湖北省黄石市下陆区2025-2026学年七年级下学期期末检测 数学试题（含解析）

这是一份湖北省黄石市下陆区2025-2026学年七年级下学期期末检测 数学试题（含解析）试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在这四个数中，比小的是（ ）
A. B. C. 0D.
2. 如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 互补的角是邻补角
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
4. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 我县今年七年级共有12000名学生，为了解这12000名学生的身高状况．从中随机抽取600名学生进行统计分析，以下说法：①这种调查方式是抽样调查；②12000名学生是总体；③600名学生是总体的一个样本；④每名学生的身高是个体；⑤样本容量是600．其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
6. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
7. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 如图，把图①中的经过一定变换得到图②中的，如果图①中上点D的坐标为，那么这个点在图②中的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9. 健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若， ，则的度数是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为______．
12. 若方程组的解满足，则a的值为_______．
13. 如图，三角形向右平移得到三角形，如果四边形的周长是，那么三角形的周长是_____．
14. 已知一个50个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是8、6、11、7，第五组的频率是，那么第六组的频数是______．
15. 关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是______．
三、解答题
16. （1）计算：；
（2）解方程组：
17. 取哪些整数值时，不等式与都成立？
18. 一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
（1）求a和x的值；
（2）若的立方根是2，求的算术平方根．
19. 已知点在平面直角坐标系中．
（1）若点在轴上，求的值；
（2）若点在第四象限且到两坐标轴的距离之和为4，求的值．
20. 如图，，点E在线段上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，求的度数．
21. 近年来，“碳达峰、碳中和”话题持续升温，是环保领域的技术前沿．某校准备调查八年级学生对“碳达峰、碳中和”知识的了解程度．
（1）在确定调查方式时，三个同学设计了以下三种方案：
甲：调查八年级部分女生；
乙：调查八年级部分男生；
丙：到八年级每个班去随机调查一定数量的学生．
则，其中最具代表性的一个方案是______（填“甲”“乙”或“丙”）；
（2）老师采用了最具代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图（如图1和图2），请根据图中信息，解答下列问题；
图1 图2
①本次调查的学生人数为______人；
②请通过计算将两幅统计图补充完整；
③在扇形统计图中，求“比较了解”所在扇形的圆心角的度数．
22. 清溪中学为艺术节获奖选手购买小笔记本、大笔记本、钢笔三种奖品，其中钢笔每支元，每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元．
（1）求小笔记本、大笔记本的单价分别是多少元？
（2）若学校准备购进小笔记本和大笔记本共本，费用不超过元，则最多可购进大笔记本多少本？
（3）若学校准备同时购进三种奖品（每种奖品都必须购买），且大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费元，若要使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
23. 直线与相互垂直，垂足为点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、点B均不与点O重合．
（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点D．
①若，则 度（直接写出结果，不需说理）；
②点A、B在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．
24. 如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）．
（1）连接，，，，求的度数．
（2）若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由．
数学
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 在这四个数中，比小的是（ ）
A. B. C. 0D.
答案：D
解析：
思路：本题考查实数比较大小，根据题意，得到即可确定答案．掌握实数比较大小的方法是解决问题的关键．
解答过程：解：，
在这四个数中，比小的是，
故选：D．
2. 如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据垂直的定义可得，再根据平角的定义，即可求解．
解答过程：解：因为，
所以，
因为，
所以．
3. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 互补的角是邻补角
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
答案：D
解析：
思路：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂直与平行线的判定方法，邻补角的定义等知识，难度不大．
利用平行线的性质、垂直与平行线的判定方法，邻补角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解答过程：解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、互补的两个角不一定是邻补角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
4. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了数轴，不等式的性质，掌握以上性质是解题的关键．
由图可知，，根据不等式的性质判断即可．
解答过程：解：由图可知，，则有：
A、，原不等式不成立，A不符合题意；
B、，原不等式不成立，B不符合题意；
C、，原不等式成立，C符合题意，正确；
D、，原不等式不成立，D不符合题意．
故选：C．
5. 我县今年七年级共有12000名学生，为了解这12000名学生的身高状况．从中随机抽取600名学生进行统计分析，以下说法：①这种调查方式是抽样调查；②12000名学生是总体；③600名学生是总体的一个样本；④每名学生的身高是个体；⑤样本容量是600．其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
