广东省清远市清城区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份广东省清远市清城区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题（含解析），共14页。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 中国传统纹样反映出不同时期的风俗习惯，蕴含了古人艺术智慧，下图纹样里，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. 盘长纹B. 冰裂纹
C. 如意纹D. 风车纹
【答案】A
【解析】
【分析】‌根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项符合题意；
、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项不符合题意；
、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项不符合题意．
2. 若，则下列式子一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断各选项，找出一定成立的选项即可．
【详解】解：A．取，，满足，此时，，，因此不一定成立，A不符合题意；
B．∵，根据不等式性质，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，
∴，一定成立，B符合题意；
C．∵，根据不等式性质，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，
∴，因此不成立，C不符合题意；
D．∵，根据不等式性质，不等式两边同时减，不等号方向不变，
∴，因此不成立，D不符合题意．
3. 在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度得到点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中，点向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变，据此可得答案．
【详解】解：∵点向右平移3个单位长度得到点，
∴的横坐标为，纵坐标保持不变仍为，
∴的坐标为．
4. 当时，下列分式没有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.
【详解】,当x=1时,分母为零,分式无意义.
故选B.
本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.
5. 如图，是的外角，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
【详解】解：是的外角，
．
6. 下面各式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：选项A中，等式右边为，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合要求；
选项B中，变形是整式乘法，是从整式乘积化为多项式，不是因式分解，不符合要求；
选项C中，左边是多项式，右边是整式乘积，且，变形正确，属于正确的因式分解，符合要求；
选项D中，，变形错误，不符合要求.
7. 如图所示的网格，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别为，的中点，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意证明是的中位线，利用即可求解．
【详解】解：∵、分别是、的中点，
是的中位线，
∵，
∴．
8. 如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（ ）
A. 4.5B. 4C. 3.5D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可．
【详解】解：过点D作，交于点E，
∵平分，，
∴，
所以点D到的距离是3．
9. 依据所标数据，下列图形不一定为平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．由图中数据能得到一组对边平行，另一组对边相等不一定能判断四边形是平行四边形，故A符合题意；
B．由图中数据能得到一组对边平行，且相等能判断四边形是平行四边形，故B不符合题意；
C．由图中数据可得两组对边相等能判断四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D．由图中数据能得到两组对边平行，能判断四边形是平行四边形，故D不符合题意．
10. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集．
【详解】解：一次函数与的图象相交于点，
由题意知：当时，一次函数的图象在的图象的上方，
关于的不等式的解集是，
故选：C．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提公因式法分解因式．直接提公因式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数轴上表示不等式的解集，运用数形结合思想作答即可．
【详解】解：直接读取数轴，得出关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
13. 在平行四边形中，，则______________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求解．
【详解】解：∵在平行四边形中，，
∴．
