数学九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系一课一练

这是一份数学九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系一课一练，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若一元二次方程的两个根分别为，则的值为（ ）
A．-4B．-2C．0D．1
2．关于 x 的一元二次方程 x (a 3a)x  a  0 的两个实数根互为倒数，则 a 的值为( )
A．-3B．0C．1D．-3 或 0
3．若，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．3B．2C．-2D．1
4．下列一元二次方程中，两实数根的和等于的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ）
A．19B．18C．16D．15
6．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．B．3C．D．
7．已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程的两根，则此三角形的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A．B．C．D．
9．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1B．C．D．6
10．已知一元二次方程的两根为，，则（ ）
A．B．C．7D．25
11．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
12．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数，则( )
A．b>0B．b=0C．b<0D．c=0
二、填空题
13．一元二次方程的两根为，，若，则 ．
14．已知方程的两根是，,则 ， ．
15．已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为，，则的值 ．
16．若m，n是方程的两个根，则的值是 ．
17．若一元二次方程的两根分别为，则的值为 ．
三、解答题
18．阅读下面的材料：
嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的：
由于，方程变形为：
，…第一步
，…第二步
，，…第三步
，…第四步
．…第五步
(1)嘉淇的解法从第_______________步开始出现错误；事实上，当_______________时，方程的求根公式是．
(2)若一元二次方程（两根分别为），利用得到的公式计算_______________，_______________．
(3)应用：关于x的一元二次方程两根分别为．则_______________，_______________．
(4)拓展：设方程的两根为，则_______________．
19．如图，中，，的边、分别交直线于点、（在的左边），；


(1)如图1，若，，当点与点重合时，的面积为______；
(2)若，，和的长度分别是方程的两根，请在图2中画出图形并求面积；
(3)如图3，若，、分别在点的两侧，，，直接写出的长______．
20．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值．
21．已知m，n是方程的两根，求的值．
22．已知、是方程的两个实数根，求下列各代数式的值．
(1)；
(2)；
23．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根．
(2)若是方程的两个实数根，且，求的值．
24．已知关于的一元二次方程，
求证：方程总有两个不相等的实数根；
设方程两实数根分别为，，且满足，求的值；
(3)若方程两根互为相反数，求这两个根．
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程根的情况可得，，代入求解即可．
【详解】∵一元二次方程的两个根分别为
∴，
∴
故答案为：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的问题，掌握一元二次方程根与系数的关系、韦达定理是解题的关键．
2．C
【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2＋（a2−3a）x＋a＝0的两个实数根互为倒数，
∴x1•x2＝a＝1，
则a的值为1．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系定理，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b2−4ac≥0）的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝−，x1•x2＝．
3．A
【详解】试题分析：这里，则．故选A．
考点：根与系数的关系．
4．D
【分析】利用根与系数的关系x1＋x2＝﹣，求出各项中两个方程的和，即可解答本题.
【详解】A、两实数根之和为﹣2，A项错误；B、两实数根之和为5，B项错误；C、两实数根之和为5，C项错误；D、两实数根之和为﹣5，D项正确.故选D.
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，即 x1＋x2＝﹣、x1x2＝，熟练掌握这个知识是解答此类题目的关键.
5．A
【分析】根据题意，，可以看作一元二次方程的两根，则，，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，可以看作一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的定义以及一元二次方程两根之和为，两根之积为．
6．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．B
【分析】直接利用根与系数的关系得出两直角边长的乘积为4，再乘即是三角形的面积．
【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，是方程的两根，
则，
所以三角形的面积为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系：一元二次方程如果方程的两根为，则．
8．C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，再将已知解代入求出另一解即可．
【详解】解：是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为n，
∵两根的和为：，
∴，解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次一元二次方程的解，数量掌握根与系数的关系式解决本题的关键．
9．B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案．
【详解】∵是一元二次方程的两个根，
∴=，
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握（a≠0）的两个根满足：，是解题的关键．
10．D
【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得：，，然后把原式变形为，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、灵活应用整体的数学思想是解题关键．
11．D
【分析】本题主要考査了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键．
根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
故选：D．
12．B
【详解】由韦达定理得
ax2+bx+c=0(a,
,
由题意得,
所以，b=0.所以选B.
13．2
【分析】利用根的定义、根与系数的关系，进行变形求解．
【详解】由题意知：，，
，
原式，
故填：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握基础知识，并能够将代数式灵活变形是关键．
14． 1 －3
【详解】∵方程的两根是x1、x2，
∴x1＋x2＝ ， x1x2＝．
故答案为（1）1；（2）-3.
点睛：熟记“一元二次方程根与系数的关系”是解决本题的关键：若一元二次方程的两根的是，则.
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再根据代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根分别为，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】将代入方程，可得的值，根据根与系数的关系可得，再代入代数式求解即可．
【详解】∵m，n是方程的两根，
∴ ，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的定义及特点，根与系数的关系，整体代入法求代数式的值．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
18．(1)四，
(2)，
(3)，
(4)
【分析】（1）观察嘉淇的做法，可知开平方时出现错误，解答即可；
（2）根据求根公式，分别令两个根相加和相乘，化简即可；
（3）根据关于x的一元二次方程两根分别为，将（2）中结论代入计算即可；
（4）根据一元二次方程得出和的值，将变形为，代入计算即可．
【详解】（1）解：，…第四步
当时，
…第五步
方程的求根公式是，
∴第四步出现错误，
故答案为：四，；
（2）
＝
＝
＝；
＝
＝
＝
＝
＝；
故答案为：，；
（3）关于x的一元二次方程两根分别为，
，
，
；
，
；
故答案为：，；
（4）方程的两根为，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法推导一元二次方程的求根公式以及一元二次方程根与系数的关系的推导及应用，熟练掌握一元二次方程的求根公式的推导过程是解本题的关键．
19．(1)
(2)图见解析，15或
(3)
【分析】（1）由可得平分，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，根据含角的直角三角形性质及勾股定理得出的长，进而根据三角形面积公式可得答案；
（2）①当点都在线段上，根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可得出，根据三角形面积公式即可得答案；②当点在点两侧，过点作，且使得，连接，，过点作，利用可证明，，得出，，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得答案；同理可得当点在点两侧时的长，综上即可得答案；
（3）把绕点旋转得，连接，过点作于，同（2）证明，，得出，，根据含角的直角三角形性质及勾股定理得出、的长即可得答案．
【详解】（1）∵，，，点与点重合，，
∴，
∴，，，
∴，，
∴．

