西师大版（2024）六年级上册（2024）整理与复习导学案及答案

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一、学习目标
1. 理解分数乘整数和分数乘分数的意义，掌握计算方法，能正确进行约分
2. 理解求一个数的几分之几是多少用乘法计算，能解决相关实际问题
3. 能用连乘解决连续求一个数的几分之几的多步问题，能从情境中提出数学问题
4. 理解整数、小数和分数乘法的统一性——都是计数单位的个数相乘
二、重点
• 分数乘整数：分子与整数相乘作分子，分母不变，能约分的先约分
• 分数乘分数：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母
• 求一个数的几分之几是多少，用乘法计算
• 连续求一个数的几分之几用连乘，注意每一步的单位1
• 整数、小数和分数的乘法都是计数单位的个数相乘
三、难点
• 理解分数乘分数的算理——为什么分子乘分子、分母乘分母
• 在连乘问题中确定运算顺序和每一步的单位1
• 从情境中自主提出有价值的数学问题
学习支架
分数乘法计算法则统一表
分数乘分数面积图：45 × 23
分数乘法统一法则
四、知识要点
1. 分数乘整数
分数乘整数的意义与整数乘法相同，就是求几个相同分数的和的简便运算。例如每人吃一个饼的18，4人一共吃了多少？用加法：18 + 18 + 18 + 18 = 1+1+1+18 = 48 = 12。用乘法：18 × 4 = 1×48 = 48 = 12。计算方法：分数乘整数，用分数的分子与整数相乘的积作分子，分母不变。计算时可以先约分再乘，这样更简便。例如56 × 4，先用4和6约分（最大公因数2），得到 53 × 2 = 103。约分时用整数去约分分母，交叉约分。分数乘整数可以看成分数乘分数的特殊情况。例如37 × 2 可以写成37 × 21，即3×27×1 = 67。这说明分数乘整数和分数乘分数的计算方法是一致的——都是分子相乘作分子，分母相乘作分母。整数可以看作分母为1的分数。从计数单位的角度看，18 × 4 表示4个18相加，也就是计数单位18的个数4相乘。这与整数乘法（如10 × 10表示10个十）和小数乘法（如0.1 × 0.01表示1个0.01的十分之一）本质相同——都是计数单位的个数相乘。
2. 求一个数的几分之几是多少
求一个数的几倍是多少用乘法计算，同样地，求一个数的几分之几是多少也用乘法计算。这是整数乘法意义的扩展。例如：一瓶矿泉水有300 mL，小勇喝了这瓶水的35，他喝了多少毫升？列式：300 × 35 = 300×35 = 9005 = 180(mL)。也可以先约分：300 × 35 = (300÷5) × 3 = 60 × 3 = 180(mL)。关键理解：300 × 35表示把300平均分成5份取其中3份。35不是指35瓶，而是指一瓶矿泉水的35。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。整数乘分数可以看成分数乘整数的特殊情况，也可以看作求一个数的几分之几。两种理解殊途同归。在实际问题中，要注意区分求一个数的几倍（乘整数）和求一个数的几分之几（乘分数），两者的计算方法统一，但意义侧重不同。常见的生活应用包括：购物折扣（几折就是十分之几）、面积计算、速度比较、产量分配等。例如我国陆地总面积约960万km²，其中23是山区，山区面积约是960 × 23 = 640万km²。
3. 分数乘分数
