数学2.3 一元二次方程的根与系数的关系同步达标检测题

这是一份数学2.3 一元二次方程的根与系数的关系同步达标检测题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如果关于x的一元二次方程 的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
4．若一元二次方程的两根分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．对于一元二次方程，下列说法：
①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
②若是一元二次方程的根，则；
③如果存在实数m、n（），使得，则；
④若c是方程的一个根，则一定有成立．
其中正确的有（）
A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④
二、填空题
6．若m，n是方程的两根，则的值是______．
7．已知关于x的方程，则___，___．
8．已知实数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________．
9．设关于x的方程的两根分别是、，则代数式的值为______．
10．定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点．
（1）直接写出方程的根序点的坐标为_____；
（2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____．
三、解答题
11．设，为方程的两根，试求下列各式的值；
(1) (2) (3)
12．已知关于x的一元二次方程（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)是直角三角形，它的斜边，直角边a，b长是方程的两根，求的面积．
13.已知关于的一元二次方程，有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
14.定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值．
15.已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知1是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根；
(3)若方程的两个实数根是，且，求k的值．
16.定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”：_____．
(2)已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论．
(3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____．
17.【定义】我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”
【示例】如的“友好方程”是（1）写出一元二次方程的“友好方程”是______．
【探究】（2）已知一元二次方程的两根为，则它的“友好方程”的两个根为______．
【猜想】（3）当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______．
【证明】证明上面的猜想（4）∵方程的两根为， ；方程的两根为，①______；…请完成上述填空①，并补全证明过程．(备注：证明一组关系即可)
【应用】（5）已知关于x的方程的两根是， 请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为______．
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵一元二次方程，即的两根之和为m，两根之积为n，
∴，，
∴，．
2．B
解：∵方程 的两根为 , ，
∴ ，得 ，
， 得 ，
∴这个一元二次方程为 ，
故选：B．
3．A
解：∵ 对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，，
已知方程为 ，
∴ ，，，
∴ ，，
又∵ ，
代入得：．
4．D
解：根据题意得，，
∴，
解得．
5．A
解：①∵方程有两个不相等的实根，
∴，即，对于方程，判别式，
∵，，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根，故①正确．
②∵是方程的根，∴，即，
∴，故②正确．
③取反例：设，则方程为，取，有，，相等，但，故③错误．
④∵是方程的根，∴，即，∴或，不一定总有，故④错误．
综上，①②正确，选A．
二、填空题
6．
解：将原方程整理为一般形式得，
，是方程的两个根，
根据根与系数的关系可得，．
7．
解：对于一元二次方程，根据根与系数的关系可知，，
在方程中，，，
则，
故答案为：，．
8．
解：原方程整理得，
∴由一元二次方程根与系数的关系得，，
∴．
9．2027
解：方程的两根分别为，
，，
，
．
10． 1或
解：（1）解方程得，
∴根据根序点定义：，横坐标：，纵坐标：，
∴根序点的坐标为；
（2）方程有根序点，
该方程有两个不相等的实数根，
，
根序点在直线上，
满足直线方程：，整理得：，
对于方程，由根与系数的关系得：，
，
整理得：，
解得：，
当时，，符合要求；
当时，，符合要求，
的值为1或．
三、解答题
11．（1）解：∵是方程的两根，
∴，
∴．
（2）解：
．
（3）解：∵，
，
∴
，
．
12．（1）解：由，
∴，
∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵是直角三角形，它的斜边，
∴，
∴，
∵直角边a，b长是方程的两根，
∴，，
∴，即，
解得，（舍去），
∴．
13.（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
，
，
，
解得，，
，
的值为4．
14.（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下：
，
解得：，，
∵，
∴方程不是“差1方程”；
（2）解：∵设方程两根为，，
由根与系数的关系，得，，
∵方程 是“差1方程”，
∴，
∴
∴
∵，
∴,
∴或；
当时，方程，解得：，，此时，
当时，方程，解得：，，此时，
综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”.
15.（1）证明：∵
∴，
∴，
∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入方程可得，解得，
当时，代入方程可得，
∴，即，即方程的另一个根为3．
（3）解：∵关于的一元二次方程，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得：，
∵，
∴方程无实数解，即不存在满足条件的值．
16.（1）解：的“友好方程”为，
故答案为：；
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系得，
，
∴，
则，
∴；
，与互为倒数，证明如下：
当时，根据求根公式得，
，；
，；
，
；
∴原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
（3）解：
根据“友好方程”的两根的数量关系得出的根为
，
∴的两个根为，
整理得，
故答案为：．
17.解：（1）依题意可得：一元二次方程的“友好方程”是，
故答案为：；
（2），
，
解得：，；
（3）∵时，
∴方程的两根为，，
方程的两根为，，
（4）∵
，
同理：
，
∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
故答案为：互为倒数，；
（5）解：关于的方程的两根为．
∵方程的两根是，
∴其“友好方程”的两根为．
，即，
将看作整体，则或，
．