法10：结合函数对称性应用倒序相加法求和 PAGEREF _Tc234332894 \h 3
考法11：结合组合数性质应用倒序相加法求和 PAGEREF _Tc234332895 \h 4
考点五：错位相减法 PAGEREF _Tc234332896 \h 4
考法12：应用错位相减法标准流程求和 PAGEREF _Tc234332897 \h 4
考法13：先求通项再利用错位相减法求和 PAGEREF _Tc234332898 \h 4
考法14：利用错位相减法求和证明不等式 PAGEREF _Tc234332899 \h 5
考点六：裂项相消法 PAGEREF _Tc234332900 \h 5
考法15：应用等差型裂项相消求和 PAGEREF _Tc234332901 \h 5
考法16：应用无理式分母有理化裂项求和 PAGEREF _Tc234332902 \h 5
考法17：应用指数型或对数型裂项相消求和 PAGEREF _Tc234332903 \h 5
考法18：结合递推关系裂项求和 PAGEREF _Tc234332904 \h 6
考法19：利用裂项相消求和证明不等式 PAGEREF _Tc234332905 \h 7
考点七：放缩与裂项求和 PAGEREF _Tc234332906 \h 7
考法20：先放缩后裂项相消求和证明不等式 PAGEREF _Tc234332907 \h 7
考点八：分段数列求和 PAGEREF _Tc234332908 \h 7
考法21：应用奇偶项或周期性分段求和 PAGEREF _Tc234332909 \h 7
考法22：结合绝对值或取整函数分段求和 PAGEREF _Tc234332910 \h 8
考点一：公式法
考法1：应用等差或等比数列求和公式
1.（2026·河南豫东名校·二模）已知数列{an}中，an=3n+3(n∈N∗)，则S10=＿＿＿＿＿＿.
考法2：结合二项式展开式求和
2.（2024·广东新南方·联考）设数列{an}的通项公式为an=1+2Cn1+22Cn2+23Cn3+…+2nCnn(n∈N∗)，其前n项和为Sn，则使Sn>2024的最小n是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
考法3：结合极限或不等式放缩求和
3.（2026·安徽淮北·一模）记Sn为数列{12n}的前n项和.若∀ε>0,∃N∈N∗，当n>N时，|Sn−t|(1−Sm)(1−Sn)
考法4：提取公共项或构造新数列求和
5.（2026·湖南岳阳·一模）已知抛物线C:y2=16x，按如下方法依次构造点列An(n=1,2,3,…)：设点A1(1,−4)，过抛物线上点An作斜率为4的直线ln与抛物线C交于另一点Bn，An+1为Bn关于x轴的对称点.记An的坐标为(xn,yn)，数列{yn}的前n项和为Sn，则k=1n1Sk=＿＿＿＿＿＿.
考点二：分组求和法
考法5：等差与等比数列混合分组求和
6.（2026·江西五市十校·联考）设数列{an}满足a1+a23+a332+…+an3n−1=2n+1，则{an}的前2026项和为（ ）
A. 32026−1 B. 32026 C. 32027−1 D. 32027
7.（2026·安徽淮南·二模）已知数列{an}中，a1=0，2an+1−an=2n+3.
（1）令bn=an−2n+1，求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
考法6：奇偶项或分段数列分组求和
8.（2026·安徽江淮十校·模拟）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，S1与(S4−1)的等比中项为3，且{Snn}为等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若数列{bn}满足bn=lgn+3n+1,n为奇数2an,n为偶数，求{bn}的前2n项和T2n.
9.（2026·山东泰安·三模）已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N∗).
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn=an,n为奇数3n−1,n为偶数，求数列{bn}的前2n项和T2n.
考法7：插入项构成新数列分组求和
10.（2026·福建福州·二模）已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=1，且an=Sn+Sn−1(n∈N∗,n≥2).若在ak和ak+1(k∈N∗)中插入k个相同的数(−1)k+1⋅k，构成一个新数列{bn}，即a1,1,a2,−2,−2,a3,3,3,3,a4,…，记数列{bn}的前n项和为Tn，则T2026=＿＿＿＿＿＿.
考点三：并项求和法
考法8：应用奇偶项或正负相间数列并项求和
11.（2025·广东大湾区·一模）已知等差数列{an}满足an，an+1是关于x的方程x2−4nx+bn=0的两个根.
（1）求a1；
（2）求数列{(−1)n⋅4nbn}的前n项和Sn.
考法9：应用三角函数型变号数列并项求和
12.已知数列{an},a1=1,nan+1−(n+1)an=1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=sinπ2an+1+cs(πan)，求数列{bn}的前2n项和T2n
考点四：倒序相加法
考法10：结合函数对称性应用倒序相加法求和
13.（2026·河北·检测）若f(x)=x2x2+1,an=f(en−2026)，则a1+a2+…+a4051=（ ）
A. 40512 B. 2026 C. 4050 D. 4051
考法11：结合组合数性质应用倒序相加法求和
14.已知数列{ai}的项数为n(n∈N∗)，且ai+an−i+1=Cni(i=1,2,…n)，则{ai}的前n项和Sn为＿＿＿＿＿＿.
考点五：错位相减法
考法12：应用错位相减法标准流程求和
15.（2026·安徽师大附中·检测）已知数列{an}满足：(2n−1)a1+(2n−3)a2+…+3an−1+an=n
（1）求a1，a2；
（2）猜想数列{an}的通项公式并给出证明；
（3）设bn=n⋅an⋅2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.（2025·安徽合肥·二模）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=3，a2+a4=2b2，a1a3=b3．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和．
考法13：先求通项再利用错位相减法求和
17.（2026·江苏南京·二模）已知数列{an}的各项均为正数，Sn为{an}的前n项和，且an2,Sn,an成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=an⋅(12)n，求数列{bn}的前n项和Tn．
考法14：利用错位相减法求和证明不等式
18.（2025·河北沧衡八县·一模）若数列{an}的前n项和为Sn，且an>0,an2−2Sn+an=0．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an3n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn