广西河池市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广西河池市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．样本数据2，8，16，14，20的中位数为（ ）
A．8B．9C．14D．16
2．若z是复数，且（i为虚数单位），则z的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
3．在中，已知内角，，的对边分别是，，，且，则角（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，满足，，，则向量与夹角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲、乙两人均没获奖的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9
6．在一次化学实验过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.则当底面水平放置时，水面高为（ ）
A．30mmB．40mmC．50mmD．60mm
7．已知，，为随机事件，与互斥，与互为对立，且，，则（ ）
A．0.9B．0.6C．0.56D．0.5
8．已知等边的边长为4，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
二、多选题
9．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A．的虚部为B．
C．D．
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若，是单位向量，则
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若向量和，满足，，则
D．若向量，，则在方向上的投影向量是
11．如图，在正方体中，点是线段上一动点，则（ ）
A．平面
B．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为
C．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小
D．
三、填空题
12．已知平面向量，，若，则______.
13．记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则______.
14．已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______.
四、解答题
15．如图，正方体的棱长为4，为中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
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(1)求样本数据的中位数与第35百分位数；
(2)已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数.
17．不透明的袋子中装有4个红球，个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，采用不放回方式从中依次随机取出2个球，且已知取出的2个球是红球的概率为.
(1)求袋子中绿球的个数；
(2)求两次取出的球的颜色不同的概率.
18．已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值.
19．如图，矩形中，，，为的中点，把沿翻折，满足.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值.
参考答案
1．C
【详解】首先将样本数据从小到大进行排序，得到序列：，
该样本的容量为（奇数），因此中位数为排序后第个数据，即.
2．C
【详解】由，得，
所以z的共轭复数是.
3．C
【详解】解：由余弦定理可知，
因为，所以，即，
因为，
所以.
故选：C.
4．D
【详解】设向量，夹角为，因为，，，
所以，即，解得，
因为，所以，所以向量与夹角的正弦值为.
5．A
【详解】设甲获奖为事件，乙获奖为事件，由题意可得：，，，
根据概率的一般加法公式，甲乙至少有一人获奖的概率为：，
“甲乙两人均没获奖”是事件的对立事件，记为，根据对立事件的概率性质：
.
6．D
【详解】由题意，，
又，
因为、分别为、的中点，所以，
所以，
又，所以，
又，所以，
即当底面水平放置时，水面高为60mm.
7．B
【详解】因为与互为对立事件，根据对立事件的概率性质，可得：
，又因为与是互斥事件，
根据互斥事件的概率加法公式，有：，
代入、，计算得：.
8．C
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立直角坐标系，
由等边边长为，可得各点坐标：，，，
因为为中点，故的坐标为， 设，其中，则：
，，
由向量数量积的坐标运算得： ，
该式为开口向上的二次函数，对称轴为，在区间上最大值在离对称轴更远的端点处取得：
当时，，故最大值为.
9．CD
【详解】选项A中，复数的虚部是实数，的虚部为，不是，A错误，
选项B中，共轭复数与原复数实部相同，虚部互为相反数，因此，B错误，
选项C中，复数模长公式为，代入得，C正确，
选项D中，复数除法需分子分母同乘分母的共轭复数化简： ，D正确.
10．BCD
【详解】对于A选项，，是单位向量，则，
但方向不一定相同，所以与不一定相等，故A错误；
对于B选项，因为，所以与共线，
由向量共线的定义可得，存在唯一的实数，使得，故B正确；
对于C选项，因为，，所以，解得，
所以，所以，故C正确；
对于D选项，因为向量，，
所以在方向上的投影向量为a⃗⋅csa⃗,b⃗⋅b⃗b⃗=a⃗⋅a⃗⋅b⃗a⃗⋅b⃗⋅b⃗b⃗=−39⋅3,0=−1,0，故D正确.
11．ACD
【详解】在A选项中，连接、，交点为，
连接、，交点为，连接、、，
因为正方体中，、，，
，所以平面平面，
因为平面，所以平面，A正确，
在B选项中，当为线段的中点时，取中点，连接、，
因为，所以就是直线与直线所成角，
设正方体棱长为，则，，，
，在中，，B错误，
在C选项中，因为平面，
所以就是直线与平面所成角，
设正方体棱长为，随着的长度变长，长度先变小后变大，
先变大后变小，直线与平面所成角先变大再变小，
C正确，
在D选项中，连接，因为正方体中，平面，
平面，所以，D正确.
12．
【详解】因为，又因为，，所以，
解得，故，所以.
13．（或）
【详解】因为，，，
由正弦定理可得，解得，
则或，当时，，
此时，故.
14．/.
【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥体积为，圆锥外接球的半径为，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以，底面圆，
所以
在直角三角形中，，，所以
则，解得，所以，
又，，，
所以，即，即，
解得，所以球体的表面积.
15．(1)证明：正方体中，易知.
因为平面，平面，所以平面.
(2)
【详解】（1）略
（2）正方体中，易知平面，
所以即为点到平面的距离.
又，
所以.
16．(1)中位数为；第百分位数为
(2)
【详解】（1）各组频率依次为：第一组：；
第二组：；第三组：；
第四组：；第五组：.
因为前三组的频率之和为， 所以样本数据的中位数为.
设样本数据的第百分位数为，
因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
所以第百分位数位于第三组内.
则， 解得，即第百分位数为.
所以样本数据的中位数为80，第35百分位数为75.
（2）由（1）可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为.
因为样本容量为，所以成绩在内的人数为，成绩在内的人数为.
所以成绩在内的平均数为：.
故成绩在内的平均数为.
17．(1)5
(2)
【详解】（1）由题意知，袋中球的总个数为.
则不放回抽取2个球均为红球的概率为： ，即，
整理得，解得或，
由于球的个数为正整数，舍去，故绿球个数为5.
（2）由（1）可知袋中共有9个球，其中4个红球、5个绿球.
① 第一次取红球、第二次取绿球，概率为；
② 第一次取绿球、第二次取红球，概率为，
所以两次取出的球的颜色不同的概率为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
即，又，，所以.
因为，所以.
（2）因为为中线，所以，
则，
所以，即，当且仅当时等号成立.
所以，当且仅当时等号成立.
故面积的最大值为.
19．(1)证明：矩形中，为的中点，所以.
在中，，所以.
又，平面，，所以平面.
(2)
【详解】（1）略
（2）取的中点，连接，过、作的垂线，交于点，，则.
由（1）知，平面，因为平面，所以平面平面.
因为，，所以为等腰直角三角形，
又点为中点，所以，.
又平面平面，所以平面.
因为平面，所以，.
又，平面，，所以平面.
因为平面，所以.
所以即为二面角的平面角.
矩形中，.
翻折过程中，不发生变化，所以在中，.
在中，.
因为点为中点，，所以为中点，所以.
在中，.