初中数学苏科版九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系优秀课后作业题

2021-2022学年九年级数学上册（苏科版）

1.3一元二次方程的根与系数的关系-同步练习

时间：60分钟

一、单选题

1．已知方程的两个根是、，那么这两个根与方程中系数的关系是（    ）

A． B． C． D．

2．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ）

A．3 B．1 C．3或 D．或1

3．若、是一元二次方程的两个根，且，那么这个一元二次方程是（    ）

A． B． C． D．

4．若、是关于x的一元二次方程的两个实数根，，则必有（    ）

A． B． C． D．

5．已知方程，下列判断正确的是（    ）

A．方程两实数根的和等于3 B．方程两实数根的积等于

C．方程有两个不相等的实数根 D．方程无实数根

6．是方程的两根，的值是（    ）

A．2017 B．2018 C．2019 D．2020

7．若a，b是方程的两根，则（    ）

A．2016 B．2017 C．2014 D．2019

8．若关于x的方程有一个根为，则另一根为（    ）

A．3 B． C．2 D．1

二、填空题

9．如果、是方程的两个根，那么__________，__________．

10．一元二次方程有一个根为，二次项系数为1，且一次项系数和常数项都是非0的有理数，这个方程可以是_________．

11．方程的两个根是、，且，则__________．

12．已知3是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是______.

13．等腰△ABC中,BC=8,AB、AC的长是关于x的方程x2−10x+m=0的两根，则m=__

14．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．

15．已知，是方程的两个实数根，则的值等于________．

16．设、是方程的两个不相等的实数根，则的值为______.

三、解答题

17．求下列方程两个根的和与积：

（1）；      （2）；

（3）；      （4）．

18．已知方程的两个根互为相反数，请你求出方程的两个根．

19．.设、是方程的两个实根，当为何值时，有最小值？并求这个最小值.

20．已知、是方程的两个实根，是否存在常数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

21．已知关于x的方程2x2+kx-1=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根．

(2)若方程的一个根是-1，求方程的另一个根．

22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．

（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．

23．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若，求k的值．

24．设是一元二次方程的两根，

（1）试推导；

（2）求代数式的值．

参考答案

1．D

【解析】解：∵方程的两个根是、，

则，

∴，，

故选：D．

2．A

【解析】解：由根与系数的关系得： ，，

∴

即 ，解得：或，

而当时，原方程△，无实数根，不符合题意，应舍去，

∴ 的值为3．

故选A．

3．D

【解析】解：设这个一元二次方程为，

∵、是一元二次方程的两个根，且，，

∴，，

∴，，

∴这个一元二次方程为，

故选D．

4．C

【解析】解：∵

∵

∵x1，x2是一元二次方程的两个实数根，

∴x1+x2=m-1，x1•x2=n-2，

∵，

∴，，

∴x1+x2=m-1＜0，x2＜0，

∴m＜1，x1•x2＞0，

∴n-2＞0，

∴n＞2，

故选：C

5．D

【解析】解：∵一元二次方程为，

∴，，，

∴，

∴此方程无实数根，

故选D．

6．D

【解析】解：∵m，n是方程的两根，代入得：

∴

∴代入得：

∴

=

将代入得：

=

根据韦达定理：

故答案选：D

7．C

【解析】解：a，b是方程的两根，

，

，

故选：C．

8．A

【解析】解：设方程的另一个根为x=m，
则，
解得：，
∴方程的另一个根为x=3，
故选：A．

9．       

【解析】解：∵、是方程的两个根，

∴；．

故答案为：；．

10．

【解析】根据题意，方程的另一个根为，

∴这个方程可以是：，

即：，

故答案是：，

11．1

【解析】解：的两个根是、，

∴，，

，

，

∴，

解得：，

故答案为：1．

12．2

【解析】方程另一根为x，由根与系数的关系得：x+3=5，解得：x=2．

故答案为2．

13．25或16.

【解析】在方程x2−10x+m=0中,x1+x2=− =10，

当这两边是等腰三角形的腰时,有x1=x2=5，

∴x1x2=25=m，

当有两边的长都为8时,有8+x2=10，

∴x2=2，

m=x1x2=2×8=16，

∴m=25或16.

故答案为25或16.

14．2028

【解析】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，

则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2

＝x12﹣4x1+2（x1+x2）

＝2020+2×4

＝2020+8

＝2028，

故答案为：2028．

15．10

【解析】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，

∴x1+x2=−6，x1⋅x2=3．

∴．

故答案为：10．

16．2018

【解析】∵设a，b是方程x2+x−2019=0的两个实数根，

∴a+b=−1，a2+a−2019=0，

∴a2+a=2019，

∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2019+(−1)=2018，

故答案为：2018．

17．（1），；（2），；（3），；（4），

【解析】解：（1）设方程的两根为，，则， ．

（2）设方程的两根为，，则，．

（3）原方程化为，设方程的两根为，，则，． 

（4）原方程化为，设方程的两根为，，则，．

18．

【解析】解：设方程的两根为、，

∵方程的两个根互为相反数，

∴，

∴，

∴原方程为，即，

∴，．

19．当时，最小值为

【解析】对于方程，、是此方程的两个实根，则，.

由题意知，则.

又由根与系数关系，得.

∵.

∴.

从而，.

于是，当时，取得最小值，且最小值为.

20．不存在．理由见解析

【解析】解：不存在．

∵、是方程的两个实根，

∴，即，

解得，；

由题意可知，，

∵，

∴，解得，经检验，是原方程的解，

∵，

∴不存在常数k，使成立．

21．(1)证明见解析；(2).

【解析】解：(1)∵△=k2+8＞0，

∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根；

(2)设方程的另一个根为x1，

则，

解得：，

∴方程的另一个根为.

22．（1）-2；（2）2．

【解析】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，

解得m≥﹣，

所以m的最小整数值为﹣2；

（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，

∵（x1﹣x2）2+m2＝21，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，

∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，

整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，

∵m≥﹣，

∴m的值为2．

23．(1) ；(2)

【解析】解：(1)由题意可知，，

整理得：，

解得：，

∴的取值范围是：．

故答案为：．

(2)由题意得：，

由韦达定理可知：，，

故有：，

整理得：，

解得：，

又由(1)中可知，

∴的值为．

故答案为：．

24．（1）推导见解析；（2）0．

【解析】解：（1）∵是一元二次方程的两根，

∴ ，，

∴；

；

（2）∵是一元二次方程的两根，

∴，，

．