2024-2025学年安徽省临泉田家炳实验中学高二上学期1月期末测试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省临泉田家炳实验中学高二上学期1月期末测试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2−i2+i =( )
A. 35 +45iB. 35−45iC. 45+35iD. 45−35i
2.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B=x|x2−2x≥0，则A∩B=( )
A. {1,0,2}B. {−1,3}C. {−1,0,2,3}D. {1,2}
3.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离等于4a，则该双曲线的离心率为( )
A. 17B. 3C. 5D. 5
4.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若α∩β=a，a // b，则b // β
B. 若b // β，a // α，α // β，则a // b
C. 若α∩β=a，a⊥b，则b⊥α
D. 若α // β，a // α，b⊥β，则a⊥b
5.已知抛物线C:x2=8y的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足AF⋅BF=0，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则d|AB|的最大值为( )
A. 1B. 33C. 22D. 12
6.朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何?”大意为现有一个直径为10的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为(注：4.82=23.04) ( )
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
7.已知函数fx是定义域为R的可导函数，gx=f′x(f′x为函数fx的导函数)，若f2x+1为奇函数，且gx+g4−x=2，g1=2，则( )
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
8.已知不等式fxa，
条件②：csB=2 55．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16.(本小题12分)
已知圆M:x−22+y2=1，P为圆N:x+22+y2=1上一动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A、B．
(1)当点P的坐标为−2,1时，求两条切线方程；
(2)求AB的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，▵ABC是边长为4的正三角形，AA1=4 3，O为BC的中点，A1O⊥平面A1B1C1．
(1)证明：B1C1⊥AA1．
(2)求平面BAB1与平面AB1C夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知点P到定点F 3,0的距离和它到定直线x=4 33的距离之比为 32，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设直线l:x=my+1m≠0与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B′，直线AB′与x轴相交于点D，求▵ABD的面积的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数fx=xlnx−12ax−12−x+1，a∈R．
(1)证明：直线y=0与曲线y=fx相切．
(2)若函数fx在1,+∞上存在最大值，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.C
6.B
7.D
8.A
9.ABC
10.AC
11.BC
12.112/5.5
13.3
14.4
15.(1)∵sin2C−sin2A−sin2B= 2sinAsinB，∴c2−a2−b2= 2ab，
∵c2−a2−b2=−2abcsC，∴csC=− 22，
∵C∈0,π，∴C=3π4．
(2)若选条件①：
∵▵ABC的面积S=4，∴12absin3π4=4，∴ab=8 2，
∵c2=a2+b2−2abcsC，c=2 10，∴c2=a2+b2+ 2ab=40，
∵b>a，∴a=2 2，b=4，
∵D为BC的中点，∴CD= 2，
在▵ACD中，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅csC=16+2−2×4× 2×− 22=26，
∴AD= 26．
若选条件②：
∵csB=2 55，B∈0,π，∴sinB= 55，
由正弦定理得，bsinB=csinC，∴b=csinC⋅sinB=4，
∵c2=a2+b2−2abcsC，∴a2+4 2a−24=0，解得a=2 2或a=−6 2(舍)，
∵D为BC的中点，∴CD= 2，
在▵ACD中，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅csC=16+2−2×4× 2×− 22=26，
∴AD= 26．

16.(1)由题意可知，圆M的圆心为M2,0，半径为1，
若切线的斜率不存在时，则切线方程为x=−2，圆心M到直线x=−2的距离为4，不合乎题意；
所以，切线的斜率存在，设过点P的切线方程为y−1=kx+2，即kx−y+2k+1=0，
圆心M2,0到直线kx−y+2k+1=0的距离d=4k+1 k2+1=1，整理可得15k2+8k=0，
解得k=0或k=−815，
故所求切线方程为y−1=0或y−1=−815x+2，即y−1=0或8x+15y+1=0．
(2)连接PM，交AB于点H，设∠MPA=∠MAH=θ，其中01，令g(x)=f’(x)，则g′x=1x−a，
①当a≤0时g′x>0，gx在(1,+∞)上单调递增，所以gx>g1=0，
所以fx在(1,+∞)上单调递增，无最大值，不符合题意；
②当a≥1时，g′x=1x−a0，所以ℎ′a>0，ℎa单调递增，
因为ℎ(1)=0，所以ℎa