2025-2026学年辽宁省沈阳市第二十中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年辽宁省沈阳市第二十中学高一（下）期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若tanα=3，则sin2α=（ ）
A. B. -C. D.
2.若向量，满足，则=（ ）
A. B. C. D.
3.已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若acsB-bcsA=c，则 的值为（ ）
A. 2B. -2C. 4D. -4
5.已知，若f（x）≤f（θ）恒成立，则sinθ=（ ）
A. B. C. D.
6.已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（ ）
A. B. C. [1，3]D.
7.已知函数f（x）=|sinx-csx|+sin2x,则下列选项正确的是（ ）
A. 是函数f（x）的一个周期B. 函数f（x）的最小值为
C. 函数f（x）的最大值为D. 函数f（x）在上递减
8.已知函数将函数图像向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍得到g（x），若g（x）在区间上恰有2个零点，则ω的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数f（x）的定义域为
B. 函数f（x）的值域为R
C. 函数f（x）的最小正周期为
D. 函数|f（x）|的单调递减区间是，k∈Z
10.如图，△ABC为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最大值为5
D. 若，则x+y的最大值为
11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的的是（ ）
A. 若，则△ABC是锐角三角形
B. 在△ABC中，A=45°，a=1，若三角形有唯一解，则0＜b≤1或
C. 若sin2A+sin2B+cs2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，且sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.=______．
13.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C=，c=2，D为BC中点，csB=，求AD的长度为______.
14.已知函数f（x）=2[sinx]+3[csx]，其中[x]表示不超过x的最大整数.如：[1]=1，[0.5]=0，[-0.5]=-1，以下三个结论：
①；
②集合{y∈R|y=f（x），x∈R}的元素个数为9；
③f（x）＞x+a对任意x∈[0，2π]都成立，则实数a的取值范围是，
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜π），点是f（x）图象的一个对称中心.
（1）求f（x）；
（2）设函数，求g（x）的最大值和单调递增区间.
16.(本小题15分)
已知P是边长为2的等边△ABC所在平面内一点，M是BC的中点，D是AM的中点.
（Ⅰ）当时，用，表示，，并求的值；
（Ⅱ）若时，求的取值范围.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=bc.
（1）求证：A=2B；
（2）若△ABC是锐角三角形，求的取值范围.
18.(本小题17分)
已知向量，，函数.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若时，方程f2（x）-mf（x）-1=0有解，求实数m的取值范围；
（3）若对任意x∈[m,n]恒成立，求n-m的最大值.
19.(本小题17分)
如图，设α∈（0，π），且α≠，当∠xOy=α时，定义平面坐标系为α的斜坐标系.在α的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox,Oy正方向同向的单位向量，若向量=x+y，记向量=（x,y），在α=的斜坐标系中.
（1）若向量=（3，2），求||.
（2）已知向量=（x1，y1），=（x2，y2），证明：•=x1x2+y1y2+.
（3）若向量，的斜坐标分别为和（1，-1），x∈R，设函数f（x）=•，g（x）=.
①证明：h（x）有且只有一个零点x0；
②比较与的大小，并说明理由.（参考数据：e=2.71828…，ln2=0.69314…）
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】-4
13.【答案】
14.【答案】①③
15.【答案】 ；
16.【答案】解：（Ⅰ）因为P是边长为2的等边△ABC所在平面内一点，M是BC的中点，D是AM的中点，且，

所以
=，
，
所以
=
=．
（Ⅱ）如图以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，

设P（csθ，sinθ），则，A（0，0），，
所以，，
所以
=，
因为，所以，
即．
17.【答案】证明如下，
根据余弦定理得，
因为a2-b2=bc，所以，
根据正弦定理，得c=2RsinC，a=2RsinA，b=2RsinB，
代入上式得，
由于A+B+C=π，所以C=π-A-B，sinC=sin（A+B），
代入得2sinAcsB=sinB+sin（A+B），
展开得sin（A+B）=sinAcsB+csAsinB，
整理得sinAcsB-csAsinB=sinB，
所以sin（A-B）=sinB．
由于A，B∈（0，π），因此A-B∈（-π，π），因此有两种情况：
A-B=B，所以A=2B；A-B=π-B，所以A=π（舍去），
因此A=2B

18.【答案】π
19.【答案】 证明见解答 ①证明见解答；②，理由见解答