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专题01 等腰三角形中的分类讨论模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（北师大版）
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这是一份专题01 等腰三角形中的分类讨论模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（北师大版），文件包含专题01等腰三角形中的分类讨论模型原卷版docx、专题01等腰三角形中的分类讨论模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
例1．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（ ）
A．11B．13C．11或13D．11或15
例2．（2023春·四川巴中·八年级统考期末）等腰三角形的周长为，一边长为，则其它两边长是（ ）
A．，B．，C．，或，D．，
例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（ ）
A．B．C．或D．以上都不是
例4．（2023春·四川达州·八年级校考期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ．
例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．
例7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知在中，且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则
例8．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，A、B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
例9．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）在等边中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长；(2)连结，当时，求的值；(3)若在线段上存在一点，且．在点运动的同时有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发在线段上运动，当点运动到点时，立即以原速度返回至终点，当为等腰三角形时，直接写出的值．
例10．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为
(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2023·江苏盐城·八年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（ ）
A．个B．个C．个D．个
4．（2023·云南昭通·八年级校联考期末）已知一个等腰三角形一边长为6，周长为20，则另两边长分别为（ ）
A．6，8B．7，7C．6，8或7，7D．以上都不对
5．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，中，，，，点E为射线上一点，若是等腰三角形，则的面积不可能是（ ）
A．40B．48C．D．
6．（2023春·湖北襄阳·九年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角的度数是 ．
7．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）等腰三角形一边上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角的度数为
8．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于 ．
9．（2023·云南·八年级校联考期中）等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ．
10．（2023春·江西九江·八年级统考期中）如图是一张长方形纸片，已知，现要剪下一张等腰三角形纸片（），则等腰三角形的底边长是 ．
11．（2023春·湖南株洲·八年级统考开学考试）若、为等腰三角形两边，且满足，则等腰三角形周长是 ．
12．（2023春·甘肃酒泉·八年级校联考期末）如图，中，，，，动点从出发，以的速度沿移动到，则点出发 秒时，是等腰三角形．
13．（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）在锐角中，，将沿翻折得到，直线与直线相交于点E，若是等腰三角形，则的度数为 ．
14．（2023春·四川达州·八年级统考期末）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”如果一个等腰三角形是“3倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为 ．
15．（2023春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ．
16．（2023·陕西渭南·八年级统考期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少10米．(1)用含的式子表示第三条边长；(2)第一条边长能否为8米？为什么？(3)若该三角形是等腰三角形，求的值．
17．（2023春·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知在中，，，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接．
(1)当秒时，求的长度（结果保留根号）；(2)当为等腰三角形时，求的值；
18．（2023春·山西运城·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点B、C的坐标分别为、，点A在第一象限，且是等边三角形．点D的坐标为，E是边上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接．
(1)求出A点坐标；(2)当点F落在边上时，与全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；(3)当以为腰的是等腰三角形时，的长为_________．
19．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【巩固新知】（2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数．
【解决问题】（3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长．
20．（2023秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）定义：用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．
如图，中，．
(1)如图（1），若O为的中点，则直线_____的等腰分割线．（填“是”或“不是”）
(2)如图（2）已知的一条等腰分割线交边于点P，且，若，请求出的度数．(3)如图（3），若，点M是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，这样的点M共有______个．
21．（2023秋·吉林长春·八年级校考开学考试）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．
(1)如图①，当时，求证：．(2)若，．
①如图②，当时，x的值为 ___________；
②当是等腰三角形时，直接写出x的值．
22．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为秒．
(1)求斜边的长；(2)当点在的角平分线上，求的值；
(3)在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时的值．
23.（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；(3)点是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
例1．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（ ）
A．11B．13C．11或13D．11或15
例2．（2023春·四川巴中·八年级统考期末）等腰三角形的周长为，一边长为，则其它两边长是（ ）
A．，B．，C．，或，D．，
例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（ ）
A．B．C．或D．以上都不是
例4．（2023春·四川达州·八年级校考期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ．
例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．
例7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知在中，且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则
例8．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，A、B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
例9．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）在等边中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长；(2)连结，当时，求的值；(3)若在线段上存在一点，且．在点运动的同时有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发在线段上运动，当点运动到点时，立即以原速度返回至终点，当为等腰三角形时，直接写出的值．
例10．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为
(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2023·江苏盐城·八年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（ ）
A．个B．个C．个D．个
4．（2023·云南昭通·八年级校联考期末）已知一个等腰三角形一边长为6，周长为20，则另两边长分别为（ ）
A．6，8B．7，7C．6，8或7，7D．以上都不对
5．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，中，，，，点E为射线上一点，若是等腰三角形，则的面积不可能是（ ）
A．40B．48C．D．
6．（2023春·湖北襄阳·九年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角的度数是 ．
7．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）等腰三角形一边上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角的度数为
8．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于 ．
9．（2023·云南·八年级校联考期中）等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ．
10．（2023春·江西九江·八年级统考期中）如图是一张长方形纸片，已知，现要剪下一张等腰三角形纸片（），则等腰三角形的底边长是 ．
11．（2023春·湖南株洲·八年级统考开学考试）若、为等腰三角形两边，且满足，则等腰三角形周长是 ．
12．（2023春·甘肃酒泉·八年级校联考期末）如图，中，，，，动点从出发，以的速度沿移动到，则点出发 秒时，是等腰三角形．
13．（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）在锐角中，，将沿翻折得到，直线与直线相交于点E，若是等腰三角形，则的度数为 ．
14．（2023春·四川达州·八年级统考期末）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”如果一个等腰三角形是“3倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为 ．
15．（2023春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ．
16．（2023·陕西渭南·八年级统考期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少10米．(1)用含的式子表示第三条边长；(2)第一条边长能否为8米？为什么？(3)若该三角形是等腰三角形，求的值．
17．（2023春·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知在中，，，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接．
(1)当秒时，求的长度（结果保留根号）；(2)当为等腰三角形时，求的值；
18．（2023春·山西运城·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点B、C的坐标分别为、，点A在第一象限，且是等边三角形．点D的坐标为，E是边上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接．
(1)求出A点坐标；(2)当点F落在边上时，与全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；(3)当以为腰的是等腰三角形时，的长为_________．
19．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【巩固新知】（2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数．
【解决问题】（3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长．
20．（2023秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）定义：用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．
如图，中，．
(1)如图（1），若O为的中点，则直线_____的等腰分割线．（填“是”或“不是”）
(2)如图（2）已知的一条等腰分割线交边于点P，且，若，请求出的度数．(3)如图（3），若，点M是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，这样的点M共有______个．
21．（2023秋·吉林长春·八年级校考开学考试）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．
(1)如图①，当时，求证：．(2)若，．
①如图②，当时，x的值为 ___________；
②当是等腰三角形时，直接写出x的值．
22．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为秒．
(1)求斜边的长；(2)当点在的角平分线上，求的值；
(3)在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时的值．
23.（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；(3)点是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
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