山西吕梁市汾阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份山西吕梁市汾阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题（含解析），共14页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合是小于8的正整数｝，，，则中的元素个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】借助补集与并集定义即可得.
【详解】，则.
2. 已知是正实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】若，则成立，
若,不妨取，此时，所以不成立，
综上“”是“”的充分不必要条件
3. 已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【详解】对于①，残差图中，残差点所在水平带状区域越窄，说明残差波动越小，
即回归方程的预报精确度越高，残差点所在水平带状区域越宽，说明残差波动越大，
即回归方程的预报精确度越低，错误；
对于②，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，故模型甲的拟合效果更好，错误；
对于③，回归直线过样本数据，，，的中心点，
并不一定过样本数据中的某一个点，错误；
对于④，在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，正确.
4. 诗句”花落知多少”的平仄格式为平仄平平仄．现将该诗句中的5个字重新排列，要求重新排列后的平仄序列与原诗的平仄序列不同，则不同的排列种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】5个字的全排列种数为，
“落”与“少”放在第二个和第五个位置的排列种数为，
所求不同的排列种数为．
5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数与对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，又，在上单调递减，
所以，所以.
故选：B
6. 展开式中的系数是（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】写出的通项，将前面多项式每一项与通项相乘，根据所求的的系数，对r分类计算系数相加即可．
【详解】的通项为；
因为，
的通项为：，
当时，此项为；
的通项为，
当时，此项为；
综上的系数为．
7. 某学校组织科技竞赛，现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，则不同的分配方法共有（ ）
A. 540种B. 450种C. 360种D. 90种
【答案】A
【解析】
【分析】先按每组人数的三类分配情况分别计算分组方法，再分配到三项不同工作，求和得到总方法数.
【详解】将6名指导教师分配到3项工作，每项至少1人，人数分配共三类：
人数为的分组：从6人中选4人作为一组，剩余2人各成一组，分组方法共种，
将3组分配到3项不同工作，有种分配方式，该类共种方法；
人数为的分组：从6人中选3人、剩余3人中选2人、最后1人各成一组，
分组方法共种，将3组分配到3项工作，有种分配方式，
该类共种方法；
人数为的分组：平均分成3组需消去重复，分组方法共种，
将3组分配到3项工作，有种分配方式，该类共种方法.
因此总分配方法数为种.
8. 已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将函数恰有2个零点转化为与直线有2个交点，分段讨论方程在不同区间的解的个数，汇总得到参数取值范围.
【详解】∵ 函数恰有2个零点，∴ 方程有2个不等实根.
当时，，为单调递增函数，值域为.
若有解，则，此时该区间有且仅有1个解；
若或，则该区间无解.
当时，，令，两边同乘整理得.
当时，判别式，方程有两个不等实根，且两根之积为，
故仅有1个正根，即时时方程恒有1个解；
当时，方程两根之和为，两根之积为，无正根，该区间无解.
综上，要使共有2个解，需满足，即实数的取值范围是.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得．
【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数，
对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意；
对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在
原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意；
对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到，
又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意；
对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意.
10. 已知正实数，满足，则（ ）
A. B. 的最大值为16
C. 的最小值为9D. 的最小值为3
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正数的性质、特值法，结合基本不等式、不等式的性质逐一判断即可.
