2025-2026学年辽宁省沈阳市第二中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年辽宁省沈阳市第二中学高一（下）期末数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）
A. 复数z的虚部是B. |z|=1
C. 复数z的共轭复数是D. 复数z对应的点位于第四象限
2.已知α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A. 若m∥n,n⊂α，则m∥αB. 若m∥α，m∥β，则α∥β
C. 若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥mD. 若m⊂α，n⊥α，则m⊥n
3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AA1且AB⊥BC，则直线B1C与A1B所成的角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知非零向量，，那么“、的夹角为钝角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知空间中三点A（-1，0，0），B（0，1，-1），C（-2，-1，2），则点C到直线AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l,点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若AC=CD=BD=3，二面角A-l-B的大小为120°，则AB=（ ）
A. 3B. C. D. 6
7.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,对于下列判断，其中错误的是（ ）
A. 若A＞B，则sinA＞sinB
B. 若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
C. 若b=8，c=10，，则符合条件的△ABC不存在
D. 若a-ccsB=acsC，则△ABC为等腰三角形
8.已知，，，则（ ）
A. c＞b＞aB. a＞b＞cC. a＞c＞bD. c＞a＞b
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，则对于下列结论，其中错误的是（ ）
A. f（x）的最小正周期为2πB. f（x）在区间上单调
C. f（x）的图象关于直线对称D. f（x）的图象关于点对称
10.在△ABC中，AB=3，AC=1，，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则（ ）
A. B.
C. D.
11.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1D1，DD1的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A. B1C∥MN
B. 若P为直线CC1上的动点，则为定值
C. 点A到平面C1MN的距离为
D. 过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角α的终边过点P（-2，4），则cs2α= .
13.在△ABC中，D在线段BC上，BD=2，CD=3，，AD⊥BC，则线段AD的长是 .
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是______・
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1，D，E分别为AB，AC的中点.
（1）求证：BC1∥平面A1DE；
（2）若三棱锥A1-ADE的体积为1，求三棱台ABC-A1B1C1的体积.
16.(本小题15分)
已知．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求满足f（x）=1且x∈[-π，π]的x的取值集合．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,，.
（1）求角B；
（2）若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；
（3）若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且.
（1）证明：AM⊥PN；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面AMN所成角θ最小？
（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角P-ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A-PC-B的大小为θ，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：csγ=csαcsβ+sinαsinβcsθ.
（1）如图2，在三棱锥A-BCD中，△ABD为等腰直角三角形，∠BAD=90°，△BCD为等边三角形，∠ABC=90°，求二面角A-BD-C平面角的正弦值；
（2）如图3，在三棱锥A-BCD中，AH⊥平面BCD，AE⊥BD，连接HE，AB=4，∠ABD=45°，∠CBD=60°，∠ABC=90°，BC+BD=6，求三棱锥A-BCD体积的最大值；
（3）当时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】-
13.【答案】6
14.【答案】
15.【答案】解：（1）证明：连接AC1交A1E于点F，连接C1E，DF，
因为ABC-A1B1C1为三棱台，AB=2A1B1，所以AC=2A1C1，
又E为AC的中点，所以AE∥A1C1，AE=A1C1
所以四边形AA1C1E为平行四边形，
所以F为AC1的中点，又D为AB的中点，所以DF∥BC1，
又DF⊂平面A1DE，BC1⊄平面A1DE，
所以BC1∥平面A1DE．
（2）设△A1B1C1的面积为S，则由题意知△ABC的面积为4S，△ADE的面积为S，
设三棱台ABC-A1B1C1的高为h,则，
所以．
16.【答案】解：（1）对于函数，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
可得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
（2）x∈[0，]，2x+∈[，]，当2x=，即x=时，f（x）取得最大值4，
故有，∴a=1．
（3）由（2）可得，可得，
则2x+=+2kπ，k∈Z或2x+=π+2kπ，k∈Z，
即x=+kπ，k∈Z或x=+kπ，k∈Z，又x∈[-π，π]，
可解得x=-，-，，，所以x的取值集合为．
17.【答案】解：（1）因为，
由正弦定理得：
因为sinA=，
所以，
又C∈（0，π），所以sinC≠0，所以，
又B∈（0，π），所以．
（2）因为，，所以由余弦定理得3=c2+a2-ac=（c+a）2-3ac,
又a+c=2，解得，
由S△ABC=S△ABD+S△BDC，得，
即，则，所以．
（3）因为△ABC为锐角三角形，所以，解得，
因为E是AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以，即边AC上的中线BE的取值范围为．
18.【答案】解：（1）因为AB=AC=2，，则AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，
如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，

则A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0），
可得，，
即P（2λ，0，2），，
又因为，可得，
所以无论λ取何值，AM⊥PN．
（2）由（1）可知：，
设平面AMN的一个法向量为，
则，即，
取y=1，则x=-1，z=-2，可得，
可得，
令t=λ+2，t∈[2，3]，则，
所以当t=2，即λ=0时，θ取得最小值，此时．
（3）假设存在，易知平面ABC的一个法向量为，
因为，，
设是平面PMN的一个法向量，
则，即，
令a=3，可得c=2-2λ，b=1+2λ，可得，
则，
化简得8λ2-22λ+5=0，解得或，
因为λ∈[0，1]，可得，
所以存在点P使平面PMN与平面ABC所成二面角正弦值为，点P为A1B1上靠近A1的四等分点．
19.【答案】解：（1）取BD的中点P，连接PA，PC，如图所示，
则BD⊥PA，BD⊥PC，于是∠APC是二面角A-BD-C的平面角，
设AB=1，则
因为∠ABC=90°，所以，
由余弦定理得，
故．
（2）二面角A-BD-C的平面角的大小为θ，
利用三面角余弦定理得cs90°=cs45°cs60°+sin45°sin60°csθ，
计算得，
于是，
由于AB=4，则，
，
即当BC=BD=3时，三棱锥A-BCD体积的最大值为3．
（3）证明：如图过射线PC上一点Q在面PAC作QM⊥PC交PA于点M，
在面PBC内作QN⊥PC交PB于点N，连接MN，
则∠MQN是二面角A-PC-B的平面角，
在△MNP中，由余弦定理得：MN2=MP2+NP2-2MPNP，
在△MNQ中，由余弦定理得：MN2=MQ2+NQ2-2MQNQ，
两式相减得：MP2-MQ2+NP2-NQ2-2MPNP+2MQNQ=0，
则2MPNP=2PQ2+2MQNQ，
两边同除以2MP•NP，得：
，
从而得证．