答案：B
解析：
思路：本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解答过程：解：为了解这12000名学生的身高状况．从中随机抽取600名学生进行统计分析．
①这种调查方式是抽样调查，说法正确；
②12000名学生的身高情况是总体，原说法错误；
③600名学生的身高情况是总体的一个样本，原说法错误；
④每名学生的身高是个体，说法正确；
⑤样本容量是600，原说法正确；
所以正确的判断有①④⑤，共3个．
故选：B．
6. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可列出方程组．
解答过程：根据每3人坐一辆车，则有2辆空车，可列方程，
根据每2人坐一辆车，则有9人需要步行，可列方程，
所以可列方程组为．
故选：A．
7. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：D
解析：
思路：本题考查二元一次方程的解，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
将代入，得到，即可解答．
解答过程：解：将代入，得
，
解得．
故选D．
8. 如图，把图①中的经过一定变换得到图②中的，如果图①中上点D的坐标为，那么这个点在图②中的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了已知图形的平移，求点的坐标，解题关键是确定平移的方向与距离．
根据平移的方向与距离，结合点的坐标求出的坐标．
解答过程：解：∵把图①中的经过一定变换得到图②中的，
∴点的对应点为，先向右平移4个单位，再向上平移3个单位，
∵图①中上点的坐标为，
∴这个点在图②中的对应点的坐标为，
故选： C．
9. 健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若， ，则的度数是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用和得到同旁内角互补，过点作得出，结合 得出，即可求解．
解答过程：解：，
，即 ，
，
，
，，
，
如图，过点作
∴
∵
∴
∴
∴
∵ ，
，
．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先求出前几个点的坐标，找出规律，再根据规律解答．
解答过程：解：观察发现： ， ， ， ， ， ， ， ， ……，
∴ ， ， ， （为自然数），
，
∴对应的形式，其中，
∴ ，即．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为______．
答案：##75度
解析：
思路：本题考查三角形的外角性质、三角板有关的角度计算，如图，利用三角形的外角求得即可求解．
解答过程：解：如图，，，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 若方程组的解满足，则a的值为_______．
答案：3
解析：
思路：本题考查解二元一次方程组、解一元一次方程，先将两个方程相加得到，再根据已知得到，进而解方程可得答案．
解答过程：解：对于方程组，
由得，则，
∵方程组的解满足，
∴，解得，
故答案为：3．
13. 如图，三角形向右平移得到三角形，如果四边形的周长是，那么三角形的周长是_____．
答案：##16厘米
解析：
思路：根据图形平移的性质求解即可．
解答过程：解：∵四边形的周长是，
∴，
根据平移的性质可知，，，
∴，即，
∴三角形的周长是 ．
14. 已知一个50个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是8、6、11、7，第五组的频率是，那么第六组的频数是______．
答案：8
解析：
思路：本题主要考查了对频率、频数灵活运用，注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1，比较简单．首先根据频率频数总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算．
解答过程：解：根据题意得：第一组到第四组的频率和是：
，
又∵第五组的频率是，
∴第六组的频率为，
∴第六组的频数为：．
故答案为：8．
15. 关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：先解不等式组，再根据仅有４个整数解，得出关于的不等式，求解即可．
解答过程：解:
解得：，
关于的不等式组的整数解仅有4个，
，
解得：，
故答案为：．
方法提示：本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
三、解答题
16. （1）计算：；
（2）解方程组：
答案：（1）；（2）
解析：
思路：此题考查解二元一次方程组，以及实数的运算，解决本题的关键是正确应用解方程组时的消元的思想及实数的运算法则．
（1）原式先计算立方根，绝对值，再加减即可求解；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
解答过程：解：（1）原式
．
（2）由①得，，
将③代入②中，得，
解得，
将代入③中，，
所以这个方程组的解为．
17. 取哪些整数值时，不等式与都成立？
答案：可取的整数值为：，．
解析：
思路：本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可，能求出不等式组的解集是解题的关键．
解答过程：解：联立不等式组，得，
解不等式得，
解不等式由得，
∴不等式组的解集为，
∴可取的整数值为：，．
18. 一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
（1）求a和x的值；
（2）若的立方根是2，求的算术平方根．
答案：（1），
（2）5
解析：
思路：本题考查平方根，算术平方根，立方根，理解平方根，算术平方根，立方根的定义是正确解答的前提．
（1）根据平方根的定义即可求出答案；
（2）求出的值，再求出b的值，最后求出的算术平方根．．
（1）一个正数的两个不同的平方根分别是和
，
解得，
，，
；
（2）的立方根是2，
，
，
，
，
，
的算术平方根是．
19. 已知点在平面直角坐标系中．
（1）若点在轴上，求的值；
（2）若点在第四象限且到两坐标轴的距离之和为4，求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：本题主要考查了点到坐标轴的距离，在y轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键．
（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求解即可；
（2）坐标系中点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，结合第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负可得方程，解方程即可得到答案．
（1）解：∵点在轴上，
∴，
∴；
（2）解：∵点在第四象限且到两坐标轴的距离之和为4，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，，点E在线段上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，求的度数．
答案：（1）
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解析：
