2025-2026学年安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）高二（下）期末数学试卷，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若的展开式中系数最大的项只有第4项，则它的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
2.若定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足，则f（x）极值点为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
3.已知随机变量X～B（n,p），若E（X）=3D（X）=2，则p=（ ）
A. B. C. D.
4.若平面α的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与α所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知点P在抛物线M：y2=8x上，过点P作圆C：（x-2）2+y2=4的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ）
A. 4B. 6C. 5D. 4
6.某不透明的盒子中有5个红色小球和4个黑色小球（小球的形状、大小均相同），小明从中随机取出1个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出2个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.高二（3）班从6名同学a,b,c,d,e,f中选取4人参加校运会的4×100米接力赛，每人只能跑一棒，其中第一棒只能从a,b中选一人跑，且a,b不相邻，第四棒不能由d跑，则不同的选取方法有（ ）
A. 88种B. 78种C. 66种D. 58种
8.记Tn为数列{an}的前n项积，已知，则T18=（ ）
A. 11B. 18C. 19D. 37
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知椭圆的离心率为，焦点为F1，F2，则（ ）
A. C的短轴长为
B. C上存在点P，使得PF1⊥PF2
C. 若点P在椭圆C上，则的取值范围为（-4，2）
D. C与曲线重合
10.已知集合U={1，2，3，4，5}，M1={a,b}，M2={c,d}，且M1≠M2，M1⊆U，M2⊆U，设事件A为“a+b=5”，事件B为“a+b+c+d=10”，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数f（x）与其导函数f′（x）的定义域均为R，且f（x）-x与f′（1-2x）均为偶函数，则（ ）
A. f（1）=0B. 为奇函数
C. f′（x）-1是奇函数D. 4是函数f′（x）的周期
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.给图中的三个区域涂色，有四种颜色可供选择，要求相邻区域涂不同的颜色，共有 种涂色方法.
13.已知一组数据1，2，2，5，5，6的第30百分位数为m,随机变量X的分布列为
则D（X）= .
14.已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x-2y=8上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过的定点坐标为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某环保网站为增强网站的吸引力，举行环保知识阅读有奖比赛，即所有的题目均可从网站上阅读获取答案，通过网民的申请发放10000份网络试卷，从中随机抽取50份试卷，将其成绩整理后制成频率分布直方图如图.
（1）求a的值，并估计此次有奖比赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；
（2）若80分以上（含80分）有奖且男性有2人，80分以下男性有24人，补全下面列联表，并根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析“有奖”是否与“性别”有关.
单位：人
附：临界值表及参考公式：
16.(本小题15分)
已知双曲线E：mx2-ny2=1经过点.
（1）求E的方程；
（2）设直线l：y=kx+b（k≠0）经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线PM过定点.
17.(本小题15分)
某景区举行五一游网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从5个减免红包中随机抽取2个，5个红包的金额分别为0元、10元、10元、30元、50元.已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票.
（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望.
（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%.假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：
①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？
②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？
18.(本小题17分)
已知.
（1）当n=4时，求a1+a2+…+a2n的值.
（2）当k≥1时，证明：.
（3）设，求b0+3b1+5b2+7b3+…+（4n-1）b2n-1.
19.(本小题17分)
对于函数f（x），规定f′（x）=[f（x）]′，f（2）（x）=[f′（x）]′，…，f（n）（x）=[f（n-1）（x）]′，f（n）（x）叫做函数f（x）的n阶导数.若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点，该公式称为函数f（x）在x=x0处的n阶泰勒展开式，R（n）（x）是此泰勒展开式的n阶余项.已知函数f（x）=ln（x+1）.
（1）写出函数f（x）在x=1处的2阶泰勒展开式（R（n）（x）用R（2）（x）表示即可）；
（2）设函数f（x）在x=0处的3阶余项为g（x），求证：对任意的x∈（-1，1），g（x）≤0；
（3）求证：…＜（n∈N*）.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】36
13.【答案】10.8
14.【答案】
15.【答案】解：（1）根据频率和为1，得10×（2a+0.016+0.026+0.032+0.006）=1，解得a=0.010，
估计此次成绩的平均数为45×0.10+55×0.16+65×0.26+75×0.32+85×0.10+95×0.06=68.4；
（2）80分以上（含80分）的频率为0.1+0.06=0.16，且50×0.16=8，
补全列联表如下：
零假设为H0：有奖与性别之间无关，根据列联表中数据，计算X2=≈2.782＞2.706=X0.1，
根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断假设H0不成立，即认为“有奖”与“性别”有关，此推断犯错误的概率小于0.1．
16.【答案】
证明：由（1）知E的右焦点为（3，0），则l：y=k（x-3），
联立消去y得，（1-8k2）x2+48k2x-72k2-8=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则1-8k2≠0，Δ＞0，即，
故，，
因为点N关于x轴的对称点为P，所以P（x2，-y2），
则直线PM的方程为，
根据对称性可知，直线PM经过的定点必在x轴上，
令y=0，得
=
=
=
=，
当k≠0且时，==，
所以直线PM过定点．

17.【答案】分布列为
E（X）=40
①五一期间的门票收入减少了，理由如下：
假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间的客流量为n人，则门票收入为120n元，
举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入为n（1+40%）（120-40）=112n＜120n，
所以举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入减少了．
②五一期间总收入增加了，理由如下：
每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，
则期望值为30×+40×+60×=，
不举行抽奖活动，该景区在五一期间的总收入为 n= n，
举行抽奖活动后，该景区在五一期间的总收入为，
所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了
18.【答案】4246
由题意得，

=
=
=，
所以，
n•22n
19.【答案】
证明：由于，结合（1），得f（0）=0，f′（0）=1，f（2）（0）=-1，f（3）（0）=2，
所以函数f（x）在x=0处的3阶泰勒展开式为，
所以，
，令g′（x）=0，得x=0，
当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈（-1，1），g（x）≤0
证明：由（2）知，当x∈（0，1）时，，即，
因为，所以，


=，
因为，
所以，
即，
所以 X
m
5
14
P
0.3
0.6
0.1
性别
成绩
合计
80分以上（含80分）
80分以下
女性
男性
2
24
合计
50
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
成绩
合计
80分以上（含80分）
80分以下
女性
6
18
24
男性
2
24
26
合计
8
42
50
X
10
20
30
40
50
60
80
P