分数乘分数的意义是求一个分数的几分之几是多少。例如：一块地面积是45公顷，已耕了这块地的23，已耕多少公顷？45 × 23表示求45公顷的23是多少。算理理解：45公顷是把1公顷平均分成5份取4份；再取这45的23，相当于把1公顷平均分成5×3=15份，取其中的4×2=8份。所以45 × 23 = 4×25×3 = 815（公顷）。计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。计算时能约分的先约分，可以减少计算量。约分时用分子的因数去约分母的因数，交叉约分。例如56 × 34，分子3和分母6约分（最大公因数3），得到52 × 14 = 58。从折纸实验理解算理：把一张纸对折得12，再把这12平均分成4份取1份，就是12 × 14。展开后整张纸被分成2×4=8份，取了其中1份，所以12 × 14 = 18。这直观地说明了分子乘分子、分母乘分母的道理。分数乘法的重要性质：一个非零数乘真分数（小于1的分数），积小于这个数本身；乘假分数（大于1的分数），积大于这个数本身；乘1，积等于这个数本身。这个性质可以用来估算和检验计算结果。
4. 分数乘法解决问题与问题提出
本知识点综合运用分数乘法解决实际问题，重点包括连续求一个数的几分之几（连乘）和折扣问题。一、连续求一个数的几分之几例：公园有800平方米地，34用来种玫瑰，种红玫瑰的面积占玫瑰地面积的35。公园种了多少平方米红玫瑰？分析：两个分数关系的单位1不同。第一个34以总面积800为单位1，第二个35以玫瑰地面积为单位1。先求玫瑰地面积：800 × 34 = 600(m²)；再求红玫瑰面积：600 × 35 = 360(m²)。综合算式：800 × 34 × 35 = 360(m²)。变式：种黄玫瑰的面积占玫瑰地面积的16，公园种了多少平方米黄玫瑰？600 × 16 = 100(m²)。二、折扣问题几折就是原价的十分之几。六折=610，八折=810，九折=910。例：喷雾器50元、背篓15元、水泵320元，按六折出售，300元够吗？方法一（分别算再求和）：50 × 610 + 15 × 610 + 320 × 610 = 30 + 9 + 192 = 231(元)方法二（先求原价总和再打折）：(50+15+320) × 610 = 385 × 610 = 231(元)231 < 300，所以300元够。方法二利用了乘法分配律，计算更简便。三、问题提出的步骤解决问题的一般步骤：1.搜索信息——从情境中找出已知条件和数量关系；2.提出问题——根据信息提出可以用分数乘法解决的问题；3.解决问题——分析数量关系，列出算式并计算；4.检验反思——检查结果是否合理，思考是否有其他解法。提出问题时要注意：问题要基于已知信息，要用分数乘法解决，可以从不同角度提出不同问题。例如对于七大洲面积关系图，可以提出某洲面积是多少、两洲面积差是多少等问题。四、整数、小数和分数乘法的统一整数乘法（如10 × 10 = 100）、小数乘法（如0.1 × 0.01 = 0.001）和分数乘法（如110 × 110 = 1100）本质相同——都是计数单位的个数相乘。10 × 10表示10个十，0.1 × 0.01表示十分之一的百分之一，110 × 110表示十分之一的十分之一。理解这种统一性有助于建立完整的数感。
易错汇总
易错点 1
【错因】混淆了分子和分母的位置，没有回到加法意义理解
【自检方法】回到加法验证：37 × 2 = 37 + 37 = 67，分子相加，分母不变
易错点 2
【错因】把乘法与加法混淆，没有理解乘法的面积模型
【自检方法】用面积图验证：45 × 23就是把1分成5×3=15份取4×2=8份，是乘不是加
易错点 3
【错因】计算后忘记约分，或不知道如何约分
【自检方法】检查分子分母是否有公因数，如有则约分。如612 = 12
易错点 4
【错因】没有理解每一步乘法对应的单位1在变化
【自检方法】画出每一步的关系：800的34是玫瑰地，玫瑰地的35是红玫瑰，单位1从总面积变为玫瑰地面积
易错点 5
【错因】不理解折扣的含义，把折扣数当作减去的金额
【自检方法】验证：原价50元六折，售价应为50 × 610 = 30元，不是50 - 6 = 44元
易错点 6
【错因】把乘法总是使结果变大的整数经验迁移到分数
【自检方法】举例验证：10 × 12 = 5 < 10，说明乘小于1的数结果变小
五、易错精讲
【例1】
计算 56 × 34，并说明算理。小华的做法是5+36+4 = 810 = 45，他做对了吗？
【例2】
计算 37 × 4。小红的答案是328，她错在哪里？
