西师大版（2024）五年级上册（2024）用字母表示公式、规律精品第2课时练习

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本课核心问题
怎样用字母把运算律、公式和规律统一地表示出来，并通过代入求值解决问题？
一、学习目标
1. 能用字母表示学过的运算律和几何公式，掌握a²的读写和含义
2. 能从具体情境中探索规律并用字母表示，如b=2a+2
3. 能将具体数值代入含字母的式子求值，也能根据结果逆推字母的值
二、重点
• 用字母表示五条运算律
• 用字母表示正方形、长方形等图形的面积和周长公式
• a²的读写和含义，乘号省略规则
三、难点
• 从具体情境中归纳规律并用字母表示
• 含字母式子的逆推（已知结果反求字母的值）
学习支架
运算律的字母表示
餐桌拼摆规律表
四、知识要点
1. 用字母表示运算律
我们已经学过五条运算律，现在用字母把它们简洁地表示出来。加法交换律：a+b=b+a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律：a×b=b×a
乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c
用字母表示运算律的好处是：简洁、明确，不受具体数值限制，适用于所有数。这就是字母表示数的威力——用一行式子就能概括无数个具体算式。比如a+b=b+a可以代表3+5=5+3，也可以代表100+200=200+100，一个式子胜过千言万语。书写规则：在含有字母的式子里，字母与字母之间的乘号可以记作·，也可以省略不写。例如a×b可以写成a·b或ab。但数字与数字之间的乘号不能省略，例如3×4不能写成34。数字与字母相乘时，数字一般写在字母前面，如4×a写成4a。
2. 用字母表示几何公式
我们学过的平面图形面积和周长公式，也可以用字母来表示。设正方形的边长为a，则：面积 S=a·a=a²，周长 C=4a
重点理解a²：a²表示a乘a，即a·a，读作「a的平方」。注意a²不等于2a，2a表示a+a=2×a。用具体数值验证：当a=3时，a²=3×3=9，而2a=2×3=6，两者完全不同。试一试，用字母表示其他图形的公式：长方形（长a，宽b）：周长C=2(a+b)，面积S=ab
平行四边形（底a，高h）：面积S=ah
三角形（底a，高h）：面积S=ah÷2
梯形（上底a，下底b，高h）：面积S=(a+b)h÷2
在含有字母的式子里，数字一般写在字母前面。例如4a不写成a4，2(a+b)不写成(a+b)2。这样既规范又便于阅读。
3. 用字母表示规律
字母不仅能表示公式和运算律，还能表示情境中的数量关系规律。例2：餐桌拼摆问题
1张餐桌可以坐4人，2张餐桌拼在一起可以坐6人，3张拼在一起可以坐8人。观察规律：1张 → 4人
2张 → 6人（比1张多2人）
3张 → 8人（比2张多2人）
每增加1张餐桌，可坐人数增加2人。这是因为每增加一张餐桌，两边各增加1个座位，共增加2人，而拼在一起处不增加座位。用字母表示：设餐桌数为a，可坐人数为b，则：b=2a+2
这个式子概括了所有情况：不管几张餐桌拼在一起，都能用b=2a+2来计算可坐人数。这就是用字母表示规律的优越性——一个式子胜过无数个具体算式。验证：当a=1时b=4，当a=2时b=6，当a=3时b=8，都与实际相符。
4. 含字母式子的求值与逆推
含字母的式子不仅能表示规律，还能代入具体数值进行计算，也可以根据结果反推字母的值。一、代入求值（已知字母的值，求式子的值）
以b=2a+2为例：当a=5时，b=2×5+2=10+2=12
当a=10时，b=2×10+2=20+2=22
二、逆推（已知式子的值，求字母的值）
当b=20时，2a+2=20，则2a=18，a=9
逆推的关键是利用等式两边同时进行逆运算：先减去2，再除以2。三、综合应用
超市问题：柚子每箱10元，已有60元，买x箱共需60+10x元。当x=3时，共需60+10×3=90元。礼品问题：买16个单价x元的笔记本和90个单价x元的铅笔，共需16x+90x=106x元。这里把含相同字母的项合并，体现了字母也可以参与运算。思考题：1+2+3+...+n=n(n+1)÷2
当n=10时，1+2+...+10=10×11÷2=55
当n=100时，1+2+...+100=100×101÷2=5050
这个公式将无限长的求和用一个简洁的字母式子表示出来，充分体现了字母表示数的概括性和优越性。
五、典型例题
【例1】
用字母表示正方形的面积和周长公式，并计算当边长a=5时面积S和周长C的值。
【解答】正方形面积公式：S=a·a=a²
正方形周长公式：C=4a
当a=5时：S=a²=5²=5×5=25
C=4a=4×5=20
答：当边长为5时，面积为25，周长为20。
