山西吕梁市汾阳市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（含解析）

这是一份山西吕梁市汾阳市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 《九章算术》中将正四棱台体等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第I卷（选择题）
一、单选题(本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 哈尔滨市某月连续10天的AQI（空气质量指数）分别为29，32，34，36，39，50，47，66，48，78，则这组数据的第75百分位数为（ ）
A. 33B. 34C. 49D. 50
【答案】D
【解析】
【详解】数据从小到大重新排列为29，32，34，36，39，47，48，50，66，78，
因为，由百分位数的定义可知：这组数据的第75百分位数是第8个数据50.
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】已知复数，
则，
所以的虚部为.
3. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：.
故选：A.
4. 某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率乘积公式结合互斥事件概率和公式计算求解.
【详解】在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，
则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为.
故选：B.
5. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据台体体积公式求得正确答案.
【详解】上底面周长为，边长为，面积为.
下底面周长为，边长为，面积为.
所以方亭的体积为.
6. 为缅怀革命先烈，传承红色精神，学校组织学生前往刘胡兰纪念馆开展研学活动，研学路线可抽象为平面几何图形，如图所示，在中，点是线段的中点，，以，为基底，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可知：
7. 早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，且个位用纵式，十位用横式，则个位上的算筹比十位多的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可.
【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，
共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种，
个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种，
个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种，
共有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有种，
所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为.
则个位上的算筹比十位多的概率为.
8. 为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【详解】设塔高为，已知平面，则均为直角三角形，
已知，则，故，
已知，则，
由余弦定理得，即
，解得．
二、多选题(本题有3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9. 已知，是平面内两个不共线的向量，则下列各组向量中，能作为该平面一组基底的有（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】ABC
【解析】
【分析】平面内两个向量能作为一组基底的充要条件是两向量不共线，结合已知，不共线，通过反证法判断各组向量是否共线即可。
【详解】对于A：假设和共线，则存在实数满足，整理得，与，不共线矛盾，故两向量不共线，可作为基底。
对于B：假设和共线，则存在实数满足，整理得，
由，不共线可得，方程组无解，故两向量不共线，可作为基底。
对于C：假设和共线，则存在实数满足，整理得，
由，不共线可得，方程组无解，故两向量不共线，可作为基底。
对于D：显然，两向量共线，不能作为基底。
10. 现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意列出事件的情况总数，然后逐项计算判断即可.
【详解】设左脚运动鞋为，右脚运动鞋为，左脚凉鞋为，右脚凉鞋为，
则，
所以，A错误；
，B正确；
，C正确；
，D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（ ）
A.
B. 异面直线 与 所成角的余弦值为
C. 若分别为 上的点，则的最小值为1
D. 若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先证平面，即可判断A；先证为异面直线与所成的角或其补角，再解三角形即可判断B，取，分别为，的中点，取，，即可判断C，先证平面 平面，得出点的轨迹为线段，即可判断D.
【详解】对于A，如下图，连接，易得，
因为平面，平面,所以，
又 平面，所以平面，
因为平面，所以 ，A正确；
对于B，如下图，连接，
由题可得，所以为异面直线与所成的角或其补角，
在中，，，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，B正确；
对于C，如下图，若,，分别为,，的中点，连接和，
所以，，所以四边形是平行四边形，
又因平面，平面，则，同理可得，
因,则，又因，平面,
则平面,又平面,则，
因,故，即是异面直线 的公垂线段，
故此时的最小值为，C错误；
对于D，如图，取的中点，连接，，，
易得 ， ，由线面平行的判定定理可得平面，平面，
又，平面，平面，
所以平面平面，
因为点在底面上运动，且平面，
所以点的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，D正确.
第II卷（非选择题）
三、填空题(本题有3小题，每小题5分，共15分)
12. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分层随机抽样的比例即可得到答案.
【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和，
已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样，
则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为，
因此，样本总量.
13. 为弘扬科技创新精神，学校准备了2张航天主题、2张人工智能主题的科普宣传海报，现从中随机抽取2张，则抽到的两张海报为不同主题的概率是________.
【答案】
【解析】
【详解】记2张航天主题科普宣传海报为，2张人工智能主题科普宣传海报为，
从中随机抽取2张，样本空间为，共包含6个基本事件，
记事件为抽到的两张海报为不同主题，事件包含4个基本事件，
所以.
14. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是________
甲．平均数为3，中位数为2
乙．中位数为3，众数为2
丙．平均数为2，方差为2.4
丁．中位数为3，方差为2.8
【答案】丙
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除甲乙丁，由假设推理判断丙．
【详解】对于甲，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故甲错误；
对于乙，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故乙错误；
对于丙，若出现6点，因为平均数为2，则方差，
则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故丙正确；
对于丁，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为，
方差为，
可以出现点数6，故丁错误；
故答案为：丙．
四、解答题(本题有5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 已知向量，．
（1）若，求；
（2）若，，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由向量垂直关系求得，再由模长公式即可求解；
（2）由平行关系求得，再由夹角公式即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，解得，
则，故．
【小问2详解】
因为，所以，
解得，则，
所以，
即与夹角的余弦值为．
16. 在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围．
（1）在虚轴上；
（2）在第二象限；
（3）在的图象上
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
由复数对应的点在虚轴上，则，即，则或；
【小问2详解】
由复数对应的点在第二象限，则，即，则；
【小问3详解】
由复数对应的点在的图象上，则，即，则.
17. 为丰富校园文化艺术氛围，落实校园美育工作，该校举办校园原创美术作品征集评比活动.活动结束后，学校教研处随机抽取了校内100名学生（男生、女生各50人）的参赛美术作品进行统一匿名评分，所有作品评分分数构成统计样本，具体评分分数分布统计结果如下图所示.
（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的平均数、中位数；（中位数保留两位小数）
（2）若成绩不低于分为“优秀”，这个样本数据中成绩为优秀的女生为人，视频率为概率，从该校随机抽取一名男生，一名女生，求名学生中至少有一个优秀的概率.
【答案】（1）73；73.33
（2）
【解析】
【分析】(1)用组中值加权求平均数，通过累积频率定位中位数区间再公式计算，是频率分布直方图求两数的标准规范解法；
(2)先分层得到男女生优秀概率，借助对立事件求解“至少一个”型概率，大幅简化运算，思路更高效.
【小问1详解】
依题意，平均数==73
故估计样本数据的平均数为73.
∵的频率为；的频率为，
∴中位数位于，且中位数为
故估计样本数据的中位数为73.33.
【小问2详解】
由（1）可知，样本中成绩不低于70分（即优秀）的频率为.
所以样本中成绩优秀的人数为（人）.
因为样本中成绩为优秀的女生为30人，
所以样本中成绩为优秀的男生人数为（人）.
因为男生、女生各50人，
所以从该校随机抽取一名男生，其成绩优秀的概率；
从该校随机抽取一名女生，其成绩优秀的概率.
设“2名学生中至少有一个优秀”为事件，
则
.
故2名学生中至少有一个优秀的概率为.
18. 在中，
（1）求；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的值．
①；②；③面积为．
【答案】（1）
（2）选①时不存在；选②时；选③时.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可求边.
（2）选①，利用等边对等角，判断不存在；
选②，先利用正弦定理求边，再利用余弦定理求边，最后利用正弦定理求；
选③，先利用三角形的面积公式求边，再利用余弦定理求边，最后利用正弦定理求.
【小问1详解】
由，且为三角形内角，所以.
根据正弦定理，.
【小问2详解】
选①，因为，所以为钝角.
又，则都为钝角，这样的三角形不存在.
选②，由.
由余弦定理，.
所以.
由正弦定理，，此时为锐角，存在.
选③，由，所以.
由余弦定理，，
所以.
由正弦定理，，此时为锐角，存在.
19. 如图，在三棱台中，底面满足，， ，，分别为的中点，且.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）若，求平面与平面的夹角的正弦值.
【答案】（1）记的交点为D，的交点为E，连接，
因为是三角形的中线，所以 ，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为平面 ， 平面 ，所以平面 .
（2）由（1）可知，，，所以，所以，
因为，所以，
因为M，N分别为的中点，所以，且，
所以 ，所以 ，
因为，所以，所以，，
所以，所以，
所以，
又 是平面内的相交直线，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意证得，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理证明即可；
（3）结合（2）可得面面角的平面角，由余弦定理解三角形计算即可求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
由（2）知，，，
所以（或其补角）即为平面与平面的夹角，
因为且，所以，，
所以四边形为平行四边形，，
因为，所以，
由余弦定理得，所以,
所以，则，
又，，
所以，
因为 ，所以即为平面与平面的夹角，
所以.