【详解】因为是正实数，
所以由，所以，故A正确；
当，时，满足，而，故B错误；
由，即，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为9，故C正确；
因为为正数，
所以由，由，得，故D错误．
11. 六艺是中国古代君子的六门必修课，即礼、乐、射、御、书、数．《礼记·射义》：“射者，仁之道也．射求正诸己，己正而后发；发而不中，则不怨胜己者，反求诸己而已矣”．若甲、乙两人玩射箭游戏，规则如下：每次由其中一人射箭，若中靶，则此人继续射箭；若未中靶，则换对方射箭．已知甲每次射箭命中的概率均为，乙每次射箭命中的概率均为．由抽签确定第1次射箭的人，甲、乙抽中的机会均等，则下列选项正确的是（ ）
A. 第3次射箭的人是甲的概率为
B. 在第3次射箭的人是甲的条件下，第1次射箭的人是乙的概率为
C. 在前4次射箭中，甲只射箭1次的概率为
D. 若第次射箭的人是甲的概率为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，分析出前两次射箭的人可以包含甲甲，甲乙，乙甲，乙乙四种情况，再分别列出式子计算即可；对于B，分析出是在A选项的条件下，只考虑A中的乙甲，乙乙两种情况，按照条件概率的公式计算即可；对于C，分析出在前4次射箭中，甲只射箭1次包含甲乙乙乙，乙甲乙乙，乙乙甲乙，乙乙乙甲四种情况，再分别列出式子计算即可；对于D，先由得到，进而得到的表达式，再按照数列的求和方法求即可.
【详解】设第次射箭的人是甲且射中记为事件，未射中为，第次射箭的人是乙且射中为，未射中为（且）.
对于A，分析射箭情况，第3次射箭的人是甲，则前两次射箭的人可以包含甲甲，甲乙，乙甲，乙乙四种情况：
①第一次抽中甲，且前两次甲都射中，记为，则，
②第一次抽中甲，且甲未射中，第二次乙未射中，记为，则，
③第一次抽中乙，且乙未射中，第二次甲射中，记为， ，
④第一次抽中乙，且乙射中，第二次乙未射中，记为，则，
综上，所以第3次射箭的人是甲的概率为，故A正确；
对于B，在第3次射箭的人是甲的条件下，第1次射箭的人是乙包含了A中③④两种情况，
故概率为，故B错误；
对于C，在前4次射箭中，甲只射箭1次包含甲乙乙乙，乙甲乙乙，乙乙甲乙，乙乙乙甲四种情况：
①第一次抽中甲，且甲未射中，第二三次乙都射中记为，则，
②第一次抽中乙，且乙未射中，第二次甲未射中，第三次乙射中，记为，则，
③第一次抽中乙，且乙射中，第二次乙未射中，第三次甲未射中，记为，则，
④第一次抽中乙，且第一二次乙射中，第三次乙未射中，记为，则 ，
综上，所以在前4次射箭中，甲只射箭1次的概率为，
故C正确；
对于D，设第次射箭的人是甲的概率为，
则即为第一次抽中甲且甲射中的概率与第一次抽中乙且乙未射中的概率之和，
所以，
则即为第次甲射中的概率与第次乙未射中的概率之和，
即，
即，
变形可得，
而，故，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
所以
，故D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据组合数的性质计算可得结果.
【详解】由题意得，且，解得，
∵，∴或，解得（舍去）或．
13. 已知，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法分别令和得到两个等式，相加后除以2即可求得偶次项的系数之和.
【详解】令，则 ①，
令，则 ②，
两式相加得：，所以.
14. 定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出在上的值域，利用得到在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围.
【详解】当时，，
由于为对称轴为开口向下的二次函数，
，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增，
可得在上单调递减，在上单调递增，，
在上的值域为，在上的值域为，
在上的值域为，
，
故当，
在上的值域为，
当时，为增函数，在上的值域为，
，解得，故的范围是；
当时，为单调递减函数，在上的值域为，
，解得故的范围是，
综上可知故的范围是.
四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合或．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）

（2）
或
【解析】
【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围；
（2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【小问1详解】
已知A={x|3≤x≤6} ，B={x|x≤m−1 或x≥2m−1} ，若，
则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： m−16，
解得，即m的取值范围为；
【小问2详解】
若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B，
因此有两种情况： ① A⊆{x|x≤m−1} ，此时，解得；
② ，此时，解得，
综上，m的取值范围是或.