（2）∵和的长度分别是方程的两根，
∴由根与系数的关系可知：
如图1：当点都在线段上时，过点作，在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．

如图2：当点在点两侧时，过点作，且使得，连接，，过点作，则同理可得，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
设，则，，，，
在中，，
∴
∴，（舍）
∴，
∴，
同理，当点在点两侧时，．
综上所述：的面积为15或．

（3）∵，，
∴是等边三角形，，
把绕点旋转得，连接，过点作于，

∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，若一元二次方程的两个根为，，那么，，；30°角所对的直角边等于斜边的一半；全等三角形的判定方法有：、、、、等，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
20．(1)此方程为“限根方程”，理由见解析
(2)2
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．
（1）解该一元二次方程，得出，，再根据“限根方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，，再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可.
【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：
，
解得：，，
∵，
∴方程为“限根方程”；
（2）由根与系数的关系，得，，
∵，
∴,
∴或；
当时，，，
∴,
∴符合题意；
当时，，
∴,
∴（不符合题意，舍去），
∴k的值为2.
21．8
【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，以及一元二方程的解，据此代入数值进行计算，即可作答．
【详解】
解：∵m，n是方程的两根，
∴，
∴
∴
22．(1)3
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可．若一元二次方程的两个根为，则．
（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解．
【详解】（1）解：∵、是方程的两个实数根，
∴，．
（2）解：
23．(1)证明见解析
(2)的值为或
【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案；
（2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系得，
，
，解得，
即的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键．
24．（1）详见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，证明判别式的值恒大于0即可；
（2）依据根与系数的关系可以得到关于k的方程，从而求得k的值；
（3）方程两根互为相反数，即和是0，由根与系数的关系可得-k=0，即可求得k的值和方程的两根．
【详解】证明：由题意知
不论取何值，恒大于
所以方程总有两个不相等的实数根；
解：由题意知
又
解得；
(3)解：若方程两根互为相反数
则即
所以原方程可化为：
解得．
【点睛】本题是对一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系的考查，考查的内容比较广泛．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
A
C
B
C
B
D
题号
11
12








答案
D
B