湖南省永州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

这是一份湖南省永州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省永州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若复数z满足（其中为虚数单位），则（    ）
A． B． C． D．
2．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ）
A． B． C． D．
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ）
A． B．2 C． D．4
4．袋中有大小质地完全相同的5个球，其中红球3个，黄球2个，从袋中任意取2个球，则取出的2个球都是红球的概率为（    ）
A． B． C． D．
5．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
6．图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆台拼接而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6，中间圆的直径是10，上底面圆的直径是4，上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是，若不考虑罐壁的厚度，则该汝窑双耳罐的容积为（    ）
  
A． B． C． D．
7．已知，，均为单位向量，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
8．在中，BD平分，且BD交AC于D，若，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
9．分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现点数为奇数”，事件“第二枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C．事件A与B互斥 D．事件A与B相互独立

二、多选题
10．下列说法中正确的是（    ）
A．若复数，则复数在复平面内所对应的点在第四象限
B．若两个复数的积是实数，则它们一定互为共轭复数
C．若向量，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为
D．若，且，则A，B，C三点共线
11．在直三棱柱中，点D是的中点，，，，点P为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（    ）
  
A．
B．点到平面的距离是
C．直线BC与平面所成角的正弦值是
D．线段BP长的最小值是
12．在中，，，，，，则（    ）
A．线段AN的长度为
B．
C．
D．存在点P在线段AB的延长线上，使得的最大值为

三、填空题
13．某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析．已知该学校高一学生中男生和女生的比例是，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是 ．
14．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
15．一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是 ．
16．在矩形中，，，点E，F分别为BC，AD的中点，点H为AE的中点，将沿直线AE翻折至的位置，当时，三棱锥的外接球的体积是 ．

四、解答题
17．已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若与共线，求的值．
18．锦绣潇湘·大美永州，据统计，零陵古城在今年“五一”当天吸引游客达12万人次，同比大幅增长．当地旅游主管部门为了更好的为游客服务，在景区随机发放评分调查问卷100份，并将问卷评分数据分成6组：，，，，，，绘制如图所示频率分布直方图．
  
(1)已知样本中分数在的游客为15人，求样本中分数小于80的人数，并估计第75百分位数；
(2)已知样本中男游客与女游客比例为，男游客样本的平均值为90，方差为10，女游客样本平均值为85，方差为12，由样本估计总体，求总体的方差．
参考公式：分层抽样中两组数据x，y的抽样比例是，则总样本方差，其中为总样本平均数．
19．如图，在三棱锥中，平面平面，，点O为BD的中点．
  
(1)证明：；
(2)若是边长为4的等边三角形，点E为AD中点，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
20．一位外地游客到永州市旅游，其游览阳明山、九疑山、舜皇山这3个著名景点的概率分别为0.5，0.5，0.6，且该游客是否游览哪个景点互不影响．设C表示该游客对上述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差．
(1)记“”为事件A，求的值．
(2)记“函数，在区间上单调递增”为事件B，求的值．
（函数的单调性只需判断，不要求证明）
21．如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，E是PA的中点．
  
(1)求证：平面；
(2)若，线段PC上是否存在一点F，使平面？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由．（用坐标法解答不给分）
22．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点D，P为平面内两动点，，点N是BC的中点，DN与AC相交于点M（点M异于点A，C），点O为内切圆圆心，且．
      
