第40讲 数列的综合应用 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第40讲 数列的综合应用 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共30页。试卷主要包含了已知数列{an}满足，01等内容，欢迎下载使用。
考法1：求解数学文化背景下的数列问题 PAGEREF _Tc234706534 \h 2
考法2：构建实际生活情境中的数列模型 PAGEREF _Tc234706535 \h 3
考点二：数列的特殊模型与性质探究 PAGEREF _Tc234706536 \h 4
考法3：求解数列的公共项问题 PAGEREF _Tc234706537 \h 4
考法4：求解数列的插项问题 PAGEREF _Tc234706538 \h 4
考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列 PAGEREF _Tc234706539 \h 5
考法6：探究数列中的整数与存在性问题 PAGEREF _Tc234706540 \h 6
考点三：数列与函数、不等式的综合 PAGEREF _Tc234706541 \h 7
考法7：利用函数性质探究数列通项与最值 PAGEREF _Tc234706542 \h 7
考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式 PAGEREF _Tc234706543 \h 9
考法9：结合取整函数求解数列问题 PAGEREF _Tc234706544 \h 11
考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式 PAGEREF _Tc234706545 \h 12
考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题 PAGEREF _Tc234706546 \h 15
考点四：数列与几何、概率的综合 PAGEREF _Tc234706547 \h 16
考法12：求解数列与解析几何的交汇问题 PAGEREF _Tc234706548 \h 16
考法13：求解数列与平面几何的交汇问题 PAGEREF _Tc234706549 \h 18
考法14：求解数列与概率统计的交汇问题 PAGEREF _Tc234706550 \h 21
考点五：数列中的新定义问题 PAGEREF _Tc234706551 \h 25
考法15：探究新定义数列的通项与求和 PAGEREF _Tc234706552 \h 25
考法16：探究新定义数列的性质与证明 PAGEREF _Tc234706553 \h 29
考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合 PAGEREF _Tc234706554 \h 31
考法18：证明新定义背景下的不等式 PAGEREF _Tc234706555 \h 35
答案速查表
考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用
考法1：求解数学文化背景下的数列问题
1.（2026·浙江强基联盟·检测）（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”．我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为a1，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长81×(1−13)，记为a2，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长54×(1+13)，记为a3，⋯，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长．把上述依次得到的弦长组成的数列记为{an}(n∈N∗)．则下列说法正确的是（ ）
A. a5=64
B. 2a7=3a8
C. ∃k∈N∗，使得：a2k−1+a2k+3=2a2k+1
D. ∀k∈N∗，都有a2k−1a2k+3=(a2k+1)2
【答案】ABD
【解析】由题意知，a1=81，a2=a1×(1−13)=23a1，a3=a2×(1+13)=43a2=89a1，a4=a3×(1−13)=23a3=1627a1，a5=a4×(1+13)=43a4=6481a1=64，故A正确.
由规律可知，a2k=23a2k−1，a2k+1=43a2k=89a2k−1，所以数列的奇数项a1,a3,a5,⋯构成公比为89的等比数列，偶数项a2,a4,a6,⋯构成公比为89的等比数列.
对于B选项，a8=23a7，即3a8=2a7，故B正确.
对于C选项，因为奇数项成等比数列，所以a2k−1,a2k+1,a2k+3成等比数列，若它们成等差数列，则1+(89)2=2×89，即1+6481=169，化简得145=144，不成立，故C错误.
对于D选项，因为奇数项成等比数列，根据等比中项的性质，必有a2k−1a2k+3=(a2k+1)2，故D正确.
【点拨】本题考查数学文化背景下的数列问题，关键是根据题意写出数列的前几项，归纳出奇数项和偶数项分别构成等比数列的规律，再结合等比数列的性质进行判断.
考法2：构建实际生活情境中的数列模型
2.（2025·河北衡水中学·一模）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（ ）
A. 204万元 B. 220万元 C. 304万元 D. 320万元
【答案】A
【解析】设第n年的总盈利为y万元.
由题意可知，每年的年产值均为100万元，则n年的总产值为100n万元.
每年的费用构成首项为24，公差为8的等差数列，
则前n年的总费用为24n+n(n−1)2×8=4n2+20n万元.
