2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练38　数列求和（含答案解析）

这是一份2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练38　数列求和（含答案解析），共8页。
1.(13分)(2025·北京顺义期末)已知等比数列{an}为递增数列,其前n项和为Sn,a1=3,S3=21.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn-an}是首项为1,公差为3的等差数列,求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.
2.(13分)(2025·山东日照模拟)已知数列{an}满足a1=2,an+1an=n+1n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=4an·an+2,求数列{bn}的前n项和Sn.
3.(13分)(2026·福建模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=4S2,a2n=2an-1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)nan,数列{bn}的前n项和为Tn,若|Tm|=50,求m的值.
4.(13分)(2025·河北邢台二模)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+n-1,n为奇数,an-12n,n为偶数,记bn=a2n.
(1)证明:数列{bn}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)设cn=lg2b2n-1bn,Sn为数列{cn}的前n项和,证明:12≤Sn0,且等比数列{an}为递增数列,所以
q>1,由S3=3+3q+3q2=21,解得q=2(负值舍去),所以an=a1qn-1=3·2n-1,即an=3·2n-1.
(2)因为数列{bn-an}是首项为1,公差为3的等差数列,所以bn-an=1+3·(n-1)=3n-2,
所以bn=3·2n-1+3n-2.
所以Tn=b1+b2+…+bn=3+3×2+…+3×2n-1+1+4+…+3n-2=3×(1-2n)1-2+(1+3n-2)n2=3·2n+3n22−n2-3.
2.解 (1)由题意知,当n≥2时,anan-1=nn-1,
所以an=anan-1·…·a3a2·a2a1·a1=nn-1×…×32×21×2=2n;
当n=1时,a1=2满足an=2n.
综上,an=2n.
(2)由(1)知bn=4an·an+2=42n·2(n+2)=1n(n+2)=12(1n−1n+2),所以Sn=12(1-13+12−14+13−15+…+1n-1−1n+1+1n−1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2).
3.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,
则5a1+10d=4(2a1+d),a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d-1,
解得a1=2,d=1,所以{an}的通项公式为an=2+(n-1)=n+1.
(2)bn=(-1)nan=(-1)n(n+1),
Tn=-2+3-4+5-…+(-1)n(n+1),
若n为偶数,则Tn=(-2+3)+(-4+5)+…+(-n+n+1)=n2,
若n为奇数,则Tn=Tn+1-bn+1=n+12-(n+2)=-n+32.
由|Tm|=50,若m为偶数,则m2=50,解得m=100;
若m为奇数,则|-m+32|=50,解得m=97.
综上,m=100或m=97.
4.证明 (1)因为bn+1=a2(n+1)=2a2n+1+2n+1-1=2a2n+1+2n=2(a2n-12·2n)+2n=2a2n=2bn,
又b1=a2=2a1=2,所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,所以bn=2·2n-1=2n,
所以当n为偶数时,an=bn2=2n2;
当n为奇数且n≥3时,
an=a(n-1)+1=an-1-12(n-1)=bn-12−12(n-1)=2n-12−n-12,
且a1=1也符合上式.
综上,an=2n-12-n-12,n为奇数,2n2,n为偶数.
(2)由(1)得cn=2n-12n,则Sn=12+322+523+…+2n-12n,可得12Sn=122+323+…+2n-32n+2n-12n+1,
两式相减,可得
12Sn=12+12+122+…+12n-1−2n-12n+1=12+12[1-(12) n-1]1-12−2n-12n+1=32-(2n+3)·(12)n+1,
则Sn=3-(2n+3)·(12)n0,所以{Sn}为递增数列,则Sn≥S1=12,所以12≤Sn