(1)求角A和的值；
(2)设，，求的最小值．

参考答案：
1．B
【分析】根据复数的除法，求出复数z即可.
【详解】复数z满足，
，
故选:B.
2．A
【分析】根据向量的夹角公式，即可求解.
【详解】，且，
所以.
故选：A
3．B
【分析】根据余弦定理，即可求解.
【详解】根据余弦定理可知，
,
则.
故选：B
4．C
【分析】利用古典概型公式，结合列举法，即可求解.
【详解】设3个红球为，2个黄球为，则从袋子中任取2个球包含，
，，，
共10个基本事件，
其中两个都是红球，包含，，共3个基本事件，
则取出的2个球都是红球的概率.
故选：C
5．D
【分析】根据题意，将异面直线夹角转化为与所成的角，再由余弦定理，即可得到结果.
【详解】  
如图连接，在长方体中，因为，所以直线与所成角等于与所成的角；
在中，，，由余弦定理可得，
.
故选：D
6．C
【分析】由图可知，双耳罐是由两个圆台组成，上面圆台底面半径分别为；下面圆台底面半径分别为，分别求出两个圆台的高，再利用圆台的体积公式可求得结果．
【详解】由图可知，双耳罐是由两个圆台组成，
上面圆台底面直径分别为，所以圆台底面半径分别为；
下面圆台底面直径分别为，所以圆台底面半径分别为；
又因为容器上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是，
所以上面圆台的高2，下面圆台的高是3，
故该汝窑双耳罐的体积为：,
．
故选：C．
7．D
【分析】由得出，可得出，可计算出的值，同理求得，再根据结合数量积的运算律即可得解.
【详解】由于、、均为单位向量，则，
由可得，所以，
即，所以，
由，可得，所以，
即，所以，
由，可得，所以，
即，所以，
则
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
8．D
【分析】设，得到，根据，列出方程，求得，化简，结合基本不等式，求得的最小值，即可求解.
【详解】在中，设，则，
因为，所以，且，
又因为，
所以，
整理得，所以，
由，
当且仅当，即时，取得最小值，
所以的最小值为．
故选：D.
9．AD
【分析】根据古典摡型的概率计算公式，互斥事件的定义，以及相互独立事件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】分别抛掷两枚质地均匀的骰子，其中基本事件的总数为种，
事件“第一枚出现点数为奇数”，共有种，所以，所以A正确；
由事件“第二枚出现点数为偶数”，所以，所以B不正确；
当第一枚抛出点，第二枚抛出点时，此时事件与事件同时发生，所以与不互斥，所以C不正确；
由，可得，所以事件与事件相互独立，所以D正确.
故选：AD.
10．ACD
【分析】A选项，根据复数的几何意义进行判断；
B选项，利用纯虚数可以举出反例；
C选项，根据向量的夹角公式进行计算；
D选项，根据向量的共线定理进行判断.
【详解】A选项，若，根据复数的几何意义，则复数在复平面内所对应的点为，
该点在第四象限，A选项正确；
B选项，，但并不是互为共轭复数，B选项错误；
C选项，若共线，则，解得，此时，
的夹角为，故成锐角时，，解得，C选项正确；
D选项，时，，故
，根据向量的共线定理，三点共线，D选项正确.
故选：ACD
11．ACD
【分析】由底面条件分析得，再结合直棱柱的性质可得平面，从而，选项A正确；由等体积法可求点到平面的距离，选项B错误；找到点为直线BC与平面的交点，求出和点到平面的距离，从而求出直线BC与平面所成角的正弦值是，判断选项C正确；先找到点的轨迹，从而找到BP的最小值，判断选项D.
【详解】在中，，，，
由余弦定理，，
则，，即，
又由直三棱柱，得平面，
所以，又由平面，，
可得，平面，而平面，
所以，选项A正确；
设点到平面的距离为，
中，， ，
所以，
由，即，
所以，选项B错误；
  
如图，连结，交与点，
延长交于点，点为直线BC与平面的交点，
因为，，所以为得中点，即，
又因为平面，且，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
由选项B可知为，
所以直线BC与平面所成角的正弦值是，选项C正确；
  
如图，取中点，连结，
由于，所以平面，
，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
则当时，平面，且当时，BP长的最小，
在中，，
由余弦定理可得，，
所以，
则线段BP长的最小值为，故选项D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：求线面角的常用方法：
（1）确定斜足、垂足，从而找到线面角求解;
（2）直接找到直线上一点到平面的垂线段和斜线段的长度的比值，即为线面角的正弦值；
（3）利用空间向量法.
12．BCD
【分析】首先利用基底表示，再利用余弦定理求，再结合数量积公式，即可判断AB；
首先利用余弦定理求得，再利用相似三角形，将角转化，表示为，即可判断C；
首先讨论点的位置，分三种情况讨论的大小，即可判断D.
【详解】对于A选项，，

，
，故A错误.
对于B选项，，故B正确.
对于C选项，,又由于
所以
因为，，得，得
所以，故C正确.
对于D选项，如图，过点M和点C分别作AB延长线的垂线，垂足分别为D，H
①当点P与点H重合时，MH=MB，
；
②当点P在BH的延长线上时，设,设 ，
  
则，

，
当时，等号成立，所以
故
③当点在线段上时，点在以为直径的圆外，易知
综上所述，存在点，使得的最大值为，故D正确.
故选：BCD
13．168
【分析】根据分层抽样的概念列式求解．
【详解】设抽取的学生中男生人数为a，女生人数为b，
则，且，解得a＝96，b＝72，
则被抽取的学生人数是96＋72＝168．
故答案为：168．
14．
【分析】根据投影向量公式，即可求解.
【详解】在方向上的投影向量为，
所以投影向量的坐标为.
故答案为：
15．
【分析】结合题意建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出，从而求出即可.
【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，
  
则，，即，
，即，
所以，故.
所以A，D两地距离为.
故答案为：.
16．
【分析】首先利用几何关系，找到球的球心，再根据球的半径求三棱锥外接球的体积.
【详解】因为在矩形中，，，点E，F分别为BC，AD的中点，
所以，为等腰直角三角形，
如图，由题可知点F为的外心，过点F作直线l，使l⊥平面ABCD．
又H点为的外心，过H点作⊥平面．
    
交l于O点，则点O为球心，设球的半径为，
易知，则，
在中：．
所以球的体积为．
故答案为：
17．(1)
(2)7

【分析】（1）利用向量垂直，可知，再代入数量积公式，即可求解；
（2）代入向量共线的坐标表示，即可求解.
【详解】（1）                    
                            
由，得                
即                
解得
（2）                
                
由与共线，得                
化简得                  
故
18．(1)样本中分数小于80的人数为10人，第75百分位数约为94
(2)

【分析】（1）由频率分布直方图求得分数在内的频率为，进而求得分数小于80分的人数，设第75百分位数为，得到，即可求解；
（2）根据分层抽样的平均数和方差的计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：由频率分布直方图，可得分数在内的频率为，
所以分数在内的人数为，
所以分数小于80分的人数为，
由题意可设第75百分位数为，其中，则，解得，
故样本中分数小于80的人数为10人，第75百分位数约为.
（2）解：由已知可得总样本平均值为，
又由
，
所以用样本估计总体，总体的方差约为.
19．(1)证明见解析
(2)8

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证明AO⊥平面BCD，进而得出结论；
（2）过点E作EF∥AO交BD于点F，过点F作FM⊥BC，则EF⊥平面BCD，进而得BC⊥平面EFM，可知二面角的平面角为，且，为直角三角形，求出，利用锥体体积公式可得解.
【详解】（1）AB＝AD，点O为BD中点，AO⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD,平面ABD，
AO⊥平面BCD，
又平面BCD，AO⊥BC；
（2）过点E作EF∥AO交BD于点F，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连接EM，
  
AO⊥平面BCD，EF∥AO，EF⊥平面BCD，
又平面BCD，EF⊥BC，
FM⊥BC，，EF、FM在面EFM内，BC⊥平面EFM，
又平面EFM，BC⊥EM，
二面角的平面角为，且，
,为正三角形，
为直角三角形，，
FM∥CD，点F为BD的靠近点D四等分点，
，
，
，
平面BCD，
.
20．(1)0.75
(2)0.85

【分析】（1）根据当时，表示的事件为该游客游览了两个景点，有一个景点没有游览，当时，表示的事件为该游客游览了一个景点，有两个景点没有游览 ，利用独立事件与互斥事件概率公式求解即可；
（2）先判断当，，时，在上单调递增 ， 当时，在上不是单调递增，利用独立事件与对立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）由条件可知C的取值为，，1，3                
当时，表示的事件为该游客游览了两个景点，有一个景点没有游览    
其概率为        
当时，表示的事件为该游客游览了一个景点，有两个景点没有游览    
其概率为        
故
（2）当时，在上单调递增        
当时，在上单调递增        
当时，在上单调递增        
当时，在上不是单调递增            
                  
故
21．(1)证明见解析
(2)存在，

【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，通过中点，构造中位线，即可证明；
（2）利用垂直关系，转化为证明，，即可说明存在点，再根据等面积法求PF的长度.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接OE
  
四边形是正方形，
点是的中点    
又点是的中点，
    
平面，平面   
平面
（2）存在                    
理由如下：
过点A作AF⊥PC，垂足为点F，由（1）可知
                                                    
平面，平面
                
四边形为正方形

又平面，平面，
平面
又平面ACP
            
又平面，平面BDE，，
平面            
，， ，
在中，由等面积法可得     
       
存在点F，使得平面，
22．(1)，的值为
(2)

【分析】（1）根据题意，利用正弦定理取得，进而得到，得出是等边三角形，以点为原点建立如图所示平面坐标系，设，分别取得向量的坐标，结合向量的坐标运算，即可求解.
（2）设，，根据向量的运算法则，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由，，
根据正弦定理得，
可得  
即
所以，
因为，可得，所以，
则，解得或，即或，
又，故，则，，
所以是等边三角形，故内切圆圆心为的中心，
以点为原点建立如图所示平面坐标系，设，
由，，
所以，，
                    
则
，
故，的值为.
（2）解：设，，则，
即，则，
所以，
可得，
可得 ，
当且仅当即时取等号，
故的最小值为.