广东六校2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份广东六校2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题（含解析），共14页。
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，，
故.
2. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由导数的几何意义可得，可求出的值，可求出的值，即可得出切点的坐标，再利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.
【详解】因为，则，
因为函数在点处的切线与直线平行，
由导数的几何意义可得，解得，
所以，则，即切点为，
故所求切线的方程为，即.
3. 已知一饭店近五年“十一”黄金周期间的利润如下表：
根据表中数据可知，具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 2026年“十一”黄金周期间该饭店的利润一定为131万元
B.
C. 当时，残差为
D. 点一定在经验回归直线上
【答案】C
【解析】
【分析】先利用经验回归直线过样本中心点求出参数，再逐一验证各选项的正确性。
【详解】样本中心点横坐标 ，经验回归直线必过样本中心点，
代入回归方程得，
根据表中数据，，
因此，解得.
选项A：2026年对应，代入得预测值万元，该值为估计值，不是确定值，故A错误；
选项B：计算得，故B错误；
选项C：当时，实际值，预测值，残差，故C正确；
选项D：时，点即，代入回归方程得，故该点不在回归直线上，D错误.
4. 若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】已知圆，即 ① ，
圆 ② ，
①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ，
因此直线斜率，又 ，由，可得.
5. 已知离散型随机变量的分布列如右表所示.则随机变量的数学期望是（ ）
A. 0.58B. 3.38C. 3.38或0.58D. 0.64
【答案】A
【解析】
【分析】先利用离散型随机变量分布列的性质求解参数q的取值，再代入数学期望公式计算结果.
【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为1，且每个概率取值属于区间，
则，即，解得，
当时，不满足条件，
当时，，满足条件，
所以.
6. 已知知识问答竞赛满分150分，甲、乙两班各有50名学生参加考试，其中甲班成绩，乙班成绩，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲班成绩在80分及以下的人数少于乙班
B. 乙班成绩在110分及以上的人数少于甲班
C. 甲、乙两班成绩在90~95分的人数占比相同
D. 甲班成绩在80~100分与乙班成绩在85~105分的人数占比相同
【答案】B
【解析】
【分析】将甲乙两班的正态分布转化为标准正态分布，结合标准正态分布的单调性计算各对应事件的概率，比较大小后判断选项正误.
【详解】由甲班成绩，则均值，标准差；乙班成绩，则均值，标准差.
对正态变量，做标准化变换，对应概率，
其中为标准正态分布的分布函数，且为单调递增函数.
选项A：，，
由得，甲班80分及以下人数更多，A错误；
选项B：，，
由得，则，乙班110分及以上人数更少，B正确；
选项C：，，
由得，二者占比不同，C错误；
选项D：，
而，
由得，二者占比不同，D错误.
7. 已知函数，若对任意的，，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得： ，令，判断在上单调递增，即可得在 上恒成立，继而转化为对于任意恒成立，再构造函数，求出其最大值，即可求得答案.
【详解】由于对任意的，，都有，
整理得： ，令，则在上单调递增，
因此在 上恒成立；
由，可得，，
在 上恒成立等价于对于任意恒成立，
令，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，故，
即实数的取值范围是.
8. “杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在“杨辉三角”中，下列叙述正确的是（ ）

A. 第12行中第6个数最大
B. 第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C.
D. 第19行中第8个数与第9个数之比为2:3
【答案】D
【解析】
【分析】利用杨辉三角的性质，结合二项式系数的对称性、最大值规律及组合数运算公式逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，第行共有个数，即，
因为为偶数，所以中间一项最大，即第个数最大，故A错误；
对于B，第行中从左往右第个数为，第个数为，
由组合数性质可知，故B错误；
对于C，因为， 所以
，故C错误；
对于D，第行中第个数为，第个数为，
它们的比值为，故D正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．
9. 若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】通过赋值法、导数法求解二项展开式系数相关问题，即可得出结果.
【详解】选项A：二项展开式的通项为，故，
令代入原式得：，A正确；
选项B：令代入原式得：，故，B错误；
选项C：令代入原式得：，
结合，得，C正确；
选项D：对原式两边求导得：，
令代入得：，
即，故D错误.
10. 名女生和名男生随机站成一排，下列计算正确的是（ ）
A. 名女生站在一起，名男生也站在一起的站法有种
B. 名女生互不相邻，名男生也互不相邻的站法有种
C. 男生甲不站排头，女生乙不站排尾的站法有种
D. 每名女生旁边都有男生的概率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用排列组合的性质，结合捆绑法、插空法、间接法及古典概型概率公式逐一判断选项即可.
【详解】选项A：将名女生、名男生分别捆绑为个整体，两个整体全排列，再分别内部全排列，
总站法为种，A错误；
选项B：要名女生和名男生都互不相邻，仅能为“男女男女男女男”的排列结构，
总站法为种，B正确；
选项C：总排列数为，减去甲站排头的种、乙站排尾的种，
再加回多减的甲站排头且乙站排尾的种，总站法为种，C正确；
选项D：总排列数为，满足条件的情况分两类：
①女生都不相邻：先排名男生，再将女生插入个空隙中，共种；
②仅有名女生相邻：先选名女生捆绑，排名男生，将捆绑整体插入男生中间个空隙，
再将剩余名女生插入不与该整体相邻的个空隙，共种；
所求概率为，D正确.
11. 设函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 在处取得极小值
C. 方程有且仅有一个实根D. 对任意，都有
【答案】ABC
【解析】
【分析】A. 定义域 关于原点对称，符合偶函数定义；
B.利用导数求解函数的单调性，从而判断极小值点为；
C.构造函数求导，函数单调递减，结合零点存在定理得唯一零点；
D.构造差值函数，二阶导证明处取最大值 0，不等式方向相反.
【详解】A.定义域关于原点对称，
，满足偶函数定义，A 正确；
B. ，
时，ex−10⟹ ， 单调递增，
故 是极小值点，在处取得极小值，B 正确；
C.构造 ，，
在 上严格单调递减；
，，
由零点存在定理， 在 有唯一零点，方程仅有一个实根，C 正确；
D.构造 ， ， ，
令 ，则，
则单调递减，
所以，， 递增；，， 递减，
故 在取最大值，即m(x)≤0⟹g(x)≤ln⁡2+x28，D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________
【答案】
【解析】
【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m.
【详解】根据向量线性运算的三角形法则，，
则，即，
因为，，，四点共面，所以，解得.
13. 已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题设条件结合椭圆的定义判断点的轨迹为椭圆，运用待定系数法求解即得.
【详解】如图，连接,因是线段的中垂线，则,
由可得,因,
可得点的轨迹为以为两焦点的椭圆，设椭圆方程为，
易得，则，故点的轨迹方程为.
14. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】将因式分解得到和，再利用导数分析的单调性以及最值，进而得到的取值范围.
【详解】，因式分解得，
因此的零点对应方程和，有三个不同零点等价于两个方程共有三个不同实根.
已知，则.
当时，单调递增，.
当时，单调递减，.
当​时，单调递减，，.
当时，单调递增，.
函数图像大体趋势如下：.
根据图像知，只有一个根，因此需要有2个不同根，
所以或，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面，，.

（1）证明：平面平面；
（2）设，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）在四棱锥中，由平面，平面，
得，而，平面，则平面，
又平面，所以平面平面.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理得证.
（2）利用二面角的定义求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
由平面，平面，得，
则是二面角的平面角，由，，得，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16. 已知等差数列的前项和为，且，，等比数列的前项和为，且（）．
（1）求数列，的通项公式．
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）（），（）．
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式、求和公式、 与的关系，计算即可得出结果；（2）利用错位相减法计算即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为．
则有，解得，
所以，即（），
在等比数列中， ①
当时， ②
由①-②得：，
所以，即等比数列的公比，
在①中令得：，即，
所以，
所以（）．
【小问2详解】
，
则，
所以③
④
④-③得：
，
所以．
17. 已知双曲线（，）的实轴长为4，离心率.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线相交于，两点，是否存在直线使得点是弦的中点？若存在，求的面积.若不存在，请说明理由.
【答案】（1）

（2）
存在，
【解析】
【分析】（1）根据实轴长以及离心率公式求出，进而得双曲线方程.
（2）先根据中点坐标公式及双曲线方程求得直线的方程，联立方程，根据韦达定理以及弦长公式求出，再求出到直线的距离，进而求出的面积.
【小问1详解】
依题意：，则.
又因为，所以.
所以.
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
存在.如图，设.
因为为直线与双曲线的交点，
所以，
由得：.
即.
因为点是弦的中点，所以.
所以.
此时直线的方程为，即.
联立方程得，消去得：.
则，
所以存在直线，使得点是弦的中点.
则由韦达定理：.
所以.
点到直线的距离，
所以.
18. 2026年美加墨世界杯激战正酣.球队甲在备战世界杯期间，球队数据分析师搜集了其他队伍球员的惯用脚以及射门方向偏好的相关数据，抽取惯用脚为左脚和右脚的球员各100人进行数据分析，得到如下2×2列联表：
其中射门方向偏好球门左侧的人数占样本总数的45%，惯用脚为右脚的球员中射门方向偏好球门左侧的有70人.
（1）请根据已知条件将上述2×2列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析球员射门方向偏好是否与球员的惯用脚有关联.
