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专题02 直角三角形中的分类讨论模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（北师大版）
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这是一份专题02 直角三角形中的分类讨论模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（北师大版），文件包含专题02直角三角形中的分类讨论模型原卷版docx、专题02直角三角形中的分类讨论模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。
例1．（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ．
例3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．10
例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中 ，点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．
例5．（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，在中，，，点是线段延长线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 ．
例6.（2022秋·成都市八年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
例7.（2022秋·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D在边AB上，以CD为折痕将△CBD折叠得到△CPD，CP与边AB交于点E，若△DEP为直角三角形，则BD的长是
例8．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？
(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形．
例9．（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，等边三角形中，D、E分别是、边上的点，，与相交于点P，，Q是射线上的动点．
(1)图中共有__________组全等，请选择其中的一组全等予以证明．(2)若为直角三角形，求的值．
例10．（2023·四川成都·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B的坐标为（0，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x轴上的两个点，点P是直线AB上一点．当△PMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标．
例11．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10．
(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标；
(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
课后专项训练
1．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，当运动时间为（ ）秒时，是直角三角形．
A．5B．5或C．5或D．或
2．（2023秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，已知，P是射线上一动点（即Р点可在射线上运动），，则 时，为直角三角形．
3．（2023·江西南昌·中考模拟）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．
4．（2022·河南·郑州市八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．设运动时间为t，则当t=__秒时，△BPC为直角三角形．
5．（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图，已知中，，，，点､分别在线段､上，将沿直线折叠，使点A的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为 ．
6．（2023春·河南驻马店·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上，连接若为直角三角形，则的度数为 ．
7．（2023秋·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．
8．（2023·江西上饶·九年级统考期末）在△ABC中，CO是AB边上的中线，∠AOC＝60°，AB＝2，点P是直线OC上的一个动点，则当△PAB为直角三角形时，边AP的长为 ．
9．（2023秋·广东·八年级专题练习）平面直角坐标系中有点A（0，4）、B（3，0），连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为 ．
10．（2023秋·江西抚州·八年级统考期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ．
11．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）已知，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝1，AC＝，以AC为一边作等腰直角△ACD，使∠CAD＝90°，连接BD，则线段BD的长度为 ．
12．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，现将BC延长到点D，使△ABD为等腰三角形，则CD的长为 ．
13．（2023秋·天津·八年级期中）中，与这两边上的高所在的直线相交于点，若不是直角三角形，则 （度）．
14．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，，，，点在的边上，则当为直角三角形时，的长为 ．
15．（2023秋·河南信阳·八年级校考期末）如图，AD为△ABC的高，BE为△ABC的角平分线，若∠EBA＝32°，∠AEB＝70°.（1）求∠CAD的度数； （2）若点F为线段BC上任意一点，当△EFC为直角三角形时，则∠BEF的度数为
16．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）点P出发2秒后，求CP和BP的长.（2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？
17．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点的一条直线交于点，若，显然直线是的关于点的二分割线．
（1）在图2的中，，．请在图2中画出关于点的二分割线，且角度是 ；（2）已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足:①为最小角；②存在关于点的二分割线．的度数是 ；（3）已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线．请求出的度数（用表示）．
18．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，为的高，，为的角平分线，若，．(1)求的度数；(2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
19．（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从点O出发，沿的方向以的速度运动，当点D不与点A重合时，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接，设点D的运动时间为．
(1)求证：是等边三角形.(2)如图2，当时，的周长是否存在最小值；若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.(3)如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
20．（2023秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图1，已知等边三角形的边长为，点分别从点同时出发，沿边向点和点运动，且它们的运动速度都是/秒．直线交于点．(1)求证：；(2)在点分别在边上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，是等腰三角形?(3)连接，当点运动____________秒时，是直角三角形；(4)如图2，若点在运动到后继续在射线上运动，直线交于点，当是直角三角形时，求点的运动时间．
21．（2022秋·四川成都·八年级石室中学校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A（0，a），且a、p满足+（p﹣1）2＝0．(1)求直线AP的解析式；(2)如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2022春·湖南长沙·八年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、b（其中）是方程的两个根．(1)求直线的解析式；
