2024-2025学年甘肃省武威市凉州区高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省武威市凉州区高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(2−i)z=|−2i|，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则a−b=( )
A. 2B. 5C. 2 2D. 3
3.在▵ABC中a=2，b=3，sinB=35，则sinA=( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=1，则原平面图形的面积为( )
A. 3 28B. 3 24C. 3 2D. 6 2
5.空间中三条不同的直线l，m，n和平面满足l⊄α，m⊂α，n⊂α，则下面结论正确的是( )
A. 若l//α，则l//mB. 若l⊥m且l⊥n，则l⊥α
C. 若l⊥α，则l⊥mD. 若l⊥n且l⊥m，则m//n
6.将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是( )
A. 118B. 1136C. 2536D. 136
7.一个正四棱台形油槽可以装煤油190000cm3，其上、下底面边长分别为60cm和40cm，则该油槽的深度为( )
A. 754cmB. 25cmC. 50cmD. 75cm
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件A=“点数为4”，事件B=“点数为奇数”，事件C=“点数小于4”，事件D=“点数大于3”，则( )
A. A与B互斥B. A与C互斥C. B与D对立D. C与D对立
9.(多选)下列说法错误的是( )
A. 若a=b，则a=±bB. 长度相等的向量是相等向量
C. 零向量的方向是任意的D. 方向相反的向量是相反向量
10.下列结论正确的是( )
A. 圆柱的每个轴截面都是全等矩形
B. 长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体
C. 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
D. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
11.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是( )
A. 取出的两个球上标号为不同数字的概率为49
B. 取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为59
C. 取出的两个球上标号为相同数字的概率为13
D. 甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知α∈0,π，csα=−45，则tan(α+π4)= ．
13.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF=DE,AD=6，则EF= ．
14.市场调查公司为了了解某小区居民在订阅报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，订阅的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种报纸都订阅的有150户．则两种报纸都不订阅的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知sinα=−35，且α是第三象限角，求cs2α−sin2αcs2α+1的值．
16.(本小题15分)
如图，三棱锥P−ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA，E为PC的中点．
(1)指出图中有哪几个平面；
(2)指出图中有哪四对互相垂直的平面．
17.(本小题15分)
两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求
(1)甲和乙同时命中的概率；
(2)甲和乙至少一人命中的概率．
18.(本小题17分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，求：
(1)异面直线AD与A1C所成角的大小的正切值；
(2)求点C到平面ABC1D1的距离．
19.(本小题17分)
为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A.书画类、B.文艺类、C.社会实践类、D.体育类”.现随机抽取了高二年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
(1)本次被抽查的学生共有多少名？扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数？
(2)请你将条形统计图补全；
(3)本次调查中抽中了高二(1)班小王和小李两名学生，请用列表法或画树状图法求他们选择同一个项目的概率．
答案解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的模及其几何意义，属于基础题．
根据复数的模的计算和乘、除法运算可得z=45+25i，结合复数的几何意义即可求解．
【解答】
解：由题意知，(2−i)z=|−2i|=2，
则z=22−i=2(2+i)(2−i)(2+i)
=4+2i4−i2=45+25i，
所以复数z在复平面内对应的点为(45,25)，位于第一象限．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】【分析】运用坐标计算向量的模．
【详解】由图形可知：a=(3,1),b=(1,2),∴a−b=(2,−1),a−b= 22+(−1)2= 5 ；
故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】应用正弦定理计算求解．
【详解】由正弦定理得2sinA=335=5，所以sinA=25．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据斜二测画法的定义求解．
【详解】
如图，过点A作AE⊥CD于点E，
因为∠ADC=45∘，所以AD= 2AE= 2BC= 2，
CD=CE+DE=CE+AE=AB+BC=2
原平面图形中A′D′=2 2,A′B′=AB=1,C′D′=CD=2，作原平面图形如下，
则原平面图形的面积为12(C′D′+A′B′)×A′D′=3 2，
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：对于A，若l/​/α，m⊂α，则l/​/m或l,m是异面直线，故A错误；
对于B，若l⊥m且l⊥n，m⊂α，n⊂α，根据线面垂直的判定定理，当m,n相交时，才有l⊥α，故 B错误；
对于C，根据线面垂直的性质定理l⊥α，m⊂α，则l⊥m，故 C正确；
对于D，若l⊥n且l⊥m，m⊂α，n⊂α，则m/​/n或m,n相交，故D错误；
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】由题意确定出现一次6点向上的概率，可得没有一次6点向上的概率，利用对立事件的概率关系求解即可．
【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷一次，出现一次6点向上的概率为16，
所以先后抛掷2次，没有一次6点向上的概率为(1−16)2=2536，
所以至少出现一次6点向上的概率为1−2536=1136．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据棱台的体积公式，可得答案．
【详解】设正四棱台的高，即深度为ℎcm，依题意，得190000=ℎ3602+402+60×40，解得ℎ=75．
故选：D．
8.【答案】ABD
【解析】【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．
【详解】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以A与B互斥，A正确．
事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以A与C互斥，B正确．
事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误．
事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”，C与D对立，D正确．
故选：ABD．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】根据向量的相关定义逐一判断各个选项即可求解．
【详解】对于A，若a=b，则不一定有a=±b，
比如，让这两个向量共起点，则它们的终点分步在以这个起点为圆心的一个圆周上，
所以这两个向量不一定共线，故A错误；
对于B，长度相等且方向相同的向量是相等向量，故B错误；
对于C，零向量的方向是任意的，故C正确；
对于D，方向相反且长度一样的向量是相反向量，故D错误．
故选：ABD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】根据圆柱、长方体、直四棱柱、圆锥、圆台、六面体等知识对选项进行分析，由此确定正确答案
【详解】由题意，
对于A，由矩形绕着它的一条边旋转一周形成一个圆柱，
可得圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故A正确；
对于B，长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，故B正确；
对于C，四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故C正确；
对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，
故D错误；
故选：ABC．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算。
求出样本空间，利用古典概率模型求解．
【解答】
解：由题，样本空间为Ω=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)，共9个样本点，
对A，取出的两个球上标号为不同数字的概率为69=23， A错误；
对B，取出的两个球上标号之积能被3整除的样本点有(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共5个，所以概率为59， B正确；
对C，取出的两个球上标号为相同数字的概率为39=13， C正确；
对D，甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的基本事件有(2,1),(3,1),(3,2)共3个，
所以甲盒中取出的 球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率39=13， D正确，
故选：BCD．
12.【答案】17
【解析】【分析】根据条件求得tanα=−34，结合两角和的正切公式代入求解即可．
【详解】因为α∈0,π，csα=−45，所以sinα= 1−cs2α= 1−−452=35，所以tanα=sinαcsα=−34，
所以tanα+π4=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=tanα+11−tanα=17．
故答案为：17
13.【答案】6
【解析】【分析】根据题意结合线面垂直的性质分析求解．
【详解】∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF//DE，
又∵AF=DE，则四边形AFED为平行四边形，
∴EF=AD=6．
故答案为：6．
14.【答案】0.038/19500
【解析】【分析】根据条件绘制venn图，由图可知至少订阅一种报纸的有334+297−150=481(户)，即可求得两种报纸都不订阅的有500−481=19(户)，计算即可得出结果．
【详解】记500户居民组成的集合为U，订阅晨报的居民全体为集合A，
订阅晚报的居民全体为集合B.订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，
两种都订阅的有150户，如图所示．
由图可知至少订阅一种报纸的有334+297−150=481(户)，所以两种报纸都不订阅的有500−481=19(户)．
故两种报纸都不订阅的概率为19500=0.038．
故答案为：0.038
15.【答案】解：∵sinα=−35，且α是第三象限角．
∴csα= 1−sin2α=−45，tanα=sinαcsα=34．
∴cs2α−sin2αcs2α+1=cs2α−2sinαcsα2cs2α+sin2α=1−2tanα2+tan2α．
将tanα代入解得：cs2α−sin2αcs2α+1=1−2×342+342=−841．