（2）学校为了提升学生对足球的兴趣，计划举行足球“班超”联赛，高二1班为了备战“班超”，利用课余时间在，两个点位进行射门练习.第一次随机选择一个位置射门，如果在该位置进球，则换到下一个位置继续练习，如果没有进球，则继续在该位置练习，如此循环往复.已知小明在位置练习进球的概率为0.6，在位置练习进球的概率为0.3，每次练习是相互独立的.
（ⅰ）求小明第次在点位进行射门练习的概率.
（ⅱ）由于时间限制，队长规定每个同学在每个点位射门进球1个，则练习结束，每个同学至多进行5次射门练习.设表示小明结束训练时射门的次数.求的分布列.
参考公式与相关数据：.
【答案】（1）
球员射门方向偏好与球员的惯用脚有关联
（2）（i）;（ii）
【解析】
【分析】（1）根据已知数据求解，即可得列联表；求出的值，与临界值表比较，即可得结论；
（2） （i）如果第次在A点射门，那么第i次在A点的情况是第次没进球；如果第次在B点射门，那么第i次在A点的情况是第次进球，由此建立​和​的递推关系，结合初始值求解递推数列即可；（ii）X是结束训练的射门次数，取值为2到5，所以分别分析每个取值对应的射门顺序和进球、未进球的情况，结合独立事件概率乘法计算对应概率，最终列出分布列.
【小问1详解】
由于射门方向偏好球门左侧的人数占样本总数的45%，故人数为，
由此可得列联表：
零假设：球员射门方向偏好与球员的惯用脚无关联，
则，
故依据 的独立性检验，拒绝原假设，认为球员射门方向偏好与惯用脚有关联.
【小问2详解】
（ⅰ）第一次随机选位置，故，
第 i 次在A射门分两种情况：①第 次在A且未进球，留在A；②第 次在B且进球，换去A；
因此递推关系： ， 即，
则，故是以为首项，为公比的等比数列，
故，即；
（ii）X 的可能取值为 2，3，4，5，分别计算概率：
（两次进球结束）：两次分别在两个位置都进球，
得到;
（三次结束，第三次进第二个球）：
若A不进 → A再进 → 换到B → B进 → 结束（共3次），
概率为；
若A进 → 换到B → B不进 → B再进 → 结束（共3次），
概率为；
若B不进 → B再进 → 换到A → A进 → 结束，
概率为；
若B进 → 换到A→ A不进 → A再进 → 结束（共3次），
概率为；
故；
：（四次结束，第四次进第二个球），
起始于A时，A不进 → A不进 → A进 → B进 → 结束
概率为，
A不进 → A进 → B不进 → B进 → 结束，
概率为，
A进 → B不进 → B不进 → B进 → 结束，
概率为，
起始于B，B不进 → B不进 → B进 → A进 → 结束，
概率为，
B不进 → B进 → A不进 → A进 → 结束，
概率为，
B进 → A不进 → A不进 → A进 → 结束，
概率为，
故；
（前四次未完成两个进球）：
,
因此 X的分布列为：
19. 已知函数.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若，证明不等式在上恒成立；
（3）若，且在上只有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）当时，函数在R上单调递增；当时函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，不等式，
令函数，求导得，
令函数，求导得，
函数在上单调递减，则，即，
因此函数在上单调递减，，
所以不等式在上恒成立.
（3）
【解析】
【分析】（1）求出函数，再利用导数并按分类讨论单调性.
（2）根据给定条件，构造函数，再利用导数求出最大值即可.
（3）利用函数零点意义，分段讨论求出函数在零点个数即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
求导得，当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时函数在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
略
【小问3详解】
当时，由，得 ，且 ，
则，在上无零点；
当时，令，则，
由，得或，
当时，，令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
并且当从大于0的方向趋近于时，趋近于；当时，，
因此当时，在上无解；
当时，在上只有一个解；
当时，在上有两个解；
当时，在上只有一个解，且该解在内，
当时，，函数在上单调递增，，
则，函数在上无零点，
当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，
，则，当且仅当时取等号，
因此函数在上只有一个零点，符合题意；
当时，由函数在上有两个零点，得函数在上至少有两个零点，不符合题意；
当时，函数在上有唯一零点，当时，，
当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，而，于是存在，使得，
因此函数在上有两个零点，不符合题意，
所以的取值范围为.年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代号
1
2
3
4
5
利润/万元
33
80
90
107
0
1
2
0.51
惯用脚
射门方向偏好
合计
球门左侧
球门右侧
左脚
右脚
70
合计
临界值表
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
惯用脚
射门方向偏好
合计
球门左侧
球门右侧
左脚
20
80
100
右脚
70
30
100
合计
90
110
200
X
2
3
4
5
P
惯用脚
射门方向偏好
合计
球门左侧
球门右侧
左脚
20
80
100
右脚
70
30
100
合计
90
110
200
X
2
3
4
5
P