(2)若点为直线在第一象限上一点，当以为直角边ABM是等腰直角三角形时，求m的值；
(3)如图3，过点的直线交y轴负半轴于点，点的横坐标为，过点的直线交于点，给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。
例1．（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ．
例3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．10
例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中 ，点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．
例5．（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，在中，，，点是线段延长线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 ．
例6.（2022秋·成都市八年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
例7.（2022秋·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D在边AB上，以CD为折痕将△CBD折叠得到△CPD，CP与边AB交于点E，若△DEP为直角三角形，则BD的长是
例8．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？
(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形．
例9．（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，等边三角形中，D、E分别是、边上的点，，与相交于点P，，Q是射线上的动点．
(1)图中共有__________组全等，请选择其中的一组全等予以证明．(2)若为直角三角形，求的值．
例10．（2023·四川成都·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B的坐标为（0，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x轴上的两个点，点P是直线AB上一点．当△PMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标．
例11．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10．
(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标；
(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
课后专项训练
1．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，当运动时间为（ ）秒时，是直角三角形．
A．5B．5或C．5或D．或
2．（2023秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，已知，P是射线上一动点（即Р点可在射线上运动），，则 时，为直角三角形．
3．（2023·江西南昌·中考模拟）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．
4．（2022·河南·郑州市八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．设运动时间为t，则当t=__秒时，△BPC为直角三角形．
5．（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图，已知中，，，，点､分别在线段､上，将沿直线折叠，使点A的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为 ．
6．（2023春·河南驻马店·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上，连接若为直角三角形，则的度数为 ．
7．（2023秋·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．
8．（2023·江西上饶·九年级统考期末）在△ABC中，CO是AB边上的中线，∠AOC＝60°，AB＝2，点P是直线OC上的一个动点，则当△PAB为直角三角形时，边AP的长为 ．
9．（2023秋·广东·八年级专题练习）平面直角坐标系中有点A（0，4）、B（3，0），连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为 ．
10．（2023秋·江西抚州·八年级统考期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ．
11．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）已知，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝1，AC＝，以AC为一边作等腰直角△ACD，使∠CAD＝90°，连接BD，则线段BD的长度为 ．
12．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，现将BC延长到点D，使△ABD为等腰三角形，则CD的长为 ．
13．（2023秋·天津·八年级期中）中，与这两边上的高所在的直线相交于点，若不是直角三角形，则 （度）．
14．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，，，，点在的边上，则当为直角三角形时，的长为 ．
15．（2023秋·河南信阳·八年级校考期末）如图，AD为△ABC的高，BE为△ABC的角平分线，若∠EBA＝32°，∠AEB＝70°.（1）求∠CAD的度数； （2）若点F为线段BC上任意一点，当△EFC为直角三角形时，则∠BEF的度数为
16．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）点P出发2秒后，求CP和BP的长.（2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？
17．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点的一条直线交于点，若，显然直线是的关于点的二分割线．
（1）在图2的中，，．请在图2中画出关于点的二分割线，且角度是 ；（2）已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足:①为最小角；②存在关于点的二分割线．的度数是 ；（3）已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线．请求出的度数（用表示）．
18．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，为的高，，为的角平分线，若，．(1)求的度数；(2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
19．（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从点O出发，沿的方向以的速度运动，当点D不与点A重合时，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接，设点D的运动时间为．
(1)求证：是等边三角形.(2)如图2，当时，的周长是否存在最小值；若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.(3)如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
20．（2023秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图1，已知等边三角形的边长为，点分别从点同时出发，沿边向点和点运动，且它们的运动速度都是/秒．直线交于点．(1)求证：；(2)在点分别在边上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，是等腰三角形?(3)连接，当点运动____________秒时，是直角三角形；(4)如图2，若点在运动到后继续在射线上运动，直线交于点，当是直角三角形时，求点的运动时间．
21．（2022秋·四川成都·八年级石室中学校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A（0，a），且a、p满足+（p﹣1）2＝0．(1)求直线AP的解析式；(2)如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2022春·湖南长沙·八年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、b（其中）是方程的两个根．(1)求直线的解析式；
(2)若点为直线在第一象限上一点，当以为直角边ABM是等腰直角三角形时，求m的值；
(3)如图3，过点的直线交y轴负半轴于点，点的横坐标为，过点的直线交于点，给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．
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