16. 某研究团队为探讨体育锻炼对青少年身心健康的影响，抽取960名有体育锻炼习惯的在校中学生进行问卷调查，统计表格数据如下：
（1）完成表格数据，并根据小概率值的独立性检验，分析参与问卷调查的中学生性别分布是否存在年级差异?
（2）每日锻炼对身心健康有显著影响.已知每日锻炼时间超过1小时的学生身心健康达标率为，现随机抽取2名每日锻炼时间超过1小时的学生进行健康评估，求至少有1名学生身心健康达标的概率.
附：，其中.
【答案】（1）
不存在年级差异 （2）0.9831
【解析】
【分析】（1）先根据已知数据完成表格，再根据独立性检验的公式计算的值，最后与临界值比较得出结论；
（2）可先求出两名学生都不达标的概率，再用1减去该概率得到至少一名学生身心健康达标的概率.
【小问1详解】
填表如图：
零假设：参与问卷调查的中学生性别分布不存在年级差异.
根据列联表中的数据，经计算得到，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据认为不成立，因此可以认为成立，即认为参与问卷调查的中学生性别分布不存在年级差异；
【小问2详解】
记事件为“2名每日锻炼时间超过1小时的学生中至少有1名学生达标”，则事件为“2名每日锻炼时间超过1小时的学生中没有学生达标”.
由题意得 ，
故 .
故至少有1名学生身心健康达标的概率为0.9831.
17. 《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注．为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的．
（1）求小明可以背诵2首古诗的概率；
（2）求小明背诵古诗数的分布列、期望与方差；
（3）选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？
【答案】（1）

（2）
分布列为：
期望，方差
（3）
选小明同学代表班级参加总决赛更合适
【解析】
【小问1详解】
由题意，从6首古诗中抽取3首，小明可背诵其中4首，设小明可背诵的古诗数量为，则服从超几何分布，其中，，.
∵ 要求小明可以背诵2首古诗，即，
∴ 所求概率.
【小问2详解】
由题意，随机变量的所有可能取值为.
∵ ，
，
，
∴ 的分布列为：
∴ 期望，
方差.
【小问3详解】
设小华能背诵的古诗数量为，由题意，小华每首古诗能背诵的概率均为，且各首背诵情况相互独立，故.
∴ ，.
∵ ，，说明两人平均背诵数量相同，但小明发挥更稳定，
∴ 选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适.
18. 某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）.
（1）求的表达式；
（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？
【答案】（1）
（2）甲投入万元，乙投入 万元时，利润最大是 万元
【解析】
【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可；
（2）分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可.
【小问1详解】
甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元），
则乙产品的利润
当时，，
所以，
当时，，
所以，
综上所述，.
【小问2详解】
当时，令，则，，
则，
当时，函数有最大值，
即当时，函数有最大值.
当时，
，
当且仅当，即
因为.
所以当甲投入万元，乙投入 万元时，才能使总利润最大，最大利润是 万元.
19. 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：
表中，.
（1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（2）已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
（3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励10元；若超过，每件产品奖励20元.记为每件产品获得的奖励，求.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
附：若随机变量，则，.
【答案】（1）更适合作为关于的回归方程类型，
（2）54千万元 （3）11.36元
【解析】
【分析】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型，对两边取对数，，代入公式，结合表格数据得到回归方程；
（2）在（1）基础上，得到，求导，得到函数单调性，从而求出最值；
（3）求出，，利用期望公式求出答案.
【小问1详解】
根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型，
因为呈线性变化，不合要求，故选，
对两边取对数，得，即，
由表中数据得：，，
，所以，
所以关于的回归方程为；
【小问2详解】
因为，所以，
，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以预计下一年投入千万元时，
年利润取得最大值为千万元.
【小问3详解】
因为，，
所以
，
，
（元）.
初中
高中
合计
男
270
230
女
230
230
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
初中
高中
合计
男
270
230
500
女
230
230
460
合计
500
460
960
初中
高中
合计
男
270
230
500
女
230
230
460
合计
500
460
960








30.5
15
15
46.5