14. 若分式的值为0，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出．
【详解】解：根据题意，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座垂直于道路两旁的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短．则甲到乙的最短路程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平移的性质解决最短路径问题，将点乙向上平移路宽的距离，连接甲与平移后的点，利用勾股定理求出线段长，再加上路宽即可．
【详解】解：如图，将点乙（点）沿垂直于道路方向向上平移得到点，连接，
由平移的性质可知，除去天桥长度外，甲到乙的最短路径即为线段的长度，天桥长度等于的长度，
，，
根据勾股定理，得，
则甲到乙的最短路程为．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
由①得，；
由②得，，
∴原不等式组的解集为：．
17. 在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤：
小明：原式
小红：原式
（1）小明解法第一步的依据是_____________，小红解法第一步的依据是______________；（填下列的字母）
A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2）请你从小明和小红的两种解法中选择一种解法，写出完整的解答过程，并求出当时该分式的值．
【答案】（1），
（2）解：情况1：选择小明的解法：
原式
；
当时，原式．
情况2：选择小红的解法：
原式
，
当时，原式．
【解析】
【分析】（1）利用的是分式的基本性质和乘法分配律；
（2）根据两人的第一步以及分式的混合运算法则进行求解即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
18. 如图，在中，．

（1）实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）计算：在（1）的条件下，若，，求的长
【答案】（1）
即为所求，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，勾股定理，掌握对的直角边是斜边的一半是解题的关键；
（1）根据尺规作图作垂线的方法作图即可；
（2）由含的直角三角形的性质，可求出，再由勾股定理求出，再由含的直角三角形的性质求解即可；
【小问1详解】
略
【小问2详解】
，，，
，
在中，．
是边上的高，
，
，
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，四边形中，对角线，相交于点，，点，分别在，上．
（1）给出以下条件；①，②，请你从中选取一个条件，证明；
（2）在（1）证得结论成立的条件下，添加，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：选取①，
，
．
在和中
，
；
选取②，无法利用证明；
（2）证明：方法一：由（1）得：，
，
，
．
，
，，
四边形是平行四边形；
方法二：由（1）得：，
，．
．
在和中
，
．
，．
．
，
四边形是平行四边形．
【解析】
【分析】（1）选取①，根据平行线的性质得，即可利用证明；
（2）方法一：由（1）得，进一步得到，即可判定四边形是平行四边形；方法二：由（1）得和，．即可利用证明，有和，得到，即可判定四边形是平行四边形．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
20. 根据以下素材，完成任务．
（1）任务一：求“喜洋洋”和“乐融融”的单价分别是多少元；
（2）任务二：若计划购买“喜洋洋”和“乐融融”共100个，且所花费用不超过1680元，求最多能购买多少个“喜洋洋”？
【答案】（1）18元；16元
（2）40个
【解析】
【分析】（1）设“乐融融”单价为元，则“喜洋洋”单价为元，根据题意列出分式方程，即可求解；
（2）设购买个“喜洋洋”，则购买个“乐融融”， 根据题意列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：设“乐融融”单价为元，则“喜洋洋”单价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
．
答：购买“喜洋洋”的单价为18元，购买“乐融融”的单价为16元．
【小问2详解】
解：设购买个“喜洋洋”，则购买个“乐融融”，
根据题意得，，
解得，
最多能购买40个“喜洋洋”．
21. 综合与实践．
【问题背景】平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
【探究】任务一：探究同一种正多边形的密铺．
任务二：探究多种正多边形的密铺．
（1）①如图1、图2所示，用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是_________．
A．边数都是3的整数倍
B．边数都是4的整数倍
C．该正多边形一个内角的度数能整除
D．该正多边形一个内角的度数能整除
②除“正三角形”、“正方形”外，请再写出一种可以单独进行平面密铺的正多边形：___________．
（2）如图3所示，用若干边长相等的正方形和正八边形也可以进行平面密铺，若每一个顶点周围有个正方形，个正八边形，请探究，之间满足的数量关系式，并说明理由；
（3）【创新】新年新气象，正值马年，家家户户都希望在家中增添一些与“马”有关的装饰．小东发现家中的地板瓷砖是由多个边长为1的正方形瓷砖密铺而成，他在一个的瓷砖范围内，通过切割得到了如图4所示的小马图案．现在，他想用3块等腰直角三角形①②③、1块直角梯形④和1块平行四边形⑤的彩色琉璃砖，重新密铺到小马图案的空缺部分，请你通过观察，在图4的小马图案范围内画出合适的密铺方案并标注对应图案的序号．