思路：本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据两直线平行，同旁内角互补，得，因为，故，即可作答．
（2）先由，得，再结合平分，故，因为，所以，即可作答．
（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
21. 近年来，“碳达峰、碳中和”话题持续升温，是环保领域的技术前沿．某校准备调查八年级学生对“碳达峰、碳中和”知识的了解程度．
（1）在确定调查方式时，三个同学设计了以下三种方案：
甲：调查八年级部分女生；
乙：调查八年级部分男生；
丙：到八年级每个班去随机调查一定数量的学生．
则，其中最具代表性的一个方案是______（填“甲”“乙”或“丙”）；
（2）老师采用了最具代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图（如图1和图2），请根据图中信息，解答下列问题；
图1 图2
①本次调查的学生人数为______人；
②请通过计算将两幅统计图补充完整；
③在扇形统计图中，求“比较了解”所在扇形的圆心角的度数．
答案：（1）丙 （2）①，②见详解，③
解析：
思路：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．
（1）由于学生总数比较多，采用抽样调查方式，甲方案、乙方案只涉及到男生和女生一个方面，过于片面，丙方案的抽样具有代表性，则应选丙方案；
（2）①根据不了解为5人，所占百分比为，得出调查的总人数；②用总人数减去不了解和比较了解的人数得出了解一点的人数，问题随之得解；③用乘以“比较了解”的百分比可得．
（1）甲方案、乙方案只涉及到男生和女生一个方面，过于片面，丙方案的抽样具有代表性，则应选丙方案，
故答案为：丙；
（2）①根据题意得：样本总量（人），
故答案为：；
②了解一点的人数是：（人），
了解一点的人数所占的百分比是：；
比较了解的所占的百分是：，
补全两个统计图如图所示：
③ “比较了解”所在扇形的圆心角的度数是：，
答：“比较了解”所在扇形的圆心角的度数是．
22. 清溪中学为艺术节获奖选手购买小笔记本、大笔记本、钢笔三种奖品，其中钢笔每支元，每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元．
（1）求小笔记本、大笔记本的单价分别是多少元？
（2）若学校准备购进小笔记本和大笔记本共本，费用不超过元，则最多可购进大笔记本多少本？
（3）若学校准备同时购进三种奖品（每种奖品都必须购买），且大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费元，若要使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
答案：（1）5元，7元
（2）本
（3）小笔记本本，钢笔5支，大笔记本本
解析：
思路：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式．
（1）设小笔记本的单价为元，大笔记本的单价为元，根据“每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元”可列出关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进大笔记本m本，根据题意，则，解关于的一元一次不等式即可；
（3）设购买小笔记本a本，钢笔支，则大笔记本本，根据题意得：，由，b均为正整数，得，因此只能取5，，，分别求出这三种情况下购买奖品的总数，比较大小后，即可得出结论．
（1）解：设小笔记本的单价为元，大笔记本的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，符合题意，
答：小笔记本的单价为5元，大笔记本的单价为7元．
（2）解：设购进大笔记本m本，则购进小笔记本本，
则，
解得：，
的最大值为，
答：最多可购进大笔记本本．
（3）解：设购买小笔记本a本，钢笔支，则大笔记本本，
根据题意得：，
，
，b均为正整数，
，
只能取5，，．
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则．
，
应购买小笔记本本，钢笔5支，大笔记本本．
23. 直线与相互垂直，垂足为点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、点B均不与点O重合．
（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点D．
①若，则 度（直接写出结果，不需说理）；
②点A、B在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．
答案：（1）；
（2）①45；②不变，；
（3）或．
解析：
思路：（1）根据三角形内角和定理，得到，再根据角平分线的定义，得到，，即可求出的度数；
（2）①根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义，得到，，即可求出的度数；
②根据三角形外角的性质和角平分线的定义，得到，为定值，据此即可得到答案；
（3）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得到，，分4种情况讨论：①；②；③；④，分别求出的度数，即可得到的度数．
（1）解：如图1中，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
；
（2）解：如图2中，
①，，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：45；
②不变，理由如下：
，
点A、B在运动的过程中，，不发生变化；
（3）解：如图3中，
的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，
，，，
，
，
①当时，则，
；
②当时，则，
，
（不合题意舍弃）；
③当时，则，
，
；
④当时，则，，
（不合题意舍弃），
综上所述，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，的度数为或．
方法提示：本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，运用相关知识找出各角度之间的数量关系是解题关键．
24. 如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）．
（1）连接，，，，求的度数．
（2）若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由．
答案：（1）
（2）存在，点坐标为或
（3）的值不会变化，，理由见解析
解析：
思路：（1）过点F作，根据平行线的性质求解即可；
（2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可；
（3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解．
（1）解：过点F作，
，
，，
，
，
，
．
（2）解：存在，
∵，
∴，
∵，
∴，
当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴，
设，
，
，
解得，则；
当点P在y轴负半轴上时，如图，
，
，
解得，则；
综上，点的坐标为或；
（3）解：的值不会变化，，理由如下：
设，，，则，，
始终平分，
，
，
，
，即，
由（1）可知，，
，即，
，
，
，
，
∴的值不会变化，．