初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）3.3 一元二次方程根的判别式教学演示ppt课件

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）3.3 一元二次方程根的判别式教学演示ppt课件，共3页。PPT课件主要包含了两个不等的实数根，两个相等的实数根，没有实数根，两个实数根，Δ≥0，要点归纳，练一练，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根，根的判别式使用方法等内容，欢迎下载使用。
回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .
解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 .配方，得 x2 + x + - - = 0,移项，得 =
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
≥0，4a2＞0 .当 b2 - 4ac＞0 时，x1= ， x2=当 b2 - 4ac = 0 时， x1 = x2 =当 b2 - 4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)，所以原方程没有实数根.
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2 − 4ac 来判定，我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式. 通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 − 4ac.
按要求完成下列表格：
3.判别根的情况，得出结论.
1.化为一般式，确定 a，b，c 的值.
2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号.
例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0.∵Δ = b2 - 4ac = 1 - 4×1×(-1) = 5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选 B.
Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则 Δ = b2 - 4ac > 0，同时要求二次项系数不为 0，即 ，k ≠ 0.解得 k > -1 且 k ≠ 0，故选 B.
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 3x2 + 4x－3 = 0； (2) 4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1).
解：(1)3x2 + 4x－3 = 0，a = 3，b = 4，c = －3， ∴Δ = b2－4ac = 42－4×3×(－3) = 52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． (2)方程化为 4x2－12x + 9 = 0， ∴Δ = b2－4ac = (－12)2－4×4×9 = 0. ∴方程有两个相等的实数根．
(3) 7y = 5(y2 + 1).
解：(3)方程化为 5y2－7y + 5 = 0， ∴Δ = b2－4ac = (－7)2－4×5×5 = －51＜0. ∴方程无实数根．
1.关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 .
注意：一元二次方程有两个实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
∵Δ = b2 − 4ac = (-2)2 − 4×1×m = 4 - 4m≥0，
2.不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）2x2 + 3x − 4 = 0； （2）x2 − x + = 0；
解：（1）2x2 + 3x − 4 = 0，a = 2，b = 3，c = −4， ∴ Δ = b2 − 4ac = 32 − 4×2×(−4) = 41＞0. ∴方程有两个不等的实数根． （2）x2 − x + = 0，a = 1，b = −1，c = ， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1× = 0. ∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2 − x + 1 = 0，a = 1，b = −1，c = 1， ∴Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1×1 = −3 < 0. ∴方程无实数根．
（3） x2 − x + 1 = 0.
3.不解方程，判断关于 x 的方程的根的情况.
所以方程有两个实数根．
能力提升： 在等腰△ABC 中，三边分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 − b = 0 有两个相等的实数根，
所以 Δ = (b + 2)2 − 4(6 − b) = b2 + 8b − 20 = 0.
解得 b1= −10 (舍去)，b2 = 2.
由三角形三边的性质，得 c = 5，
所以△ABC 的三边长为5，2，5，其周长为5 + 2 + 5=12.