初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.1 直角三角形的性质定理集体备课课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.1 直角三角形的性质定理集体备课课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了学习目标，基本图形，∠A∠C，∠A∠D，直角三角形的判定等内容，欢迎下载使用。
1. 掌握“直角三角形两锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；2.探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质.
如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度?
30°+60°=90°
45°+45°=90°
在Rt△ABC中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = ？
又∵∠A +∠B+∠C=180°
∴∠A +∠B=90°
(1)直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？(2)该逆命题是真命题吗？
(1)逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”
(2)该逆命题是真命题.理由如下：
如图，在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°
因此，△ABC是直角三角形
如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段AB的中点D，连接DC.以点D为圆心，DB长为半径画圆弧，则所画的弧经过点C吗？DC与AB之间有怎样的数量关系？
可以发现，该弧经过点C
如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD是斜边AB上的中线.
过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC,BC于点E ,F
于是∠ADE = ∠B，∠AED = ∠ACB = 90°
∠FDC = ∠ECD，∠DFB = ∠ACB = 90°
在△ADE与△DBF中
∠AED = ∠DFB
△ADE≌△DBF(AAS)
从而DE = BF ①
在△DFC与△CED中
∠DFC = ∠CED
∠FDC = ∠ECD
△DFC≌△CED(AAS)
从而CF = DE ②
由①式和②式得，CF = BF
因此，直线DF是线段BC的垂直平分线
根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形的性质定理:
∴ ∠1=∠A，∠2=∠B
∴ ∠A+∠B=90°
从而 △ABC是直角三角形.
∵∠A+∠B+∠ACB =180°,∠ACB =∠1+∠2
∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°
即 2(∠A+∠B)=180°
2.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2. 那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.
∴ ∠BAC+∠DCA=180°
从而△AHC是直角三角形.
在Rt△AHC中，EH为斜边上的中线
1.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有
2.如图，已知直线a//b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，AC⊥AB交直线b于点C.若∠2=50,则∠1的度数为( )
A. 50° B. 40°C. 60° D. 30°
解：∠A = ∠C. 理由如下：∵∠B = ∠D = 90°，∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°.∵∠AOB = ∠COD，∴∠A = ∠C.
（2）如图②，∠B = ∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠C 有什么关系？请说明理由.
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？
如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么 △ABC 是直角三角形吗？
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
在 △ABC 中，因为 ∠A +∠B +∠C = 180°， 又∠A +∠B = 90°，所以∠C = 90°. 于是 △ABC 是直角三角形.
应用格式：在 △ABC 中，∵ ∠A +∠B = 90°，∴ △ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.
例1 如图，∠C = 90°，∠1 = ∠2，△ADE 是直角三 角形吗？为什么？
解：在 Rt△ABC 中，∠2 + ∠A = 90°.
∵∠1 = ∠2，∴∠1 + ∠A = 90°.
即 △ADE 是直角三角形.
例2 如图，CE⊥AD，垂足为 E，∠A = ∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
解：△ABD 是直角三角形. 理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED = 90°．∴∠C +∠D = 90°．∵∠A = ∠C，∴∠A +∠D = 90°．∴△ABD 是直角三角形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段 AB 的中点 D，连接 DC .以点 D 为圆心， DB 为半径画圆弧，则所画的弧经过点 C 吗？DC 与 AB 之间有怎样的数量关系？
过点 D 作 DE∥BC，DF∥AC，分别交 AC，BC 于点 E，F，
在 △ADE 与 △DBF 中， ∠AED =∠DFB， ∠ADE =∠B， AD = DB，所以∠ADE≌△DBF(角角边)，
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线.
于是∠ADE =∠B，∠AED =∠ACB = 90°，∠FDC =∠ECD，∠DFB =∠ACB = 90°.
从而 DE = BF. ①
在 △DFC 与△CED 中，∠DFC = ∠CED，∠FDC = ∠ECD， DC = CD，所以△DFC≌∠CED(角角边)，从而 CF＝DE . ②由 ① 式和 ② 式得，CF = BF.因此，直线 DF 是线段 BC 的垂直平分线.根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB.
由此可得直角三角形的性质定理：
例3 如图，已知 CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，且 . 求证：△ABC 是直角三角形.
所以 ∠1 = ∠A，∠2 = ∠B.
因为∠A +∠B +∠ACB = 180°，
因为∠A +∠B = 90°.
所以△ABC 是直角三角形.
从而 2(∠A +∠B) = 180°.
所以∠A +∠B +∠1 +∠2 = 180°，
∠ACB = ∠1 + ∠2，
解：∵AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中 点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4．
例4 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1) 若AB ＝ 10，AC ＝ 8，求四边形 AEDF 的周长；
∴四边形 AEDF 的周长＝ AE＋DE＋DF＋AF ＝ 5＋5＋4＋4 ＝ 18．
(2)求证：EF 垂直平分 AD.
证明：∵DE ＝ AE，DF ＝ AF，∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上．∴EF 垂直平分 AD.
如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.(1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm；(2)若∠C = 30°， AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD = _____cm.
体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形