【解析】根据同三角函数的关系，可求出tanα，再用齐次式求出问题即可．
16.【答案】解：(1)图中有平面ABC，平面PAB，平面PBC，平面PCA，平面ABE；
(2)因为PB⊥底面ABC，AC⊂面ABC，所以PB⊥AC，
又因BC⊥AC，PB∩BC=B，所以AC⊥平面PBC，
又AC⊂平面ABC，所以平面PBC⊥平面ABC，
同理，平面PAB⊥平面ABC，平面PBC⊥平面PCA，平面ABE⊥平面PCA．

【解析】(1)根据平面的定义结合图像即可得出答案；
(2)根据面面垂直的判定定理结合图像即可得出答案．
17.【答案】解：1)由题意，
设甲命中为事件A，概率为P1=0.7，
乙罚球时命中为事件B，概率为P2=0.6，
则设甲和乙同时命中为事件C，
∴甲和乙同时命中的概率为：PC=P1⋅P2=0.42．
(2)由题意及(1)得，
设甲和乙都不命中为事件E，甲和乙至少一人命中为事件F，
则PE=1−P11−P2=0.3×0.4=0.12，
∴甲和乙至少一人命中的概率为：PF=1−0.12=0.88．

【解析】(1)根据两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率，即可求出甲和乙同时命中的概率；
(2)求出甲和乙都不命中的概率，即可求出甲和乙至少一人命中的概率．
18.【答案】解：(1)连接A1B，易知BC⊥A1B，
∵AD//BC，
∴∠A1CB即为异面直线AD与A1C所成角，
∵BC=3，则A1B=3 2,A1C=3 3，
故tan∠A1CB=A1BBC= 2．
(2)连接B1C交BC1于O，则B1C⊥BC1，
∵AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，
∴AB⊥B1C，
又∵BC1∩AB=B，BC1,AB⊂平面ABC1D1，
∴B1C⊥面ABC1D1，
∴线段OC为所求距离，∴点C到平面ABC1D1的距离为OC=BC12=3 22．

【解析】(1)由AD//BC易知∠A1CB即为异面直线AD与A1C所成角，解△A1CB即可；
(2)连接B1C交BC1于O，证明B1C⊥面ABC1D1即可知OC即为所求．
19.【答案】解：(1)由扇形统计图中可知：D体育类占比为4000，条形统计图中可知，D体育类有20人，
故本次被抽查的学生共有：20÷40％=50名，
扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为1050×360°=72°；
(2)B类人数是：50−10−8−20=12名，补全条形统计图如图所示：
(3)所有可能的情况如下表所示：
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中小王和小李两名学生选择同一个项目的结果有4种，
所以小王和小李两名学生选择同一个项目的概率=416=14．

【解析】(1)两个统计图数据分析得到本次被抽查的学生总数，进而得到“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数；
(2)计算出B类人数，补全条形统计图；
(3)利用表格列举出小王和小李两名学生的选择情况，从而求出他们选择同一个项目的概率．
A
B
C
D
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
(D,D)