第05讲 数列求和（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份第05讲 数列求和（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共12页。
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 倒序相加法 知识点2 分组求和法
知识点3 并项求和法 知识点4 错位相减法
知识点5 裂项相消法
题型破译 (含超链接）
\l "_题型1 倒序相加法" 题型1 倒序相加法
\l "_题型2 分组求和法（两数列相加）_x0001_" 题型2 分组求和法（两数列相加）
\l "_题型3 分组求和法（奇偶式）" 题型3 分组求和法（奇偶式）
【易错点】奇偶式相加的两个易错点
\l "_题型4 并项求和法" 题型4 并项求和法
\l "_题型5 错位相减法_x0001_" 题型5 错位相减法
\l "_题型6 裂项相消法之等差型_x0001_" 题型6 裂项相消法之等差型
\l "_题型7 裂项相消法之根式型" 题型7 裂项相消法之根式型
\l "_题型8 裂项相消法之指数型_x0001_" 题型8 裂项相消法之指数型
\l "_题型9 裂项相消法之相加型_x0001_" 题型9 裂项相消法之相加型
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
\l "_Tc25045" 知识点1 倒序相加法
适用条件：数列中，与首末距离_______的两项之和恒为_______M，即ak+an−k+1=M。
操作步骤：①写出原式：Sn=a1+a2+⋯+an−1+an
②倒序写：Sn=an+an−1+⋯+a2+a1
③两式相加：2Sn=n⋅M，得Sn=nM2
自主检测
1．数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（ ）
A．2025B．2024C．1013D．1012
\l "_Tc25045" 知识点2 分组求和法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
若数列的通项公式为，且为_______或_______数列，或者是“_______”，可采用分组分别求和法求数列的前n项和．
自主检测
2．在数列中，，，．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前n项和．
\l "_Tc25045" 知识点3 并项求和法
“并项求和”一般包括两类问题：
①同一数列相邻多项合并：_______2项/3项合并为一个新项，合并后的新数列呈现等差、等比规律，对合并后的大项求和。
常见：含(−1)n交替正负数列，两两配对。
②两个数列对应项的和(差)并成“大项”：通过求“大项”的和得出结果．
3．若数列{}的通项公式是 则 （ ）
A．15B．12C．- 12D．- 15
\l "_Tc25045" 知识点4 错位相减法
如果一个数列的各项是由一个_______数列和一个_______数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解．
解题步骤：
步骤一：列出前n项和原式
若数列通项an=(An+B)⋅qn（等差×等比型），其前n项和：
Sn=(A+B)q1+(2A+B)q2+(3A+B)q3+⋯+(nA+B)qn①
步骤二：同乘_______
等式两边同时乘以等比数列公比q：qSn=(A+B)q2+(2A+B)q3+⋯+[(n−1)A+B]qn+(nA+B)qn+1②
步骤三：_______相减化简
①−②，错项对齐、逐项相减：(1−q)Sn=(A+B)q+Aq2+Aq3+⋯+Aqn−(nA+B)qn+1
中间Aq2+Aq3+⋯+Aqn为标准_______数列，套用求和公式化简。
步骤四：整理求出最终和
代入等比求和结果，合并同类项，两边同除_______，即可求出Sn的最简表达式。
注意：
①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式.
自主检测
4．已知是等差数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和为．
\l "_Tc25045" 知识点5 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
1、等差型裂项
（1） （2） （3）
（4） （5）
（6）
（7）
（8） （9）
2、根式型裂项
（1） （2）
（3） （4）
3、指数型裂项
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
自主检测
5．已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
6．已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
题●型●破●译
题型1 倒序相加法
例1．（2025·山东东营·二模）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（ ）
A．4046B．4045
C．2024D．2023
【变式1-1】（2026·四川遂宁·一模）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
【变式1-2】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）已知数列中，，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
【变式1-3·变考法】（2026·山西临汾·二模）已知函数，则的对称中心为_______；若，则数列的通项公式为_______.
题型2 分组求和法（两数列相加）
例2．（2026·河南周口·二模）已知数列的前n项和为，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【变式2-1】（2025·广东湛江·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【变式2-2】（2026·浙江嘉兴·模拟预测）已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【变式2-3】（2026·江苏苏州·二模）在等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
题型3 分组求和法（奇偶式）
例3．（2025·广东韶关·二模）已知数列的前项和为，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）.
【变式3-1】（2026·黑龙江佳木斯·二模）已知数列的前项和为，且 ，数列满足.
(1)求和的通项公式；
(2)若满足，求的前项和.
