甘肃武威市凉州片区部分校2025-2026学年高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

这是一份甘肃武威市凉州片区部分校2025-2026学年高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列各量属于向量的是（ ）
A. 速度B. 质量C. 距离D. 电流
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的概念进行判断．
【详解】向量是既有大小又有方向的量，
质量，距离，电流只有大小，没有方向，属于标量，
速度既有大小，又有方向，属于向量，故选项A正确．
2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法算出，确定实部与虚部，即可知其在复平面内对应的点和对应的点所在象限.
【详解】，则复平面内对应的点为，该点位于第二象限.
故选：B.
3. 如图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆柱、圆锥与圆台的定义，判断选项中的图形旋转一周后所得到的几何体的形状，进而可得结果.
【详解】A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；
B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；
C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；
D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意.
故选：D.
4. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示，求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故选：C.
5. 若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】正三棱锥的所有棱长均为，
则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，
等边三角形的高为，
则该三棱锥的表面积为.
6. 正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）.则原图形的周长是（ ）
A. 12B. 24C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜二测画法的原理做出原图形，求出边长即可得原图形的周长.
【详解】由直观图可得，，
所以原图形为
所以，，，，
，
所以原图形的周长是，
故选：B.
7. 若单位向量，的夹角为，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】依题意，.
8. 从数字4，5，6，7，8中随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.
【详解】从4，5，6，7，8这五个数中任取两个数，
包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个；
则这两个数都是奇数包含的基本事件有：，共个；
所以这两个数都是奇数的概率是.
故选：B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 若直线l与平面垂直，且直线a在平面上，则直线a与l的关系可能是（ ）
A. 平行B. 垂直C. 相交D. 异面
【答案】BCD
【解析】
【分析】由已知线面位置关系，判断直线a与l的位置关系.
【详解】，，则，
设，若，则a与l相交；若，则a与l异面.
故选：BCD
10. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（ ）
A. 与互斥B. 与互斥
C. 与对立D. 与对立
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解.
【详解】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，A正确.
事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以与互斥，B正确.
事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误.
事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”， 与对立，D正确.
故选：ABD.
11. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的实部为3B. 的虚部为2
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案.
【详解】由于复数，所以z的实部为，虚部为2，所以，.
所以AC选项错误，BD选项正确.
故选：BD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 若一个球的半径为，则它的体积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由球的体积公式可得.
【详解】由球的半径，
得,
故答案为：.
13. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量运算的坐标表示计算．
【详解】由题意．
14. 甲､乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是__________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】利用对立事件概率求解.
【详解】设事件表示“乙获胜”，则，
则.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
由题意知，，
所以.
【小问2详解】
由题意知，.
16. 明天甲地不降雨的概率为，乙地不降雨的概率为．假设明天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响．
（1）求明天甲、乙两地都不降雨的概率；
（2）求明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式可得解；
（2）根据对立事件的概率公式可求解.
【小问1详解】
设“明天甲地不降雨”为事件，“明天乙地不降雨”为事件，则，，
因为甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，所以事件与事件相互独立，
根据相互独立事件同时发生的概率公式可得，，
所以明天甲、乙两地都不降雨的概率为；
【小问2详解】
设“明天甲、乙两地至少有一个地方降雨”为事件，
因为“甲、乙两地至少有一个地方降雨”的对立事件是“甲、乙两地都不降雨”，
由（1）知“甲、乙两地都不降雨”的概率为，
根据对立事件的概率公式，，
所以明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率为.
17. 已知平面向量且
（1）若，求的值;
（2）若与共线，求实数的值.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）利用平面向量坐标运算法则先求出，由此能求出的值．
（2）求出，由与共线，由此能求出的值．
【小问1详解】
因为，
所以，
所以.
【小问2详解】
因为
所以，
因为与共线，所以，解得.
18. 在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，
（1）求角A.
（2）求△的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设条件，结合余弦定理可得，即可求角A；
（2）应用三角形面积公式直接求△的面积即可.
【详解】（1）由，得，
∴，，可得.
（2）.
19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为 中点．
（1）求证：平面 ；
（2）若，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，交于点，连接 ，由已知可得 ，然后根据线面平行的判定定理得出证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量的坐标，根据向量法求解即可得出答案．
【小问1详解】
连接，交于点，则是的中点，连接，
∵ 分别是 的中点，∴，
又平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
因 平面，底面为正方形，即 两两垂直，
故可以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
∴，
易得即为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．