【点拨】注意a²是a乘a，不是a乘2。代入数值时，把字母换成对应的数字，再按运算顺序计算。
【例2】
餐桌拼摆问题中，b=2a+2（a为餐桌数，b为可坐人数）。（1）当a=7时，求b的值。（2）当b=30时，求a的值。
【解答】（1）代入求值：当a=7时，b=2a+2
=2×7+2
=14+2
=16
答：当a=7时，b=16，即可坐16人。（2）逆推：当b=30时，2a+2=30
2a=30-2
2a=28
a=14
答：当b=30时，a=14，即需要14张餐桌。
【点拨】代入求值时直接把数字代入字母位置计算；逆推时把含字母的式子看作一个等式，利用加减逆运算逐步求出字母的值。
【例3】
超市里柚子每箱10元，妈妈带了60元，买x箱柚子。（1）用含字母的式子表示共需多少元。（2）当x=4时，共需多少元？
【解答】（1）共需：60+10x（元）
其中60是已有的钱，10x是买x箱柚子需要的钱。（2）当x=4时：60+10x
=60+10×4
=60+40
=100
答：共需100元。
【点拨】用字母表示实际问题时，先分清哪些是已知量（固定不变），哪些是变量（用字母表示），再把它们之间的关系用式子表达出来。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 加法交换律用字母表示为（________），乘法分配律用字母表示为（________）。
2. 正方形的面积S=（________），周长C=（________）。（设边长为a）
3. a²读作（________），表示（________）。
4. a²和2a表示的意义相同。（ ）
5. 在含有字母的式子里，a×b可以写成ab。（ ）
6. 长方形的长为a，宽为b，面积S=（________），周长C=（________）。
7. 三角形底为a，高为h，面积S=（________）。
8. 当a=6时，求下列式子的值：（1）4a （2）a² （3）2a+3
★★ 能力提升
9. 下面各式中，正确的是（________）。
A. a+a=a² B. a×a=2a
C. a·a=a² D. a²=a+2
10. 餐桌拼摆问题中b=2a+2，当b=18时，a的值是（________）。
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
11. 超市里柚子每箱10元，王阿姨带了60元。（1）买x箱共需多少元？（用含字母的式子表示）（2）当x=5时，王阿姨带的钱够吗？
12. 某商店卖礼品，笔记本每个x元买了16个，铅笔每支x元买了90支。（1）用含字母的式子表示共需多少元。（2）当x=2时，共需多少元？
★★★ 拓展延伸
13. 用小棒摆三角形：摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根小棒。（1）填写下表并找出规律。（2）用含字母m的式子表示摆m个三角形需要多少根小棒。（3）当m=20时，需要多少根小棒？
14. 思考题：已知1+2+3+...+n=n(n+1)÷2。（1）计算1+2+3+...+10的值。（2）计算1+2+3+...+100的值。（3）如果1+2+3+...+n=210，求n的值。
参 考 答 案
第1题：a+b=b+a；(a+b)×c=a×c+b×c
【解析】加法交换律是交换两个加数的位置和不变；乘法分配律是两个数的和乘一个数等于分别相乘再相加。[错因:记忆]
第2题：a²；4a
【解析】正方形面积=边长×边长=a·a=a²；周长=边长×4=4a。注意a²不是2a。[错因:知识]
第3题：a的平方；a×a
【解析】a²读作a的平方，表示a乘a，即a·a。[错因:知识]
第4题：×
【解析】a²=a×a，2a=a+a=2×a，两者完全不同。例如当a=3时，a²=9而2a=6。[错因:理解]
第5题：√
【解析】字母与字母之间的乘号可以省略，a×b=a·b=ab。[错因:知识]
第6题：ab；2(a+b)
【解析】长方形面积=长×宽=ab；周长=(长+宽)×2=2(a+b)。字母间乘号省略。[错因:知识]
第7题：ah÷2
【解析】三角形面积=底×高÷2=ah÷2。[错因:知识]
第8题：（1）4a=4×6=24
（2）a²=6²=6×6=36
（3）2a+3=2×6+3=12+3=15
【解析】代入求值时把字母a替换为6，按运算顺序计算。注意a²是6×6=36不是6×2=12。
第9题：C
【解析】A错误，a+a=2a；B错误，a×a=a²；C正确，a·a=a²；D错误，a²=a×a与a+2无关。[错因:理解]
第10题：B
【解析】2a+2=18，2a=16，a=8。验证：2×8+2=18，正确。[错因:计算]
第11题：（1）共需60+10x（元）
（2）当x=5时：60+10x=60+10×5=60+50=110（元）
王阿姨只带了60元，60