【变式3-2】（2026·湖南衡阳·一模）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足求数列的前2n项和．
【变式3-3】（2025·福建宁德·二模）已知正项等比数列满足（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设满足，求的前n项和为．
题型4 并项求和法
例4．（2025·江西上饶·一模）已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前2025项和为（ ）
A．B．C．1013D．505
【变式4-1】（2025·广西来宾·一模）已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．3040D．6076
【变式4-2·变载体】（2026·广西河池·一模）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中.
(1)求公差及的值；
(2)设数列，数列的前项和为，求．
【变式4-3】（2025·山西长治·二模）已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，记，求数列的前100项的和.
题型5 错位相减法
例5．（2025·河南洛阳·二模）已知数列中，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
【变式5-1·变角度】（2026·广西玉林·二模）已知等差数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值．
【变式5-2】（2025·宁夏吴忠·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数．
【变式5-3】（2025·湖南永州·一模）已知是等差数列，是等比数列，.设的前项和为，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)若数列的前项和对任意都成立，求整数的最小值.
题型6 裂项相消法之等差型
例6．（2026·辽宁抚顺·二模）已知数列中，，．
(1)证明：是等差数列；
(2)记为的前项和，求数列的前项和．
【变式6-1】（2025·广东潮州·模拟预测）已知数列：且满足，令，则数列的前2026项和为______．
【变式6-2】（2025·四川资阳·二模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前 项和为，求证：．
【变式6-3】（2025·四川德阳·二模）已知数列，满足是等差数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
题型7 裂项相消法之根式型
例7．（2026·福建泉州·一模）已知数列，则数列的前9项和为（ ）
A．3B．6C．2D．4
【变式7-1】（2026·四川巴中·模拟预测）已知数列的通项公式为的前项和为，若，则的最大值为（ ）
A．46B．45C．44D．43
【变式7-2】（2025·湖南邵阳·一模）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-3】（2025·山东潍坊·一模）设数列满足．设，若数列的前n项和为，求n的最小值．
题型8 裂项相消法之指数型
例8．（2026·山西吕梁·二模）已知数列满足，，是数列的前项和.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，满足．
(1)求证：是等比数列，并求；
(2)设，求数列的前项和．
【变式8-2】（2025·江苏常州·一模）已知正项数列满足，令，数列的前项和为，则__________.
【变式8-3】（2025·湖南长沙·一模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
题型9 裂项相消法之相加型
例9．（2025·宁夏固原·一模）已知正项数列的前n项积为，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求的前200项和．
【变式9-1】（2025·湖北荆州·模拟预测）已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________.
【变式9-2】（2026·安徽淮北·模拟预测）已知数列的前n项和为，，在①点在直线上；②对，恒成立中任选一个作为已知条件，并解答．
(1)证明：数列是等比数列，并求其公比；
(2)若，求数列的前项和．
【变式9-3】（2025·广东汕尾·二模）已知正项数列满足，且.
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的前n项和.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．求和：
（1）（；
（2）．
2．已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
3．已知数列的首项，，，，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，若，求最大正整数．
4．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和.
核心考点
2026年
2025年
2024年
错位相减法
——
全国一卷T16（2）（10分）
全国甲卷（理）T18（2）（7分）
考情分析
高考对数列求和考查稳定，题型、难度变化较小，多设置在数列解答题第(2)小问，属中档必考题型。命题常先借助递推、Sn与an关系证明等差、等比数列，再构造新数列求和。高频方法为错位相减法，侧重代数变形与运算能力。近三年全国卷真题运算量大，易在错位对齐、等比求和分类讨论处失分，整体侧重基础方法熟练运用。
复习目标
1.理解五类数列求和方法的适用条件，熟记等差、等比基础求和公式，能准确区分各类求和题型特征。
2.熟练掌握错位相减、裂项相消核心解法，规范书写步骤，规避错项对齐、项数判断等常见计算失误。
3.会处理奇偶分段、等差乘等比综合数列，能结合递推关系先求通项再完成求和运算。
易错点 奇偶式相加的两个易错点
（1）判断前n项内奇偶项的项数出错
项数规律：若n=2k（偶数）：奇数项共k项，偶数项共k项；
若n=2k−1（奇数）：奇数项共k项，偶数项共k−1项。
常见错误：直接默认奇数项、偶数项数量相等，不区分n的奇偶直接代入计算；n为奇数时遗漏偶数项少1项的情况。
（2）奇偶子数列首项、公差/公比找错
基础规律：奇数项子数列：首项为a1，项与项下标间隔2，若原数列为等差数列，新公差为2d；
偶数项子数列：首项为a2，项与项下标间隔2，若原数列为等差数列，新公差为2d。
常见错误①奇偶子数列首项混淆，奇数项错用a2、偶数项错用a1；
②直接沿用原数列公差d，忽略下标间隔2，未使用2d计算。