引进生产线的成本为196万元，
所以引进该生产线后第n年的总盈利为y=100n−(4n2+20n)−196=−4n2+80n−196=−4(n−10)2+204.
当n=10时，y取得最大值204.
即引进该生产线后总盈利的最大值为204万元.
【点拨】本题考查等差数列在实际生活中的应用，根据题意列出总盈利关于年数n的二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值是解题的关键.
考点二：数列的特殊模型与性质探究
考法3：求解数列的公共项问题
3.已知n∈N，n≥1，将数列{2n−1}与数列{n2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{an}，则n=11001an=＿＿＿＿＿＿．
【答案】100201
【解析】因为数列{2n−1}是正奇数列，
对于数列{n2−1}，当n为奇数时，设n=2k−1(k∈N∗)，则n2−1=(2k−1)2−1=4k(k−1)为偶数；
当n为偶数时，设n=2k(k∈N∗)，则n2−1=4k2−1为奇数，
所以an=4n2−1，则1an=14n2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以n=11001an=1a1+1a2+⋯+1a100=12(1−13+13−15+⋯+1199−1201)=12(1−1201)=100201.
【点拨】本题考查数列的公共项问题，通过分析两个数列的奇偶性特征，找出公共项的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.
考法4：求解数列的插项问题
4.已知数列{an}满足a13+a232+⋯+an3n=n3(n∈N∗)．
（1）求{an}的通项公式；
（2）在{an}相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列{bn}的前2n项和T2n．
【答案】（1）an=3n−1(n∈N∗)
（2）T2n=32(3n−1)
【解析】（1）因为a13+a232+⋯+an3n=n3(n∈N∗)①，
所以n≥2时，a13+a232+⋯+an−13n−1=n−13②，
①−②得：an3n=n3−n−13=13，即an=3n−1(n≥2)，
又n=1时，a13=13，所以a1=1也满足上式，
故{an}的通项公式为an=3n−1(n∈N∗).
（2）设数列{cn}满足cn=an+an+12=2×3n−1．
记{an}的前n项和为Sn，{cn}的前n项和为Rn，则T2n=Rn+Sn．
由等比数列的求和公式得：Sn=1−3n1−3=12(3n−1)，Rn=2Sn=3n−1．
所以T2n=Rn+Sn=32(3n−1).
即新数列{bn}的前2n项和T2n=32(3n−1).
【点拨】本题考查利用退位相减法求数列的通项公式，以及数列插项后的求和问题，将新数列的求和转化为原数列与插入项构成的数列分别求和是解题关键.
考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列
5.（多选）已知数列{an}满足：a1=0，an+1=ln(ean+1)−an(n∈N∗)，前n项和为Sn，则下列选项错误的是（ ）（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A. {a2n−1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列
B. an+an+1≤ln3
C. S2020693，因此C不正确；
④由不动点(5+12,5+12)，得1≤b2n−10，∴ℎ(x)在[2,+∞)上单调递增，故ℎ(x)≥ℎ（2）=e2−4>0，
∴ℎ(n+1)=en+1−(n+1)2>0，即en+1>(n+1)2，所以n+1en+11，若项数均为2n−1项（n≥2,n∈N∗），下列说法正确的有（ ）
A. 数据a1,a2,a3,⋯,a2n−1的平均数是an
B. 数据b1,b2,b3,⋯,b2n−1的平均数是bn
C. 若a1=b1,a2n−1=b2n−1，则数据a1,a2,a3,⋯,a2n−1的中位数大于数据b1,b2,b3,⋯,b2n−1的中位数
D. 若a1=b1,a2n−1=b2n−1，则数据a1,a2,a3,⋯,a2n−1的平均数大于数据b1,b2,b3,⋯,b2n−1的平均数
【答案】ACD
【解析】对于A选项，设{an}的前n项和为Sn，S2n−1=(a1+a2n−1)(2n−1)2=2an(2n−1)2=(2n−1)⋅an，
所以数据a1,a2,a3,⋯,a2n−1的平均数是an，故A选项正确；
对于B选项，当n=2时，取{bn}为2，4，8，平均数为2+4+83=143≠b2=4，故B选项错误；
对于C选项，a1,a2,a3,⋯,a2n−1的中位数是an，b1,b2,b3,⋯,b2n−1的中位数是bn，
bn=b1b2n−1=a1a2n−1