甘肃武威市凉州片区部分校2025-2026学年高二下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

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1. 已知函数，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，则，所以.
2. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，二次函数开口向上，对称轴为，
故单调递增区间为.
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得，
或，
所以.
4. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则等于（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】B
【解析】
【详解】因为，且，
所以.
5. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，所以，则，则，故B正确，A错误；
因为，所以，故C错误；
因为，所以，故D错误.
6. 某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意知：，
由，
，
恰好击中2次的概率为．
7. 已知函数 ，则 的极大值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数知识判断单调性，据此可得答案.
【详解】，，
从而在上单调递增，在上单调递减，则的极大值为.
8. 若两个变量与具有线性相关关系，其回归直线方程为．当时，的预测值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】当时，，故预测值为7
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【详解】A．，正确，符合题意；
B．，正确，符合题意；
C．，正确，符合题意；
D．，正确，符合题意．
10. 已知离散型随机变量的分布列为 ，则下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于A选项，由随机变量的分布列可知，故A正确；
对于B选项，，故B错误；
对于C选项，，故C正确；
对于D选项，，故D正确.
11. 在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（ ）
A. 向量的模长为2B. 向量的坐标为
C. 直线与平面垂直D. 异面直线与所成角为
【答案】CD
【解析】
【详解】对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误，
对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同，
建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误，
对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确，
对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则，
所以异面直线与所成角为，故D正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数在区间上的最小值为 _______．
【答案】2
【解析】
【分析】判断在上的单调性，据此可得答案.
【详解】，则在上单调递减，在上单调递增，
从而.
13. 某工厂生产的产品合格率为0.8，现从中随机抽取2件产品，设抽到的合格品件数为，则 _______．（结果用小数表示）
【答案】0.32
【解析】
【详解】依题意，，所以.
14. 已知空间向量，，则 _______．
【答案】3
【解析】
【详解】因为空间向量，，
所以.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数 ．
（1）求；
（2）求函数 的单调区间；
（3）求函数 在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 和，单调递减区间为
（3）最大值为2，最小值为
【解析】
【分析】（1） 直接根据求导公式求导；
（2）利用导数求函数单调区间；
（3）根据函数单调性求极值，即可得解.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
令，得或，
当或 时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
故函数的单调递增区间为 和，单调递减区间为；
【小问3详解】
根据（2），函数在区间上单调递增，在上单调递减，
，，．
故函数的最大值为2，最小值为．
16. 某学校组织数学竞赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛共有2道题目，答对一题得10分，答错得0分．已知甲同学答对每道题的概率均为 ，乙同学答对每道题的概率均为 ，且各题作答相互独立．
（1）求甲同学恰好答对1道题的概率；
（2）求乙同学得分的数学期望．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二项分布的概率公式求解；
（2）利用二项分布期望公式和期望的性质求解.
【小问1详解】
设甲答对题数为，则．
．
【小问2详解】
设乙答对题数为，则．
．
乙的得分，故数学期望为．
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）因为底面为正方形，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）由平面可得出点到平面的距离；
（3）以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
因为平面，所以点到平面的距离等于线段的长，即为.
【小问3详解】
因为平面，四边形为正方形，且，
所以以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、，
，，
设平面的一个法向量，
则，令，则，所以，
因为平面，所以为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18. 已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求函数的极值．
【答案】（1）
（2）当时，在上单调递增；
当时，在上 单调递增；在上单调递减
（3）极大值，无极小值
【解析】
【分析】（1）根据代数式有意义求定义域；
（2）求导，分， 讨论，利用导数的正负，即可求单调性.
（3）将代入函数中，根据（2）问的单调性可求出函数的极值.
【小问1详解】
函数的定义域为．
【小问2详解】
．
当时，，在 上单调递增；
当 时，令 得 ．
时 ， 单调递增； 时 ，， 单调递减．
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上 单调递增；在上单调递减
【小问3详解】
时，由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，
所以当 时，函数取得极大值 ，无极小值．
19. 某地区对10户家庭的年收入（单位：万元）与年消费支出（单位：万元）进行了调查，得到如下统计数据： .
（1）求关于的线性回归方程；
（2）若该地区某家庭年收入为40万元，试预测其年消费支出；
（3）解释回归直线方程中斜率的实际意义．
（注：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为（）
【答案】（1）
（2）（万元）
（3）斜率表示年收入每增加1万元，年消费支出平均增加0.5万元．
【解析】
【分析】（1）根据给定的数据，利用最小二乘法求出线性回归方程.
（2）由（1）的结论估算出目标值.
（3）利用回归直线方程的意义求解.
【小问1详解】
依题意，，
，，
所以关于的线性回归方程.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
所以年消费支出约为25万元.
【小问3详解】
斜率表示年收入每增加1万元，年消费支出平均增加0.5万元.