【例3】
图书馆有图书420本，其中故事书占27。故事书有多少本？小明的列式是420 ÷ 27，他做对了吗？
【例4】
水果店运来480 kg水果，第1天卖出总数的14，第2天卖出的是第1天的23。第2天卖出多少千克水果？
【例5】
一件商品原价200元，先涨价110，再降价110。现价与原价相比是升高了还是降低了？
【例6】
计算 47 × 35 × 14，说说你是怎样算的。
易 错 专 练
基础辨析
1. 计算：27 × 6
2. 计算：59 × 12
3. 计算：45 × 34
4. 分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。（ ）
5. 求一个数的几分之几是多少，用除法计算。（ ）
6. 六折就是原价的610。（ ）
7. 800 × 34 × 35 =（________）× 35 =（________）
8. 计算：34 × 23 × 56
方法巩固
9. 下面算式中，结果最大的是（________）。
A. 23 × 4 B. 23 × 3
C. 23 × 14 D. 23 × 0
10. 我国陆地总面积约960万km²，其中23是山区。我国山区面积约是多少万平方千米？
11. 34 × 23 的计算结果正确的是（________）。
A. 612 B. 12
C. 67 D. 57
12. 少先队员采集标本80件，其中38是植物标本，昆虫标本的件数是植物标本的56。昆虫标本有多少件？
13. 一头蓝鲸长28 m，其中头部约占全长的14。这头蓝鲸的头部长约多少米？
14. 不计算，判断 35 × 47 的积与35的大小关系是（________）。
A. 大于35 B. 小于35
C. 等于35 D. 无法确定
15. 学校举行诗词大会，获三等奖的学生有120人，获二等奖的人数是三等奖的23，获一等奖的人数是二等奖的12。获一等奖的学生有多少人？
综合易错
16. 学校举行跳绳比赛，李红每分跳168次，陈亮每分跳的次数是李红的78，王伟每分跳的次数是陈亮的67。王伟每分跳多少次？
17. 地球上鸟类约有9000种，爬行类动物约是鸟类的23，哺乳类动物约是鸟类的49。爬行类动物大约比哺乳类动物多多少种？
18. 黄豆、玉米的蛋白质和脂肪含量如下：黄豆蛋白质含量720、脂肪含量425；玉米蛋白质含量9100、脂肪含量125。1000 g黄豆中含蛋白质和脂肪各多少克？1000 g玉米呢？
19. 甲、乙两个仓库，甲仓存粮30 t，如果从甲仓中取出110放入乙仓，则两个仓库存粮数量相等。两个仓库一共存粮多少吨？
20. 在里填大于、小于或等于，并说明理由。56 × 5 ○ 56；8 × 23 ○ 8；78 × 43 ○ 78
21. 一个足球的表面由32块黑白相间的皮块拼接而成。黑色皮块数是总块数的38，白色皮块数是总块数的58。请提出两个用分数乘法解决的问题，并解决。类型
算式
计算方法
本质
分数乘整数
18 × 4
1×48 = 12
4个18相加
整数乘分数
300 × 35
300×35 = 180
300的35
分数乘分数
45 × 23
4×25×3 = 815
45的23
统一法则
a/b × c/d
a×cb×d
计数单位个数相乘
常见错误
正确认识
分数乘整数时把整数与分母相乘
分数乘整数，用分子与整数相乘作分子，分母不变
常见错误
正确认识
分数乘分数时把分子加分子、分母加分母
分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母
常见错误
正确认识
计算结果不约分，保留非最简分数
分数计算结果必须化为最简分数
常见错误
正确认识
连乘问题中弄错运算顺序或搞错单位1
按问题中的数量关系确定运算顺序，每一步找准单位1
常见错误
正确认识
把打折理解为减去十分之几，如六折就是减去6元
几折就是原价的十分之几，售价 = 原价 × (几/10)
常见错误
正确认识
一个数乘真分数的结果大于这个数
一个非零数乘真分数（小于1的数），积小于这个数本身