【答案】（1）①C；②正六边形
（2），理由：
正方形每个内角的度数为，正八边形每个内角的度数为，
，
，需满足的关系式为；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据一个正多边形密铺时，在顶点处所有内角的和等于求解即可；
（2）根据多个正多边形密铺时，在顶点处所有内角的和等于列等式即可；
（3）结合5种彩色琉璃砖的形状、边长和角度判断即可．
【小问1详解】
解：①同一种正多边形拼接时，在每个顶点处有若干个此正多边形的内角，因此要实现密铺，则这几个内角的和等于，也就是该正多边形一个内角的度数能整除，故选C；
②因为正六边形的每一个内角为，恰好能整除，所以正六边形可以单独进行密铺；
【小问2详解】
略；
【小问3详解】
解：由条件可知平行四边形⑤的邻边长为1和，因此我们首先尝试在小马图案范围内确定平行四边形的位置，结合网格边长为1，可知为腰长为2的直角三角形的斜边，因此平行四边形的位置如图所示，进而可以确定①-④的位置．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 【课本再现】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？为此，小明和小颖展开了如下探究．
小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，，…
小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为，，其中，且为整数．则．
（1）根据上述探究，可以得出：除1外，所有______________数都是智慧数，13的智慧分解为_____________．
（2）继续探究，他们发现，，…所以8、12、16等均是智慧数，由此，他们猜想：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，请证明他们的猜想．
（3）根据以上所有探究，如果将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，根据你发现的规律，请直接写出第100个智慧数，以及它的一种智慧分解．
【答案】（1）奇；7和6
（2）证明：设两个数分别为，，其中，且k为整数．
则，
，
．
，
除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
（3）136；136的智慧分解：35和33或19和15
【解析】
【分析】（1）根据智慧分解的定义得到答案；
（2）类比奇数的证明过程，结合条件证明能被4整除的偶数都是智慧数；
（3）根据列举出的这些数寻找规律，根据规律再进一步求解得到答案．
【小问1详解】
解：∵是偶数，∴是奇数；
∵，
解得，
∴，
即13的智慧分解为7和6（写成这样：或者也给分）；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，发现的规律：第4，7，10个数都是4的倍数，
其中；；；……，
而，
∴第100个智慧数也是4的倍数，
∵第4个数，第7个数，第10个数，
∴第100个智慧数是，
由（2）知，，解得，
∴136的智慧分解：和，（或）；
∵也满足智慧数的定义，
∴136的智慧分解为19和15，（或）．
23. 平行四边形旋转中的数学问题
【问题情境】已知与中，，，，同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究．
（1）【拼图思考】希望小组的同学将与按图1的方式摆放，其中，点与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上，他们提出如下问题，请你解答：
①求证：四边形是平行四边形．
②请直接写出此时点，之间的距离．
（2）【操作探究】创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点沿顺时针方向旋转，连接．
①当线段与交于点时，连接；如图2，求证：点在的垂直平分线上．
②在旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图3中补全图形，并求出此时点，之间的距离．
【答案】（1）①证明：四边形、是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形．
②2 （2）①证明：，
，
在和中，
，，
，
，
．
，
，
，
，
点在的垂直平分线上．
②；20
【解析】
【分析】（1）①根据平行四边形的性质得和，即可证明四边形是平行四边形；
②连接，根据平行四边形的性质得，，，，，，进一步得到、，，则为等边三角形，即可求得；
（2）①由等腰三角形的性质得，由平行四边形得，即有结合等腰三角形得，即可得到，则点在的垂直平分线上；
②根据平行四边形得到，，，再证明是等边三角形，则，，由得到点在的延长线上，即可求得．
【小问1详解】
解：①略
②连接，如图，
∵与，
∴，，，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴为等边三角形，
则；
【小问2详解】
解：①略
②解：如图，
四边形、是平行四边形，
，，
，
，
，
．
又
是等边三角形，
，，
，
点在的延长线上，
．背景
广东省城市篮球联赛，简称粤，于2026年3月21日晚在广州天河体育中心体育馆开幕，持续至8月．十五全运会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”回归作为联赛吉祥物．
素材一
联赛吉祥物深受大家喜爱，其中“喜洋洋”比“乐融融”的单价多2元；
素材二
用180元购买“喜洋洋”的数量是用80元购买“乐融融”数量的2倍；