广东省广州市六区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析）

这是一份广东省广州市六区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，因此，该直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，故选C.
【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
2. 准线方程为 SKIPIF 1 < 0 的抛物线的标准方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
且开口向左，其准线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选B．
考点：抛物线的几何性质．
3. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的方程知 SKIPIF 1 < 0 再由 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得双曲线的离心率.
【详解】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
则离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4. 经过两条直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点，且垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 的直线的方程是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】联立方程计算交点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据直线垂直得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到直线方程.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，故垂直于它的直线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得到 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
5. 在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，M，N分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的运算法则得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
6. 动圆P过定点M(0，2)，且与圆N： SKIPIF 1 < 0 相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.
【详解】圆N： SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
设动圆 SKIPIF 1 < 0 半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
即点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，焦距长为 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，
虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线上，且点 SKIPIF 1 < 0 在靠近于点 SKIPIF 1 < 0 这一支上，
故动圆圆心P的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0
故选：A
7. 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的周长的最小值是( )
A. 14B. 15C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】不妨取 SKIPIF 1 < 0 为左焦点， SKIPIF 1 < 0 为右焦点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 的周长大于等于 SKIPIF 1 < 0 ，计算得到答案.
【详解】如图所示：不妨取 SKIPIF 1 < 0 为左焦点， SKIPIF 1 < 0 为右焦点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上下顶点时等号成立.
故选：C
8. 已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记数列{ SKIPIF 1 < 0 }前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =( )
A. 506B. 759C. 1011D. 1012
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列递推公式 SKIPIF 1 < 0 可知，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，即可出现分组求和 SKIPIF 1 < 0 ，再利用累加根据等差数列求和公式即可求得结果.
【详解】由递推公式 SKIPIF 1 < 0 可得，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：A
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】根据向量的坐标模长公式、线性运算、数量积的坐标表示、共线向量定理逐项判断即可.
【详解】对A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对B， SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
对C， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故C不正确；
对D， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：AD.
10. 数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. 数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列B. SKIPIF 1 < 0
C. 点( SKIPIF 1 < 0 )都在直线 SKIPIF 1 < 0 D. 数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 的最大值为32
【答案】AC
【解析】
【分析】根据数列的递推关系式 SKIPIF 1 < 0 ，可判断数列的单调性及，可判断A；又可得数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，求得等差数列通项公式，即可判断B,C；由等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式结合二次函数的性质，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值，可判断D.
【详解】数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，故A正确；
且数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则点( SKIPIF 1 < 0 )都在直线 SKIPIF 1 < 0 上，故B不正确，C正确；
数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确.
故选：AC.
11. 过双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线l与双曲线C的右支交于点A，则( )
A. 双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
B. 点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线C的渐近线的距离为4
C. 直线l的斜率k取值范围是 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 的中点在y轴上，则直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确，计算点到直线的距离得到B错误，根据渐近线得到斜率k取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，C正确，确定 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，计算斜率得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对选项B： SKIPIF 1 < 0 ，取渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，距离为 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
对选项C：渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故斜率k取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对选项D： SKIPIF 1 < 0 的中点在y轴上，则 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，正确.
故选：ACD
12. 过直线l： SKIPIF 1 < 0 上的动点P分别作圆C1： SKIPIF 1 < 0 与圆C2： SKIPIF 1 < 0 的切线，切点分别为A，B，则( )
A. 圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0
B. |PA|的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D. 直线l上存在两个点P，使得 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】确定两圆圆心和半径， SKIPIF 1 < 0 到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A正确， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，B错误，计算对称点得到最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确，计算轨迹方程为圆，再判断直线和圆的位置关系得到D正确，得到答案.
【详解】圆C1： SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
圆C2： SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
对选项A： SKIPIF 1 < 0 到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故只有1个点满足条件，错误；
对选项B： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对选项C：设 SKIPIF 1 < 0 关于直线的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对选项D： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，轨迹为圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆，圆心到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，直线和圆相交，有2个交点，正确.
故选：BCD
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线的方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据直线平行得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，整理得到答案.
【详解】直线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 ，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 若数列{ SKIPIF 1 < 0 }为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，则数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前9项和 SKIPIF 1 < 0 =__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用等差数列的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入数据计算得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则桥拱顶点O离水面l的距离为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】建立直角坐标系，直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点，抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对应的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线，解得答案.
【详解】如图所示，建立直角坐标系，直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点，
抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，水面下降2m后，水面宽8m，对应的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故拱顶点O离水面l的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，动点 SKIPIF 1 < 0 在底面正方形 SKIPIF 1 < 0 内(包括边界)，若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 长度的最大值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】以正方体的顶点 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 满足的等式关系，并用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，利用空间中两点距离公式得 SKIPIF 1 < 0 ，结合二次函数的性质，即可确定 SKIPIF 1 < 0 长度的最大值.
【详解】如图，以正方体的顶点 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
动点 SKIPIF 1 < 0 在底面正方形 SKIPIF 1 < 0 内(包括边界)，则设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函数的性质可得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 长度的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，求使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据等差数列公式得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到通项公式.
(2)计算 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式得到答案.
【小问1详解】
等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
18. 已知圆C经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且圆心C在直线 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与圆C交于P，Q两点，如果 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)计算 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，计算交点得到圆心，再计算半径得到答案.
(2)考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
半径 SKIPIF 1 < 0 ，故圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，满足条件，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故圆心到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
19. 如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据长方体以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，求解 SKIPIF 1 < 0 ，按照异面直线夹角余弦公式求解 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值即可；
(2)由(1)求平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量与直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，再利用空间向量坐标运算解求得 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【小问1详解】
在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证:数列{ SKIPIF 1 < 0 }是等比数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】(1)利用 SKIPIF 1 < 0 得数列 SKIPIF 1 < 0 的递推关系，从而由等比数列定义得证结论；
(2)由错位相减法求和．
小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，相减得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，首项是9，公比是3；
【小问2详解】
由(1)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
相减得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
21. 如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为正三角形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
(2)在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在异于端点的点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点
【解析】
【分析】(1)根据线面关系证得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量与 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
(2)由(1)知平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，利用空间向量的坐标求平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，根据平面与平面夹角余弦值的向量的坐标运算列方程，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，从而确定 SKIPIF 1 < 0 的位置.
【小问1详解】
连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由(1)可知 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
由题可设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，
故存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
22. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到两个焦点的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)利用椭圆的定义求解即可；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率的计算公式和数量积的坐标表示即可求解，注意讨论斜率不存在的情况.
【小问1详解】
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .